關(guān)于正整數(shù)的立方部分?jǐn)?shù)列

1、西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)網(wǎng)絡(luò)版)2003年10月第4期ScienceJournalofNthwestUniversityOnlineOct.2003No.4________________________收稿日期：20030603基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10271093)，陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2022A11)審稿人：張文鵬，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)系教授(博士生導(dǎo)師)關(guān)于正整數(shù)的平方部分?jǐn)?shù)列陳寶安（咸陽師范

2、學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西咸陽712000）摘要：研究了數(shù)列a(n)和b(n)的漸近性質(zhì)，其中a(n)表示不超過n的最大平方部分，b(n)表示不小于n的最小平方部分。研究了這兩個(gè)數(shù)列，并給出了關(guān)于這兩個(gè)數(shù)列的兩個(gè)有趣的漸近公式。關(guān)鍵詞：平方部分；均值；漸近公式中圖分類號(hào)：O156.4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1000274X(2003)0021031引言及結(jié)論對(duì)任意正整數(shù)n，設(shè)a(n)表示不超過n的最大平方部分，b(n)表示不小于n的最小平方部分。

3、例如：a(1)=1a(2)=1a(3)=1a(4)=4a(5)=4a(6)=4…。b(1)=1b(2)=4b(3)=4b(4)=4b(5)=9b(6)=9…。在文獻(xiàn)[1]的第41個(gè)問題中，羅馬尼亞數(shù)論專家F.Smarach教授要求我們研究數(shù)列u(n)和v(n)的性質(zhì)。關(guān)于這一問題，至今似乎沒有人進(jìn)行過研究，至少我們還沒有看到任何有關(guān)它的論文。本文利用初等方法研究了這兩個(gè)數(shù)列的均值性質(zhì)，并給出了兩個(gè)有趣的漸近公式，即就是證明了下面的：定理

4、1對(duì)任一實(shí)數(shù)我們有漸近公式1?xlnlnln2))((???????????xxOCxxxnaΩxn其中Ω(n)表示n的所有素因數(shù)的個(gè)數(shù)，C是一個(gè)常數(shù)。對(duì)數(shù)列b(n)，我們也可以得到類似的結(jié)論，即就是：定理2對(duì)任一實(shí)數(shù)，我們有漸近公式1?x.lnlnln2))((???????????xnxxOCxxxnbΩ2定理的證明這節(jié)我們來完成定理的證明，首先證明定理1。對(duì)任一實(shí)數(shù)，設(shè)M是一固定的正整數(shù)且滿足1?x(1).)1(22???MxM則

5、從a(n)的定義我們有??????????????xnknkxnMMknaΩnaΩnaΩ222)1(1))(())(())((3參考文獻(xiàn)：[1]SMARACHEF.OnlyProblemsnotSolutions[M].Chicago:XiquanPublHouse1993.[2]HARDYGHRAMANUJANS.Thenmalnumberofprimefactsofaumbern[J].QuartJMath199748:7692.[

6、3]APSTOLTM.IntroductiontoAnalyticNumberThey[M].NewYk:SpringerVerlag1976.（編輯曹大剛）OnthesquarepartofpositiveintegerCHENBaoan(DepartmentofMathematicsXianyangTeacher’sCollegeXianyang712000)Abstract:Theasymptoticpropertiesoftwo

7、sequencesa(n)b(n)arestudiedwherea(n)isthelargestsquarelessthanequaltonb(n)isthesmallestsquaregreaterthanequalton.Twointerestingasymptoticfmulaeonthesetwosequencesaregiven.Keywds:squarepartmeanvalueasymptoticfmula作者簡(jiǎn)介陳寶安，

8、男，陜西淳化人，生于1962年10月，1983年畢業(yè)于陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，現(xiàn)任咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究教研室主任，陜西省數(shù)學(xué)教育學(xué)會(huì)理事。他任教20年來先后為專科生、本科生講授過初等數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)史、中學(xué)數(shù)學(xué)教材法、數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)建模和高等數(shù)學(xué)等課程，長(zhǎng)期從事中學(xué)數(shù)學(xué)教師的繼續(xù)教育和新課程培訓(xùn)工作。他長(zhǎng)期致力于初等數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育的研究工作，在初等幾何問題的代數(shù)證明方面作了研究，發(fā)表論文4篇，在中學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法的研究