第3章-運(yùn)籌學(xué)對(duì)偶問(wèn)題

1、第3章 對(duì)偶線性規(guī)劃,線性規(guī)劃的對(duì)偶問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題的基本性質(zhì)對(duì)偶的經(jīng)濟(jì)解釋靈敏度分析*,DUAL,,,,,主講人：晉琳琳,一、線性規(guī)劃的對(duì)偶問(wèn)題,如何將生產(chǎn)能力出讓出去??,設(shè)y1,y2和y3分別表示出讓資源A，B和C的單價(jià)，則穗羊公司同意出讓的條件將是同意出讓生產(chǎn)產(chǎn)品I的資源同意出讓生產(chǎn)產(chǎn)品II的資源購(gòu)買者希望用最少的代價(jià)獲得這些資源，因此,,這樣得到一個(gè)新的線性規(guī)劃問(wèn)題,稱這一問(wèn)題是原來(lái)的LP問(wèn)題的對(duì)偶線性規(guī)劃問(wèn)題或

2、對(duì)偶問(wèn)題。,原問(wèn)題,對(duì)偶問(wèn)題,原問(wèn)題max z=C Xs.t.AX ≤ bX ≥0,對(duì)偶問(wèn)題min w=b’Ys.t. A’Y ≥ C’Y ≥0,≥,,,,C’,A’,b’,min,,,,,,,m,n,,,1、規(guī)范形式下的原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題,LP問(wèn)題的規(guī)范形式,變量：所有變量均具有非負(fù)約束約束條件： 最大化問(wèn)題 所有約束條件都是“≤”型 最小化問(wèn)題 所有約束條件都是“≥”型,原問(wèn)題（對(duì)偶）,對(duì)偶問(wèn)題（

3、原）,,系數(shù)矩陣,約束條件右端向量,目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量,目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量,max z = C X,min w = Y ’ b,AX ≤ b,A’Y ≥ C’,X ≥0,Y ≥0,,b,,c,,約束條件右端向量,目標(biāo)函數(shù),,約束條件,,,決策變量,原問(wèn)題變量個(gè)數(shù)=對(duì)偶問(wèn)題約束條件方程個(gè)數(shù)原問(wèn)題約束條件方程個(gè)數(shù)=對(duì)偶問(wèn)題變量個(gè)數(shù),2、非規(guī)范形式下的原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題(x變),,,,,,,,,,,2、非規(guī)范形式下的原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題(方程變),,

4、,,,,,,,,,非規(guī)范形式下的對(duì)偶關(guān)系,方程對(duì)變量，變量對(duì)方程；正常對(duì)正常，不正常對(duì)不正常；變量正常是非負(fù)，方程正常看目標(biāo)(max ≤ ，min ≥)。,,,,,,,初始單純形表,迭代后的單純形表,單純形法的矩陣表示,,添加松弛變量XS,,將XB的系數(shù)矩陣化為單位矩陣,,原問(wèn)題最終單純形表,對(duì)偶問(wèn)題最終單純形表,最大化問(wèn)題檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)給出了對(duì)偶問(wèn)題的解,原本在對(duì)偶關(guān)系中，原問(wèn)題的變量對(duì)應(yīng)著對(duì)偶問(wèn)題的約束條件，原問(wèn)題的約束條

5、件對(duì)應(yīng)著對(duì)偶變量。但在分別添加了松弛變量和剩余變量后，也可以建立原問(wèn)題變量與對(duì)偶問(wèn)題變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,注 上表中我們將松弛變量與剩余變量統(tǒng)稱為松弛變量,二、對(duì)偶問(wèn)題的基本性質(zhì),1、對(duì)偶問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題是原問(wèn)題,,,推論1：原問(wèn)題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其對(duì)偶問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值的下界；反之對(duì)偶問(wèn)題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是起原問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值的上界。推論2： 原問(wèn)題 對(duì)偶問(wèn)題 無(wú)界解

6、 無(wú)可行解 無(wú)可行解 無(wú)界解,,2、弱對(duì)偶性如果 是原問(wèn)題的可行解， 是其對(duì)偶問(wèn)題的可行解，則：,,推論3：原問(wèn)題 對(duì)偶問(wèn)題 無(wú)可行解 + 可行解 對(duì)偶問(wèn)題有無(wú)界解 可行解 + 無(wú)可行解 原問(wèn)題有無(wú)界解3、最優(yōu)性如果 是原問(wèn)題的可行解， 是其對(duì)偶問(wèn)題的可行解，且有 則： 是原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解。

7、4、強(qiáng)對(duì)偶性X*、Y* 分別是原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解，則：,,,5、互補(bǔ)松弛性,在線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解中,如果對(duì)應(yīng)某一約束條件的對(duì)偶變量值非零,則其對(duì)應(yīng)的約束條件取等式;反之若一個(gè)約束條件為嚴(yán)格的不等式,則其對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量為零。,互補(bǔ)松弛性的另一種表述,在線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解中,如果對(duì)應(yīng)某一約束條件的對(duì)偶變量值非零,則該約束條件中松弛變量等于零;反之若一個(gè)約束條件中松弛變量非零,則其對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量為零。,max z = C’X s

8、.t. AX + XS = b X, XS≥0,min w = b’Ys.t. A’Y - YS = C’ Y, YS≥0,max z = CXs.t. AX ≤ b X ≥0,min w = b’Ys.t. A’Y ≥ C’ Y≥0,,X YS = 0 , Y XS = 0,互補(bǔ)松弛關(guān)系,,X , Xs,,Y , Y

9、s,,,,,,,,,,,,w1 wi wm wm+1 wm+j wn+m,x1 xj xn xn+1 xn+I xn+m,對(duì)偶問(wèn)題的變量 對(duì)偶問(wèn)題的松弛變量,原始問(wèn)題的變量 原始問(wèn)題的松弛變量,Xj Ym+j = 0Yi Xn+i = 0( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n )在一

10、對(duì)變量中，其中一個(gè)大于0，另一個(gè)一定等于0,例3.6 已知下面的LP1和LP2為一組對(duì)偶規(guī)劃，且已知LP1的最優(yōu)解為X=（1.5，1）’。試運(yùn)用互補(bǔ)松弛定理求出對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解Y。,生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題（LP1）,資源定價(jià)問(wèn)題（LP2）,解：由X=（1.5，1）’得,,,,,,聯(lián)立求解得：,,三、影子價(jià)格,式中bi是線性規(guī)劃原問(wèn)題約束條件的右端項(xiàng)，它代表第i種資源的擁有量；對(duì)偶變量yi*的意義代表在資源最優(yōu)利用的條件下對(duì)第i種資源的估價(jià)。這種估

11、價(jià)不是資源的市場(chǎng)價(jià)格，而是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻(xiàn)而作的估價(jià)，為區(qū)別起見，稱為影子價(jià)格。,設(shè) 和 分別是原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解，則由對(duì)偶性質(zhì)，有,資源的影子價(jià)格隨企業(yè)的生產(chǎn)任務(wù)、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的改變而改變影子價(jià)格是資源的邊際利潤(rùn)資源的影子價(jià)格也可視為一種機(jī)會(huì)成本在生產(chǎn)過(guò)程中若某種資源未得到充分利用則其影子價(jià)格為零；只有在資源得到充分利用時(shí)，

12、其影子價(jià)格才可能非零可以利用影子價(jià)格確定企業(yè)內(nèi)部的核算價(jià)格，以便控制有限資源的使用和考核下屬企業(yè)經(jīng)營(yíng)的好壞。,Max z=2x1+x2s.t. 5x2≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+x2 ≤5 x1,x2≥0,,,,,,,,,x2=3,6x1+2x2 =24,x1+x2 =5,,,,最優(yōu)解,,可行域,,,最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的變化：8.5變到8.75，增加1/4,資源的

13、變化：設(shè)備B的可用時(shí)間增加1小時(shí),根據(jù)對(duì)偶問(wèn)題與原問(wèn)題之間的關(guān)系，對(duì)最大化問(wèn)題，在用單純形法求解原問(wèn)題時(shí)，最終表不但給出了原問(wèn)題的最優(yōu)解，而且其檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)就是對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解。,四、對(duì)偶單純形法,（對(duì)偶問(wèn)題可行解）,保持對(duì)偶問(wèn)題有基可行解，而原問(wèn)題只是基解，通過(guò)迭代，使后者的負(fù)分量個(gè)數(shù)減少，一旦成為基可行解，則原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題同時(shí)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)解。,對(duì)偶單純形法計(jì)算步驟,適應(yīng)于求解的LP問(wèn)題：標(biāo)準(zhǔn)化后不含初始基變量，但將某些約束條件兩端乘

14、以“-1”后，即可找出初始基變量。要求：初始單純形表中的檢驗(yàn)數(shù)滿足最優(yōu)性條件,對(duì)滿足上述條件的LP問(wèn)題，對(duì)偶單純形法的步驟是：,旋轉(zhuǎn)運(yùn)算。然后回到第2步。,作出初始單純形表（注意要求）,檢查b列的數(shù)據(jù)是否非負(fù)，若是，表中已經(jīng)給出最優(yōu)解；否則轉(zhuǎn)下一步,確定換出變量：取b列負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的變量為換出變量,確定換入變量：用檢驗(yàn)數(shù)去除以換出變量行對(duì)應(yīng)的負(fù)系數(shù)，在除得的商中選取其中最小者對(duì)應(yīng)的變量為換入變量,例 用對(duì)偶單純形法求解如下的LP問(wèn)題,化

15、成標(biāo)準(zhǔn)形式,將各約束條件兩端同乘“-1”得,用對(duì)偶單純形法求解得,最優(yōu)解：x1=0, x2=1/4, x3=1/2, x4=0, x5=0,最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值：w*=-8.5（z*=8.5）,注：通常很少直接使用對(duì)偶單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題。,,,,靈敏度分析,將討論LP問(wèn)題中的參數(shù) 中有一個(gè)或幾個(gè)發(fā)生改變時(shí)問(wèn)題的最優(yōu)解會(huì)有什么變化，或者這些參數(shù)在一個(gè)多大的范圍內(nèi)變化時(shí)，問(wèn)題的最優(yōu)解不

16、變,研究思路,將個(gè)別參數(shù)的變化直接在計(jì)算得到的最終單純形表中反映出來(lái)，這樣就不需要從頭計(jì)算，而直接檢查在參數(shù)改變后最終表有什么改變，若仍滿足最終表的條件，則表中仍給出最優(yōu)解，否則從這個(gè)表開始進(jìn)行迭代求改變以后的最優(yōu)解。,靈敏度分析的步驟,將參數(shù)的改變計(jì)算反映到最終表上來(lái)。具體計(jì)算公式可以使用檢查原問(wèn)題是否仍為可行解檢查對(duì)偶問(wèn)題是否仍為可行解對(duì)檢查情況按下表進(jìn)行處理,1、目標(biāo)函數(shù)系數(shù)cj變化例 3.7 C由(3.2)變?yōu)?

17、3,1)，請(qǐng)問(wèn)最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃如何變化？解：由原最優(yōu)單純形表得：,,,單純形迭代得：,,所以得到新的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃為產(chǎn)品I生產(chǎn)2件，產(chǎn)品II不生產(chǎn)，此時(shí)總利潤(rùn)上升為6萬(wàn)元。,例3.8假設(shè)產(chǎn)品II的價(jià)格不變，請(qǐng)問(wèn)產(chǎn)品I的利潤(rùn)在什么范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃不變？ 解：假設(shè)c1由3變?yōu)?，則,,,,欲使最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃不變，須,,,,,2、約束條件右端向量b的變化,例3.9 穗羊公司倉(cāng)庫(kù)盤點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，資源B的每周可使用量

18、可以增加到5噸，請(qǐng)制定新的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。,解：,因?yàn)?，所以需要進(jìn)行對(duì)偶單純形迭代。由原最優(yōu)單純形表得：,,因?yàn)閤2=-1<0，所以令其岀基。拿檢驗(yàn)數(shù)所在行除以出基變量所在行，商最小的列對(duì)應(yīng)的元素作為主元素。這里正數(shù)和零不能作為主元素 。本題中第三行只有a34=-2<0，所以選擇a34作為主元素，進(jìn)行對(duì)偶迭代。 迭代的目標(biāo)：右端向量劃為非負(fù)把基變量所在列劃成單位矩陣基變量檢驗(yàn)數(shù)化為零。,迭代后得：,,3、增加一種

19、新產(chǎn)品,例3.10 穗羊公司研發(fā)部門開發(fā)了一種新產(chǎn)品III，單位產(chǎn)品對(duì)A、B、C三種資源的消耗系數(shù)為，該產(chǎn)品單位利潤(rùn)為2萬(wàn)元。問(wèn)產(chǎn)品III是否應(yīng)該生產(chǎn)？如果生產(chǎn)，各產(chǎn)品生產(chǎn)量是多少？,解：產(chǎn)品III機(jī)會(huì)成本,,該產(chǎn)品的檢驗(yàn)數(shù),，所以應(yīng)該生產(chǎn)。,,,,將上述數(shù)據(jù)代入原最優(yōu)單純形表得下表：,,,所以，新的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃是產(chǎn)品I和產(chǎn)品III分別生產(chǎn)2件和1/2件，產(chǎn)品II不生產(chǎn)，總利潤(rùn)為7萬(wàn)元。,4、增加一個(gè)新的約束條件,例3.11：穗羊公司

20、生產(chǎn)部門發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)除了受到A、B、C三種資源的約束外，還要受到資源D的約束。資源D周可用量為6，生產(chǎn)單位產(chǎn)品I、II對(duì)資源D的消耗分別為7/2和2。請(qǐng)制定新的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。,解：根據(jù)題意，需要在原問(wèn)題后面增加新約束,,,將原最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃X=（3/2，1）’代入該約束方程得：,,不滿足新約束條件。將約束方程添加松弛條件得：,,將此約束方程代入原最優(yōu)單純形表得下表：,,,,將a41、a42化為0得下表：,,,,,,對(duì)偶單純形迭代得下表：,,所

21、以新的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃是產(chǎn)品I和產(chǎn)品II分別生產(chǎn)2/5件和23/10件，總利潤(rùn)為24/5萬(wàn)元。,5、約束條件系數(shù)aij的變化,例3.12：穗羊公司經(jīng)過(guò)技術(shù)革新，將生產(chǎn)產(chǎn)品I對(duì)資源C的單位消耗量從4變?yōu)?，即P1=（1,2,4）’ 變?yōu)镻1=（1,2,2）’。請(qǐng)求出新的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。,解：,,,,,,令,,將 插入原最優(yōu)單純形表格得：,,,,,,繼續(xù)迭代，并刪除原第一列，得下表：,故新的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃是產(chǎn)品I、II分別生產(chǎn)1單位和2單位