第3章-運籌學對偶問題

1、第3章 對偶線性規(guī)劃,線性規(guī)劃的對偶問題對偶問題的基本性質(zhì)對偶的經(jīng)濟解釋靈敏度分析*,DUAL,,,,,主講人：晉琳琳,一、線性規(guī)劃的對偶問題,如何將生產(chǎn)能力出讓出去??,設y1,y2和y3分別表示出讓資源A，B和C的單價，則穗羊公司同意出讓的條件將是同意出讓生產(chǎn)產(chǎn)品I的資源同意出讓生產(chǎn)產(chǎn)品II的資源購買者希望用最少的代價獲得這些資源，因此,,這樣得到一個新的線性規(guī)劃問題,稱這一問題是原來的LP問題的對偶線性規(guī)劃問題或

2、對偶問題。,原問題,對偶問題,原問題max z=C Xs.t.AX ≤ bX ≥0,對偶問題min w=b’Ys.t. A’Y ≥ C’Y ≥0,≥,,,,C’,A’,b’,min,,,,,,,m,n,,,1、規(guī)范形式下的原問題與對偶問題,LP問題的規(guī)范形式,變量：所有變量均具有非負約束約束條件： 最大化問題 所有約束條件都是“≤”型 最小化問題 所有約束條件都是“≥”型,原問題（對偶）,對偶問題（

3、原）,,系數(shù)矩陣,約束條件右端向量,目標函數(shù)系數(shù)向量,目標函數(shù)系數(shù)向量,max z = C X,min w = Y ’ b,AX ≤ b,A’Y ≥ C’,X ≥0,Y ≥0,,b,,c,,約束條件右端向量,目標函數(shù),,約束條件,,,決策變量,原問題變量個數(shù)=對偶問題約束條件方程個數(shù)原問題約束條件方程個數(shù)=對偶問題變量個數(shù),2、非規(guī)范形式下的原問題與對偶問題(x變),,,,,,,,,,,2、非規(guī)范形式下的原問題與對偶問題(方程變),,

4、,,,,,,,,,非規(guī)范形式下的對偶關(guān)系,方程對變量，變量對方程；正常對正常，不正常對不正常；變量正常是非負，方程正?？茨繕?max ≤ ，min ≥)。,,,,,,,初始單純形表,迭代后的單純形表,單純形法的矩陣表示,,添加松弛變量XS,,將XB的系數(shù)矩陣化為單位矩陣,,原問題最終單純形表,對偶問題最終單純形表,最大化問題檢驗數(shù)的相反數(shù)給出了對偶問題的解,原本在對偶關(guān)系中，原問題的變量對應著對偶問題的約束條件，原問題的約束條

5、件對應著對偶變量。但在分別添加了松弛變量和剩余變量后，也可以建立原問題變量與對偶問題變量之間的對應關(guān)系,注 上表中我們將松弛變量與剩余變量統(tǒng)稱為松弛變量,二、對偶問題的基本性質(zhì),1、對偶問題的對偶問題是原問題,,,推論1：原問題任一可行解的目標函數(shù)值是其對偶問題目標函數(shù)值的下界；反之對偶問題任一可行解的目標函數(shù)值是起原問題目標函數(shù)值的上界。推論2： 原問題 對偶問題 無界解

6、 無可行解 無可行解 無界解,,2、弱對偶性如果 是原問題的可行解， 是其對偶問題的可行解，則：,,推論3：原問題 對偶問題 無可行解 + 可行解 對偶問題有無界解 可行解 + 無可行解 原問題有無界解3、最優(yōu)性如果 是原問題的可行解， 是其對偶問題的可行解，且有 則： 是原問題和對偶問題的最優(yōu)解。

7、4、強對偶性X*、Y* 分別是原問題和對偶問題的最優(yōu)解，則：,,,5、互補松弛性,在線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解中,如果對應某一約束條件的對偶變量值非零,則其對應的約束條件取等式;反之若一個約束條件為嚴格的不等式,則其對應的對偶變量為零。,互補松弛性的另一種表述,在線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解中,如果對應某一約束條件的對偶變量值非零,則該約束條件中松弛變量等于零;反之若一個約束條件中松弛變量非零,則其對應的對偶變量為零。,max z = C’X s

8、.t. AX + XS = b X, XS≥0,min w = b’Ys.t. A’Y - YS = C’ Y, YS≥0,max z = CXs.t. AX ≤ b X ≥0,min w = b’Ys.t. A’Y ≥ C’ Y≥0,,X YS = 0 , Y XS = 0,互補松弛關(guān)系,,X , Xs,,Y , Y

9、s,,,,,,,,,,,,w1 wi wm wm+1 wm+j wn+m,x1 xj xn xn+1 xn+I xn+m,對偶問題的變量 對偶問題的松弛變量,原始問題的變量 原始問題的松弛變量,Xj Ym+j = 0Yi Xn+i = 0( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n )在一

10、對變量中，其中一個大于0，另一個一定等于0,例3.6 已知下面的LP1和LP2為一組對偶規(guī)劃，且已知LP1的最優(yōu)解為X=（1.5，1）’。試運用互補松弛定理求出對偶問題的最優(yōu)解Y。,生產(chǎn)計劃問題（LP1）,資源定價問題（LP2）,解：由X=（1.5，1）’得,,,,,,聯(lián)立求解得：,,三、影子價格,式中bi是線性規(guī)劃原問題約束條件的右端項，它代表第i種資源的擁有量；對偶變量yi*的意義代表在資源最優(yōu)利用的條件下對第i種資源的估價。這種估

11、價不是資源的市場價格，而是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻而作的估價，為區(qū)別起見，稱為影子價格。,設 和 分別是原問題和對偶問題的最優(yōu)解，則由對偶性質(zhì)，有,資源的影子價格隨企業(yè)的生產(chǎn)任務、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的改變而改變影子價格是資源的邊際利潤資源的影子價格也可視為一種機會成本在生產(chǎn)過程中若某種資源未得到充分利用則其影子價格為零；只有在資源得到充分利用時，

12、其影子價格才可能非零可以利用影子價格確定企業(yè)內(nèi)部的核算價格，以便控制有限資源的使用和考核下屬企業(yè)經(jīng)營的好壞。,Max z=2x1+x2s.t. 5x2≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+x2 ≤5 x1,x2≥0,,,,,,,,,x2=3,6x1+2x2 =24,x1+x2 =5,,,,最優(yōu)解,,可行域,,,最優(yōu)目標函數(shù)值的變化：8.5變到8.75，增加1/4,資源的

13、變化：設備B的可用時間增加1小時,根據(jù)對偶問題與原問題之間的關(guān)系，對最大化問題，在用單純形法求解原問題時，最終表不但給出了原問題的最優(yōu)解，而且其檢驗數(shù)的相反數(shù)就是對偶問題的最優(yōu)解。,四、對偶單純形法,（對偶問題可行解）,保持對偶問題有基可行解，而原問題只是基解，通過迭代，使后者的負分量個數(shù)減少，一旦成為基可行解，則原問題與對偶問題同時實現(xiàn)最優(yōu)解。,對偶單純形法計算步驟,適應于求解的LP問題：標準化后不含初始基變量，但將某些約束條件兩端乘

14、以“-1”后，即可找出初始基變量。要求：初始單純形表中的檢驗數(shù)滿足最優(yōu)性條件,對滿足上述條件的LP問題，對偶單純形法的步驟是：,旋轉(zhuǎn)運算。然后回到第2步。,作出初始單純形表（注意要求）,檢查b列的數(shù)據(jù)是否非負，若是，表中已經(jīng)給出最優(yōu)解；否則轉(zhuǎn)下一步,確定換出變量：取b列負數(shù)對應的變量為換出變量,確定換入變量：用檢驗數(shù)去除以換出變量行對應的負系數(shù)，在除得的商中選取其中最小者對應的變量為換入變量,例 用對偶單純形法求解如下的LP問題,化

15、成標準形式,將各約束條件兩端同乘“-1”得,用對偶單純形法求解得,最優(yōu)解：x1=0, x2=1/4, x3=1/2, x4=0, x5=0,最優(yōu)目標函數(shù)值：w*=-8.5（z*=8.5）,注：通常很少直接使用對偶單純形法求解線性規(guī)劃問題。,,,,靈敏度分析,將討論LP問題中的參數(shù) 中有一個或幾個發(fā)生改變時問題的最優(yōu)解會有什么變化，或者這些參數(shù)在一個多大的范圍內(nèi)變化時，問題的最優(yōu)解不

16、變,研究思路,將個別參數(shù)的變化直接在計算得到的最終單純形表中反映出來，這樣就不需要從頭計算，而直接檢查在參數(shù)改變后最終表有什么改變，若仍滿足最終表的條件，則表中仍給出最優(yōu)解，否則從這個表開始進行迭代求改變以后的最優(yōu)解。,靈敏度分析的步驟,將參數(shù)的改變計算反映到最終表上來。具體計算公式可以使用檢查原問題是否仍為可行解檢查對偶問題是否仍為可行解對檢查情況按下表進行處理,1、目標函數(shù)系數(shù)cj變化例 3.7 C由(3.2)變?yōu)?

17、3,1)，請問最優(yōu)生產(chǎn)計劃如何變化？解：由原最優(yōu)單純形表得：,,,單純形迭代得：,,所以得到新的最優(yōu)生產(chǎn)計劃為產(chǎn)品I生產(chǎn)2件，產(chǎn)品II不生產(chǎn)，此時總利潤上升為6萬元。,例3.8假設產(chǎn)品II的價格不變，請問產(chǎn)品I的利潤在什么范圍內(nèi)波動時，最優(yōu)生產(chǎn)計劃不變？ 解：假設c1由3變?yōu)?，則,,,,欲使最優(yōu)生產(chǎn)計劃不變，須,,,,,2、約束條件右端向量b的變化,例3.9 穗羊公司倉庫盤點時發(fā)現(xiàn)，資源B的每周可使用量

18、可以增加到5噸，請制定新的最優(yōu)生產(chǎn)計劃。,解：,因為,，所以需要進行對偶單純形迭代。由原最優(yōu)單純形表得：,,因為x2=-1<0，所以令其岀基。拿檢驗數(shù)所在行除以出基變量所在行，商最小的列對應的元素作為主元素。這里正數(shù)和零不能作為主元素 。本題中第三行只有a34=-2<0，所以選擇a34作為主元素，進行對偶迭代。 迭代的目標：右端向量劃為非負把基變量所在列劃成單位矩陣基變量檢驗數(shù)化為零。,迭代后得：,,3、增加一種

19、新產(chǎn)品,例3.10 穗羊公司研發(fā)部門開發(fā)了一種新產(chǎn)品III，單位產(chǎn)品對A、B、C三種資源的消耗系數(shù)為，該產(chǎn)品單位利潤為2萬元。問產(chǎn)品III是否應該生產(chǎn)？如果生產(chǎn)，各產(chǎn)品生產(chǎn)量是多少？,解：產(chǎn)品III機會成本,,該產(chǎn)品的檢驗數(shù),，所以應該生產(chǎn)。,,,,將上述數(shù)據(jù)代入原最優(yōu)單純形表得下表：,,,所以，新的最優(yōu)生產(chǎn)計劃是產(chǎn)品I和產(chǎn)品III分別生產(chǎn)2件和1/2件，產(chǎn)品II不生產(chǎn)，總利潤為7萬元。,4、增加一個新的約束條件,例3.11：穗羊公司

20、生產(chǎn)部門發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)除了受到A、B、C三種資源的約束外，還要受到資源D的約束。資源D周可用量為6，生產(chǎn)單位產(chǎn)品I、II對資源D的消耗分別為7/2和2。請制定新的最優(yōu)生產(chǎn)計劃。,解：根據(jù)題意，需要在原問題后面增加新約束,,,將原最優(yōu)生產(chǎn)計劃X=（3/2，1）’代入該約束方程得：,,不滿足新約束條件。將約束方程添加松弛條件得：,,將此約束方程代入原最優(yōu)單純形表得下表：,,,,將a41、a42化為0得下表：,,,,,,對偶單純形迭代得下表：,,所

21、以新的最優(yōu)生產(chǎn)計劃是產(chǎn)品I和產(chǎn)品II分別生產(chǎn)2/5件和23/10件，總利潤為24/5萬元。,5、約束條件系數(shù)aij的變化,例3.12：穗羊公司經(jīng)過技術(shù)革新，將生產(chǎn)產(chǎn)品I對資源C的單位消耗量從4變?yōu)?，即P1=（1,2,4）’ 變?yōu)镻1=（1,2,2）’。請求出新的最優(yōu)生產(chǎn)計劃。,解：,,,,,,令,,將 插入原最優(yōu)單純形表格得：,,,,,,繼續(xù)迭代，并刪除原第一列，得下表：,故新的最優(yōu)生產(chǎn)計劃是產(chǎn)品I、II分別生產(chǎn)1單位和2單位