概率論第八章

1、1,第八章 假設檢驗,例1. 某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖.包得的袋裝糖重是一個隨機變量,它服從正態(tài)分布.當機器正常時,其均值為0.5公斤,標準差為0.015公斤.某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機地抽取它所包裝的糖9袋,稱得凈重為: 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 問機器是否正常？,“概率反證法

2、”思想： 為了檢驗一個假設是否成立，先假定它是成立的，然后看在這個假設成立的條件下，是否會導致不合理結果。,“反證法”思想： 為了證明某個命題不成立，先假定它是成立的，然后在這個命題成立的條件下，推出矛盾。,4,在顯著性水平a下, 檢驗假設H0:m=m0, H1:m?m0. (1.2),H0稱為原假設或零假設, H1稱為備擇假設.,5,如果假設H0為真,,則觀察值`x與m0的偏差|`x-

3、m0|一般不應太大.,6,因為決策的依據(jù)是樣本, 當實際上H0為真時仍可能做出拒絕H0的決策.這是一種棄真錯誤, 犯這種錯誤的概率記為,P{當H0為真拒絕H0}?a.(1.1),7,由標準正態(tài)分布分位點的定義得: k=za/2.,8,冤假錯案,漏網(wǎng)之魚,這種只對犯第I類錯誤的概率加以控制, 而不考慮犯第II類錯誤的概率的檢驗,稱為顯著性檢驗.,11,形如(1.2)式中的備擇假設H1, 表示m1可能大于也可能小于m0, 稱

4、為雙邊備擇假設, 而稱形如(1.2)式的假設檢驗為雙邊假設檢驗.,前面的檢驗問題常敘述成:在顯著性水平a下, 檢驗假設H0:m=m0, H1:m?m0. (1.2),當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域C中的值時, 我們拒絕原假設H0, 則C稱為拒絕域, 拒絕域的邊界點稱為臨界點,,12,綜上所述, 處理參數(shù)的假設檢驗問題步驟為:1. 根據(jù)實際問題的要求, 提出原假設H0及備擇假設H1;,2. 給定顯著性水平a以

5、及樣本容量n;,3. 確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域的形式;,4. 按P{當H0為真拒絕H0}<a求出拒絕域;,5. 取樣, 根據(jù)樣本觀察值作出決策, 是接受H0還是拒絕H0.,練習1．已知某煉鐵廠生產(chǎn)的鐵水的含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.122). 現(xiàn)在測定了9爐鐵水，測得其平均含碳量為4.49, 若方差沒有變化，可否認為現(xiàn)在生產(chǎn)的鐵水的平均含碳量仍為4.55(取a=0.05)?,14,有時只關心總體均值是否增大.

6、例如試驗新工藝以提高材料的強度。此時，我們需要檢驗假設H0:m?m0, H1:m>m0. (1.3)形如(1.3)的假設檢驗, 稱為右邊檢驗。,類似地, 有時需要檢驗假設H0:m?m0,H1:m<m0.(1.4)形如(1.4)的假設檢驗, 稱為左邊檢驗.,15,設總體X~N(m,s2), s為已知, X1,X2,...,Xn是來自X的樣本. 給定顯著性水平a. 來求檢驗

7、問題H0:m?m0, H1:m>m0(1.3)的拒絕域.,拒絕H0,拒絕H0,H0:m?m0, H1:m>m0(1.4)的拒絕域.,16,例 公司從生產(chǎn)商購買牛奶。公司懷疑生產(chǎn)商在牛奶中摻水以謀利。通過測定牛奶的冰點，可以檢測出牛奶是否摻水。天然牛奶的冰點溫度近似服從正態(tài)分布，均值m0=-0.545，標準差為s=0.008.牛奶摻水可使冰點溫度升高而接近于水的冰點溫度，測得生產(chǎn)商提交的5批牛奶的冰點溫度

8、，其均值為-0.535. 問是否可以認為生產(chǎn)商在牛奶中摻水？ 取顯著性水平a=0.05。,第二節(jié) 正態(tài)總體均值的假設檢驗,一、單個總體均值 的檢驗,二、兩個總體均值差的檢驗,三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗,,,一、單個總體 均值 的檢驗,,,,,,,,0,,a/2,ta/2(n-1),,a/2,- ta/2(n-1),在實際中, 正態(tài)總體的方差常為未知, 所以我們常用 t 檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的檢驗

9、問題.,上述利用 t 統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t 檢驗法.,某種電子元件的壽命X(以小時計)服從正態(tài)分布, 均為未知. 現(xiàn)測得16只元件的壽命如下:,問是否有理由認為元件的平均壽命等于225(小時)?,例,解,依題意需檢驗假設,二、兩個總體 的情況,關于均值差的其它兩個檢驗問題的拒絕域見表8.1,,例2 P185,三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗,有時為了比較兩種產(chǎn)品

10、, 或兩種儀器, 兩種方法等的差異, 我們常在相同的條件下作對比試驗, 得到一批成對的觀察值. 然后分析觀察數(shù)據(jù)作出推斷. 這種方法常稱為逐對比較法.,例3 有兩臺光譜儀Ix , Iy ,用來測量材料中某種金屬的含量, 為鑒定它們的測量結果有無顯著差異, 制備了9件試塊(它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同), 現(xiàn)在分別用這兩臺機器對每一試塊測量一次, 得到9對觀察值如下:,問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著的差異?,,30,設有

11、n對相互獨立的觀察結果:(X1,Y1), (X2,Y2), ..., (Xn,Yn), 令D1=X1-Y1,, ..., Dn=Xn-Yn,,由于D1,…,Dn是由同一因素所引起的，可認為它們來自同一總體。,設Di~N(mD, sD2), i=1,2,...,n, 其中mD, sD2未知.,則D1,D2,...,Dn相互獨立.,D1,…,Dn是來自總體N(mD, sD2)的簡單隨機樣本。,31,我們需要基于這一樣本檢驗假設:(1)H0

12、:mD=0, H1:mD?0;(2)H0:mD?0, H1:mD>0;(3)H0:mD?0, H1:mD<0.,D1,…,Dn是來自總體N(mD, sD2)的簡單隨機樣本。,32,分別記D1,D2,...,Dn的樣本均值和樣本方差的觀察值為`d, sD2, 按表8.1中單個正態(tài)總體均值的 t 檢驗. 知檢驗問題(1),(2),(3),的拒絕域分別為(顯著性水平為a):,拒絕域為,認為這兩臺儀器的測量結果無顯著的差異.,

13、,,,第三節(jié) 正態(tài)總體方差的假設檢驗,一、單個總體的情況,二、兩個總體的情況,,,,一、單個總體 的情況,(1) 要求檢驗假設:,為了計算方便, 習慣上取,解,例1 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池, 其壽命長期以來服從方差 =5000 (小時2) 的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批這種電池, 從它生產(chǎn)情況來看, 壽命的波動性有所變化. 現(xiàn)隨機的取26只電池, 測出其壽命的樣本方差 =9200(小時2). 問

14、根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化?,拒絕域為:,認為這批電池的壽命波動性較以往有顯著的變化.,二、兩個總體 的情況,需要檢驗假設:,為了計算方便, 習慣上取,例1 設總體X服從N(m,s2), m未知，s2=100，現(xiàn)有樣本x1,x2,…,x52,算得樣本均值為62.75.現(xiàn)在來檢驗假設,第8節(jié) 假設檢驗問題的p值法,以上討論的假設檢驗方法稱為

15、臨界值法。,采用Z檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為,檢驗統(tǒng)計量的觀察值為,這個概率稱為Z檢驗法的右邊檢驗的p值。,看z0是否落入拒絕域,,是原假設H0可被拒絕的最小顯著性水平。,對于任意給定的顯著性水平a，,s2 未知時，可采用檢驗統(tǒng)計量,由樣本求得統(tǒng)計量t的觀測值為t0,,,,,,,p值,t0,,,,,,,p值,t0,,,,,,,0.5p值,t0,,,,,,,0.5p值,t0,稱拒絕H0的依據(jù)很強，或稱檢驗是高度顯著的。,稱拒絕H0的依據(jù)是強的