離散數(shù)學(xué)第10章-謂詞邏輯_第1頁(yè)
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1、1,為什么要研究謂詞邏輯?① 為了刻畫命題內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)。命題邏輯中主要研究命題和命題演算,原子命題是命題演算的基本單位。命題邏輯不再對(duì)原子命題進(jìn)行分解兩個(gè)原子命題之間,常常有一些共同特征。例如:張三是個(gè)大學(xué)生,李四是個(gè)大學(xué)生。但命題邏輯卻無(wú)法研究命題內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)及命題之間的內(nèi)在聯(lián)系。,第10章 謂詞邏輯,2,② 命題邏輯在推理方面存在局限性,有些簡(jiǎn)單的論斷也不能用命題邏輯進(jìn)行推證。例如無(wú)法判斷著名的“蘇格拉底三段論”的正

2、確性。蘇格拉底三段論:令 P:所有的人都是要死的,Q:蘇格拉底是人,R:所以蘇格拉底是要死的。在命題邏輯中,只能用 (P ∧ Q) ?R 表示上述命題,但它不是重言式。所以,這個(gè)簡(jiǎn)單而著名的論斷就無(wú)法用命題邏輯予以推證。,3,原因是:P,Q,R這樣的表示太粗略,沒(méi)有把它們之間的內(nèi)在聯(lián)系反映出來(lái)。辦法:要反映這種內(nèi)在聯(lián)系,就要對(duì)原子命題作進(jìn)一步的分析,分析出其中的客體、謂詞、量詞等,研究它們之間的形式結(jié)構(gòu)及邏輯關(guān)系,總結(jié)

3、出正確的推理形式和規(guī)則。這就是謂詞邏輯所研究的內(nèi)容。謂詞邏輯也叫一階邏輯。,4,基本知識(shí)點(diǎn):1、個(gè)體詞2、謂詞3、量詞4、基于謂詞邏輯的命題符號(hào)化,10.1 謂詞、個(gè)體和量詞,5,基本概念:1、個(gè)體詞:可以獨(dú)立存在的具體的或抽象的客體 個(gè)體常元:具體的或特定,一般用a,b,c,…表示 個(gè)體變?cè)撼橄蟮幕蚍褐傅?,一般用x,y,z,…表示 個(gè)體域:個(gè)體變?cè)娜≈捣秶?全

4、總個(gè)體域:由宇宙間一切事物組成的.,,10.1 謂詞、個(gè)體和量詞,6,2、謂詞 用來(lái)描述個(gè)體詞性質(zhì)或個(gè)體詞之間相互關(guān)系的詞。例: (1)3是有理數(shù)。 (2)x是無(wú)理數(shù)。 (3)小李與小王同歲。 (4)x與y有關(guān)系L。其中“…是有理數(shù)”、“…是無(wú)理數(shù)”、“…與…同歲”、 “…與…有關(guān)系L”均為謂詞。,7,將上述謂詞分別記作大寫字母F、G、H、L,則上述可表示為: (

5、1)F(3) (2)G(x) (3)H(a,b) a:小李。b:小王。 (4)L(x,y),8,謂詞分類:謂詞常元:表示具體性質(zhì)或關(guān)系的謂詞 如上例中F、G、H等命題謂詞變?cè)罕硎境橄蠡蚍褐感再|(zhì)或關(guān)系的謂詞 如上例中L命題,,9,由一個(gè)謂詞和若干個(gè)個(gè)體變?cè)M成的表達(dá)式稱為簡(jiǎn)單命題函數(shù);由n元謂詞P和n個(gè)個(gè)體變?cè)獂1 , x2 , …,

6、xn 組成的命題函數(shù),表示為 P(x1 , x2 , …, xn) 。由一個(gè)或若干個(gè)簡(jiǎn)單命題函數(shù)以及邏輯聯(lián)結(jié)詞組成的的命題形式稱為復(fù)合命題函數(shù)。 注意: 不帶任何個(gè)體變?cè)闹^詞稱為0元謂詞。命題邏輯中的命題可看成是0元謂詞。,10,3、量詞 用來(lái)表示個(gè)體常元或變?cè)g數(shù)量關(guān)系的詞。 量詞分為3種:全稱量詞:“一切”、“所有”、“凡”、“每一個(gè)”、“任意”等,符號(hào)記作?。如:?x

7、表示個(gè)體域內(nèi)所有的x。存在量詞:“有一個(gè)”、“有的”、“存在”、“至少有一個(gè)”等,符號(hào)記作?。如:?y表示個(gè)體域內(nèi)有個(gè)體y。而用?xF(x), ?yG(y)等分別表示在個(gè)體域里存在個(gè)體具有性質(zhì)F和存在個(gè)體具有性質(zhì)G。存在唯一量詞:“存在唯一的”、“恰有一個(gè)”等,符號(hào)記作?!。如令命題 P(x):x是x+1=0的整數(shù)解. 則 ?! x P(x)。,,11,例:在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化。(1)凡是人都呼吸。(2)有的人

8、是左撇子。① 當(dāng)個(gè)體域?yàn)槿祟惣蠒r(shí): 令F(x): x呼吸。G(x): x是左撇子。則(1)?xF(x) (2) ?xG(x)② 當(dāng)個(gè)體域?yàn)槿倐€(gè)體域時(shí): 令F(x): x呼吸。G(x): x是左撇子。M(x): x是人。則(1)?x(M(x) ?F(x)) (2) ?x(M(x)∧ G(x)),4、基于謂詞邏輯的命題符號(hào)化,12,例:在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化。(1)所有的

9、人都長(zhǎng)頭發(fā)。(2)有的人吸煙。解:令 M(x): x是人。(1) 令F(x): x長(zhǎng)頭發(fā)。則符號(hào)化為:   ?x(M(x) ?F(x)),(2) 令S(x): x吸煙。則符號(hào)化為:    ?x(M(x)∧S(x)),13,例:在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化。(3)沒(méi)有人登上過(guò)木星。(4)清華大學(xué)的學(xué)生未必都是高素質(zhì)的。解:令 M(x): x是人。,(3) 令D(x): x登上過(guò)木星。則符號(hào)化為:    ?

10、?x(M(x)∧D(x))(4)令Q(x):x是清華大學(xué)的學(xué)生。H(x):x是高素質(zhì)的。則符號(hào)化為:   ? ?x(Q(x) ?H(x)),14,例:在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化 。(1)兔子比烏龜跑得快。(2)有的兔子比所有的烏龜跑得快。解:令 H(x): x是兔子。W(y):y是烏龜。 K(x,y):x比y跑得快。 則符號(hào)化為:(1)?x ?y(H(x)∧ W(y)

11、?K(x,y)),(2) ?x (H(x)∧ ?y(W(y) ?K(x,y))),15,例:在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化 。(1)每列火車都比有些汽車跑得快。(2)某些汽車比所有火車慢。解:(1)令 H(x): x是火車。W(y):y是汽車。 K(x,y):x比y跑得快。 則符號(hào)化為:   ?x (H(x) ? ? y(W(y) ∧ K(x,y))),(2)令 H(x): x是火車。W(x):x是

12、汽車。 K(x,y):x比y跑得慢。 則符號(hào)化為:    ? x(W(x) ∧ ? y(H(y) ? K(x,y))),16,說(shuō)明:(1)分析命題中表示性質(zhì)和關(guān)系的謂詞,要分別符號(hào)化為一元和n(n ≥ 2)元謂詞。(2)根據(jù)命題的實(shí)際意義選用? 或 ? 。(3)一般來(lái)說(shuō),當(dāng)多個(gè)量詞同時(shí)出現(xiàn)時(shí),它們的順序不能隨意調(diào)換。如: 在實(shí)數(shù)域上用L(x,y)表示x+y=10命題為:對(duì)于任意的x,都存在

13、y使得x+y=10。 可符號(hào)化為: ?x?yL(x,y) 真值為1。 若調(diào)換順序后為: ?y?xL(x,y) 真值為0。,17,(4)有些命題的符號(hào)化形式不止一種。例 在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化 。(1)沒(méi)有不能表示為分?jǐn)?shù)的有理數(shù)。解:(1)令 H(x): x是有理數(shù)。 W(x):x能表示成分?jǐn)?shù)。 則符號(hào)化為:    ?x

14、 (H(x) ? W(x)) 或 ? ?x(H(x)∧ ? W(x)),18,蘇格拉底三段論: 凡是人都是 要死的。 蘇格拉底是人。 蘇格拉底是要死的。設(shè):M(x):x是人。D(x):x是要死的。a:蘇格拉底。則符號(hào)化為: ?x(M(x)?D(x)) ∧M(a) ? D(a),19,練習(xí)題: 在謂詞邏

15、輯中將下列命題符號(hào)化 。(1)烏鴉都是黑色的。 令H(x): x是烏鴉。W(x): x是黑色的。 則符號(hào)化為:   ?x (H(x) ? W(x)) (2)有的人天天鍛煉身體。 令H(x): x是人。W(x): x天天鍛煉身體。 則符號(hào)化為: ?x(H(x)∧ W(x)),20,10.2 謂詞公式,一、謂詞公式,定義 (謂詞公式的遞歸定義) ( 1)命題常元、命題變?cè)?/p>

16、和簡(jiǎn)單命題函數(shù)都是謂詞公式。 (2)如果A是謂詞公式,則 ? A也是謂詞公式。 (3)如果A和B是謂詞公式,則(A∨B)、(A∧B)、 (A →B) 、(A? B) 也是謂詞公式。 (4)如果A是謂詞公式,x是A中的個(gè)體變?cè)?,則 ?xA 和 ?xA 也是謂詞公式。 (5)只有由使用上述四條規(guī)則有限次而得到的才是謂詞公式。,21,例1,?x (H(x) ? W(x)),(

17、? x(M(x)→ D(x))∧ M(a)) → D(a),22,二、轄域、約束變?cè)妥杂勺冊(cè)?令Q(x):x是有理數(shù);F(x):x可以表示為分?jǐn)?shù),這是一個(gè)真值確定的命題。,定義 在謂詞公式 ?xA(x) 和 ?xA(x) 中,x稱為量詞的指導(dǎo)變?cè)?,而公式A(x)稱為量詞的轄域。在?x 和? x 的轄域中,x的所有出現(xiàn)稱為約束出現(xiàn) ,且x稱為約束變?cè)?,而A(x)中不是約束出現(xiàn)的其它變?cè)Q為自由變?cè)?。,23,例 指出

18、下列各公式中的量詞轄域及自由變?cè)图s束變?cè)?(1)?x P(x) → ? y R(x, y) ;,(2) ? x ( P(x) ∧ Q(x)) ;,(3) ? x P(x) ∧ Q(x),24,三、換名規(guī)則和代入規(guī)則,( 1)約束變?cè)獡Q名時(shí),該變?cè)诹吭~及其轄域中的所有出現(xiàn)均須同時(shí)更改,公式的其余部分不變;,1. 換名規(guī)則,(2)換名時(shí),一定要更改為該量詞轄域中沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的符號(hào),最好是公式中未出現(xiàn)過(guò)的符號(hào)。,一個(gè)公式的約束變?cè)?/p>

19、的符號(hào)無(wú)關(guān)緊要,因此可以換名,但需遵守一定規(guī)則,例 對(duì)公式 ?x ( P(x)∧ Q(x, y)) → R(x, y)中x 換名,25,2. 代入規(guī)則:,(1)對(duì)于謂詞公式中的自由變?cè)? 可以代入,代入時(shí)須對(duì)該自由變?cè)乃凶杂沙霈F(xiàn)同時(shí)進(jìn)行代入;,一個(gè)公式的自由變?cè)姆?hào)也允許更改,這種更改稱為帶入,需遵守一定規(guī)則,例 對(duì)公式 (?y ( P(x, y)∧ ?z Q(x, z))) ∨ ?x R(x, y)中的自由變?cè)獂 帶入

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