概率統(tǒng)計 2

1、目標：1、了解隨機事件、概率、條件概率及獨立性等基本概念；2、理解隨機變量及其數(shù)字特征3、掌握數(shù)理統(tǒng)計的基本概念4、掌握常見統(tǒng)計量的分布及其計算5、利用MATLAB求解統(tǒng)計量,第七章 概率統(tǒng)計基礎應用,§1 隨機事件的概率,,教學重點：隨機事件和概率的定義教學難點：古典概型教學目標：掌握隨機事件、概率、獨立性的含義；求解簡單古典概型問題；主要教學方法：結(jié)合概率發(fā)展歷史采取案例引入；小組討論法,確定性現(xiàn)象在一定

2、條件下必然要發(fā)生的現(xiàn)象。,例如在標準大氣壓下，水溫降到 以下會結(jié)冰；,隨機現(xiàn)象在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。,例如 在桌面上拋一枚硬幣，正面朝上；,手舉起石子，放手后石子會落向地面。,在大巴站等車的時間不超過3分鐘。,擲1顆骰子朝上的點數(shù)為5；,某時段在某路口觀察過往車輛數(shù)為12輛；,1. 確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象,2. 隨機事件及其概率,對隨機現(xiàn)象進行觀察的過程稱為隨機試驗,簡稱試驗.記為 E.,定義1：,3

3、.在試驗前不能確定出現(xiàn)哪個結(jié)果.,2.試驗的所有可能結(jié)果是已知的, 且各以一定的可能性出現(xiàn)；,1.試驗可以在相同條件下重復進行；,它有如下特征：,例如，在擲骰子試驗中，,隨機試驗的結(jié)果稱為隨機事件簡稱為事件。一般用大寫字母A、B、C 等表示。,定義2：,事件可分為基本事件和復合事件.,A=“擲出1點”,事件,,基本事件,復合事件,（相對于觀察目的不 可再分解的事件）,（兩個或一些基本事件并在一起，就 構(gòu)成一個復合事件）,事件

4、 B={擲出奇數(shù)點},如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù) .,事件 Ai ={擲出i點} i =1,2,3,4,5,6,概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量,事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！,（概率的描述定義） 隨機事件A發(fā)生的可能性稱為隨機事件A發(fā)生的概率（Probability），記P(A).,定義：,3. 隨機事件的概率,必然事件發(fā)生的可能性是百分之百，此時概率.,0≤P(A)≤1,我們用P(A

5、)表示事件A發(fā)生的概率，則,不可能事件發(fā)生的可能性是零，此時概率,（1）基本事件總數(shù)有限（有限性）；,,,,（2） 每個基本事件發(fā)生的可能性相同（等可 能性）.,古典概型：,,設有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,解：令B={恰有k件次品},,,次品,正品,N-M件正品,案例,概率的統(tǒng)計定義：,定義 N次隨機試驗中，事件A發(fā)生了M次，稱這N次試驗中事件A發(fā)生的頻率為,定義 隨著試驗

6、次數(shù)N的增大，事件A發(fā)生的頻率 僅在某個常數(shù) 附近有微小變化，則稱常數(shù) 為事件A的概率，即,例 野生動物的數(shù)量估計,從某魚塘中撈取100條魚，做上記號后再放回魚塘中。過一段時間，再從該魚塘中撈取40條魚，發(fā)現(xiàn)其中有3條有記號，問該魚塘中大約有多少條魚？,解 設該魚塘中有 條魚，則從魚塘中撈取到1條魚的概率為 ，近似等于其頻率 ，即,解得

7、 （條）,§2 隨機變量及其數(shù)字特征,教學重點：隨機變量的分類及其數(shù)字特征教學難點：計算隨機變量數(shù)字特征教學目標：了解隨機變量的分類及其分布函數(shù)；會計算其數(shù)字特征；主要教學方法：案例教學；講練結(jié)合,(1) 某射手對目標進行射擊, 擊中目標記1分,未擊中目標記0分, 用X表示射手在一次射擊的得分, 則X是依試驗的結(jié)果而取值的變量. X的可能值為0, 1 .,引例,將隨機試驗的結(jié)果用數(shù)來表示，得到依隨

8、機試驗的結(jié)果而取值的變量. 稱為隨機變量。通常用大寫字母X、Y 等或 ξ、η等表示隨機變量。,,1. 隨機變量的概念,,(2) 100件產(chǎn)品中含有5件次品，從中無放回地任意抽檢10 件, 用 ξ 表示出現(xiàn)次品的件數(shù), 則 ξ 依試驗結(jié)果取值的變量, 其可能值為 0,1,2,3,4,5.,表示事件“抽檢10件中出現(xiàn)i 件次品”,表示事件 “10件中出現(xiàn) i 件次品” 的概率.,(3) 某汽車站每10分鐘一班車, 一乘客事先不知道汽車

9、到站的時間, 乘客到站時間是任意的, X表示等候汽車所用時間, 則 表示事件“等候汽車t分鐘”, 其中t=[0, 10].,,,則稱,為離散型隨機變量的概率分布或分布律.,3. 離散型隨機變量的分布,離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)：,,Example1 一批產(chǎn)品中有一、二、三等品及廢品4種，其比率依次為60%、10%、20%、10%，任取一個產(chǎn)品檢驗其質(zhì)量，用隨機變量 ξ 描述檢驗結(jié)果并寫出其概率分布

10、.,解,設 {ξ=k}, k=0, 1, 2, 3, 依次表示抽到廢品, 一等品, 二等品, 三等品, 則概率分布如下表：,Example2 某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.,解 X可取0、1、2為值,P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18,P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81,且 P(X =0)+ P(X

11、 =1)+ P(X =2)=1,,Example3 用隨機變量 X 表示“擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)”，求其概率分布.,解,{X= i} 表示“擲出i點”, 則,即,P,,由于連續(xù)型隨機變量取值可以充滿某個區(qū)間，為了研究其概率分布，類似于質(zhì)量分布的研究法，已知質(zhì)量分布的線密度函數(shù) μ(x) 時，在區(qū)間[a,b]上分布的質(zhì)量m可由質(zhì)量密度函數(shù)積分求得，即,4. 連續(xù)型隨機變量的分布,,使得對任意 , 有,對于隨機變量

12、X ,如果存在非負可積函數(shù)f(x) , x,則稱 f(x)為 X 的概率密度函數(shù).,（1） 概率密度的定義,1 o,2 o,（3）連續(xù)型隨機變量的概率,引例 8.1 某公司考慮一項投資計劃, 市場狀況是隨機的, 在不同的市場狀況下有不同的收益如下:,該投資計劃的期望收益是:,5. 離散型隨機變量的數(shù)學期望,定義1 設離散型隨機變量X 的概率分布為 P(X=xk)=pk , k=1,2,…即,稱為離散型隨即變量X的數(shù)學

13、期望. 記為E(X).,即離散型隨機變量X的數(shù)學期望是X的各個可能值與其對應的概率乘積之和.,則和數(shù),Example1 (投資決策) 為適應市場需要, 某地提出擴大服裝生產(chǎn)的 兩個方案. 兩方案的收益及市場狀況的概率如下表:,在不考慮投資成本的情況下, 應選擇哪一種方案?,解,建大廠的收益期望:,建小廠的收益期望:,建大廠的收益更高, 故選擇建大廠的方案.,0.1,練習2,已知X的分布列及X的期望為2, 則a=____,b

14、= ____.,0.2,4,即連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學期望為X的取值x與概率密度 f (x) 的乘積在區(qū)間(-∞,+∞)上的廣義積分.,定義2 設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為 f (x) , 則稱,為X的數(shù)學期望，記為E(X). 即,6. 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,這意味著，若從該地區(qū)抽查很多個成年男子，分別測量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是1.68.,已知某地區(qū)成年男子身高X~,1. E(C)=C （C為常數(shù)）;

15、,5. 若X、Y獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y);,2. E(kX)=kE(X) （k為常數(shù)）;,3. E(kX+b) = kE(X)+b ;,注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立,7. 數(shù)學期望的性質(zhì),性質(zhì)3, 4可推廣到有限個隨機變量 的情形.,4. E(X+Y)=E(X)+E(Y),解,8. 隨機變量的方差,如何定量地描述這個偏差？,若X是離散型隨機變量, 則,若X是連續(xù)型隨機變量, 則,Exa

16、mple3 計算引例中兩種投資方案收益的方差:,故公司應選擇第二種方案投資.,計算方差常用公式,方差的性質(zhì) (設k, c 為常數(shù)),解,甲, 乙兩公司一年后股價期望相同, 但甲公司的股價方差小于乙公司股價的方差, 即購買甲公司股票的風險較小.,1. 期望 期望描述隨機變量取值的集中位置,常用公式,3. 期望與方差的性質(zhì),2. 方差,五. 小結(jié),§3 統(tǒng)計基礎知識介紹,教學重點：數(shù)理統(tǒng)計的基本概念教學難點：參數(shù)估計

17、的原理及計算教學目標：了解總體、樣本、統(tǒng)計量和估計量的定義和關系；掌握參數(shù)估計的原理及計算主要教學方法：案例教學；講練結(jié)合,,教學重點：數(shù)理統(tǒng)計的基本概念教學難點：參數(shù)估計的原理及計算教學目標：了解總體、樣本、統(tǒng)計量和估計量的定義和關系；掌握參數(shù)估計的原理及計算主要教學方法：案例教學；講練結(jié)合,引例1 某工廠為了檢測一批出廠的十萬只燈泡的壽命，出廠時隨機抽取了1000只燈泡進行檢測.,引例2 為了統(tǒng)計全國的人均消費，規(guī)定每個地

18、區(qū)隨機抽取千分之一的人口進行統(tǒng)計調(diào)查.,在數(shù)理統(tǒng)計中我們把研究對象的全體稱為總體，組成總體的每一單元稱為個體，被抽取到的所有個體的集合稱為樣本.,,,,,總體,樣本,,,,,總體,樣本,1. 總體、樣本,在進行統(tǒng)計抽樣時，由于調(diào)查具有破壞性（如檢測燈泡壽命、檢驗炸彈的威力等）或者總體所包含的個體數(shù)量非常龐大（如調(diào)查全國的人均消費水平、股票指數(shù)的變化等）等原因，不可能對所有個體進行觀測.而只能抽取其中一部分樣本進行觀測.從總體中抽取樣本

19、時，為了使抽取的樣本具有代表性，通常要求：,1. 抽取方法要統(tǒng)一，應使總體中每一個個體被抽到的機會是均等的.,2.每次抽取是獨立的，即每次抽樣結(jié)果不影響其它各次抽樣結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響.,隨機抽樣,滿足以上兩點的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣，由簡單隨機抽樣得到的樣本叫做簡單隨機樣本，今后我們凡提到抽樣及樣本都是指簡單隨機抽樣和簡單隨機樣本.,我們通常只關心總體的一個或幾個指標，如例1中燈泡的壽命，例2中人均消費。這些指標可用隨

20、機變量來表示.在對樣本進行觀測時，每個個體的取值結(jié)果都是一個隨機變量.,,n個樣本,,樣本觀測值,表示,樣本,,樣本的某種函數(shù),集中樣本中我們關心的信息,,,統(tǒng)計量,“加工提煉”,在例1中，我們希望知道全體燈泡的平均壽命，一個簡單的方法就是用樣本的平均壽命 去估計總體的平均壽命.在此過程中，我們將稱為統(tǒng)計量.這種為了集中樣本中的有關信息而建立的樣本的某種函數(shù)稱為統(tǒng)計量。,2. 統(tǒng)

21、計量,樣本均值 (1) 樣本方差 (2)

22、 樣本均方差 (3),常用的統(tǒng)計量,案例1現(xiàn)有一批支援災區(qū)的衣褲，共500箱，每箱內(nèi)放的衣褲數(shù)量差不多，估計這批衣褲有多少件。,解：,為估計衣褲總數(shù)，隨機抽查其中30箱，清點的數(shù)量是：,101，104，98，111，103，9

23、7，110，99，99，100，103，97，104，102，96，102，98，101，96，105，105，98，102，101，107，97，104，96，103，94。,樣本的平均數(shù)是：,以此為總體的平均數(shù)估計值，也就是說，每箱平均有衣褲101.1件，500箱共計50550件衣褲，也可以說：這批支援災區(qū)的衣褲大約是5萬件。,通常用樣本均值去估計總體均值。,案例2 估算案例1的標準差。,解：,即總體標準差的估計值為4.14

24、7.估計這批衣褲每箱的件數(shù)在 之間。,通常用樣本均方差去估計總體標準差。,課堂練習,1．使用測量儀器對同一值進行了12次獨立測量，測量值為(單位：mm)： 232．50， 232．48， 232．15， 232．53，232．24， 232．30， 232．48， 232．05，232．45， 232．60， 232．47， 232．30．估計樣本的估計值 與方差