中國(guó)海洋大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)第5章-連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、信號(hào)與線性系統(tǒng),拉普拉斯變換及收斂區(qū)常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯反變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析法雙邊拉普拉斯變換線性系統(tǒng)的模擬信號(hào)流圖,第五章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析,,,第五章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析,基于傅里葉變換的頻域分析法引入了信號(hào)頻譜和系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，具有清晰的物理意義。但頻域分析有其局限性：,1、要求函數(shù)絕對(duì)可積(狄里克雷條件),拉普拉斯變換,,,傅里葉變換的推廣,可解決上

2、述問(wèn)題,2、只能求零狀態(tài)響應(yīng)，求全響應(yīng)困難,3、運(yùn)算復(fù)雜,函數(shù)f(t)不滿足絕對(duì)可積條件往往是由于當(dāng)︱t︱→∞ 時(shí)f(t)不衰減造成的，因此若人為乘上一個(gè)衰減因子e-σt，就可能符合絕對(duì)可積條件，因而其傅里葉變換存在：,,,,§5.2 拉普拉斯變換,拉普拉斯正變換,,,,1、拉普拉斯變換的定義,,,拉普拉斯反變換,拉普拉斯正變換,,,更常用的是單邊拉普拉斯變換，定義為：,,,正變換：,反變換：,,雙邊拉普拉斯正變換,,,與傅里

3、葉變換一樣有時(shí)也記為,F(s)稱為復(fù)頻譜（象函數(shù)）,S 稱為復(fù)頻率,,,,,,,2、拉普拉斯變換的物理意義,一對(duì) 合成一個(gè)實(shí)信號(hào)，代表的是一個(gè)正弦分量,,,一對(duì) 合成一個(gè)實(shí)信號(hào)，代表的是一個(gè)按 變化的正弦分量,,,,拉普拉斯變換的物理意義：,沿σ-j∞→σ+j∞積分路徑，將無(wú)窮多個(gè)est分量迭加得f(t),拉普拉斯反變換：,拉普拉斯變換：,將f(t) 沿σ-j∞→σ+j∞分解為無(wú)窮多個(gè)es

4、t分量,傅里葉變換：,沿路徑 -j∞→+j∞(虛軸)的分解與迭加,,,拉普拉斯變換的特例,A1,A2,B1,B2,C1,C1*,C2,C2*,,的含義,S平面,,,,,§5.3 拉普拉斯變換的收斂域,1、收斂域定義：,使f(t) e-σt收斂，即F(s)存在的σ的取值范圍,f(t) e-σt收斂,在 s 平面上 以σ= σ0 為界將s 平面分為兩個(gè)區(qū)域。,σ= σ0 稱收斂邊界,σ>σ0 為收斂域（不包含邊界）,在收斂

5、域內(nèi)f(t)的拉普拉斯變換F(s)存在， 在收斂域外則不存在。 F(s)的所有極點(diǎn)必須在收斂域外。,,2、單邊拉普拉斯變換收斂域的判別方法,1. 持續(xù)時(shí)間有限的單個(gè)脈沖信號(hào),,3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域,收斂域?yàn)檎麄€(gè)s平面，拉斯變換無(wú)條件存在。,能量有限信號(hào)，因此不管σ取何值總是滿足,,收斂域?yàn)椴话撦S的右半平面,,,2. 單位階躍信號(hào),,,3. 單邊指數(shù)信號(hào),,,,,,4. 單邊斜變信號(hào),,1、在電子技術(shù)中常用的有

6、始函數(shù)一般都屬于指數(shù)階函數(shù)，單邊拉普拉斯變換存在，有收斂域。2、能量有限的信號(hào)，單邊拉普拉斯變換的收斂域?yàn)檎麄€(gè)復(fù)平面。3、有始無(wú)終的單邊函數(shù)，單邊拉普拉斯變換的收斂域總是在某一收斂軸的右邊。4、在收斂域中不包含極點(diǎn)。5、凡符合絕對(duì)可積條件的函數(shù)不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換，收斂域必定包含虛軸；反之，凡不符合絕對(duì)可積條件的函數(shù)，收斂域必不包含虛軸，傅里葉變換不一定存在。,結(jié)論：,§5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變

7、換,,,,,,收斂域?yàn)?σ > Re(α),,,,推論：,,,,,,2、單位階躍函數(shù),,,3、單位沖激函數(shù),,,,,,,衰減的正弦、余弦、雙曲函數(shù)等都可用同樣的方法求出,4、單邊正弦函數(shù),,,,,5、t 的正冪函數(shù) tnε(t) （n為正整數(shù)）,,,,,,,,,,符合絕對(duì)可積條件的函數(shù)不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換。所以，其傅里葉變換和拉普拉斯變換可以相互轉(zhuǎn)化。,不符合絕對(duì)可積條件的函數(shù)，其傅里葉變換和拉普拉斯變換則

8、不符合上面的轉(zhuǎn)化關(guān)系。,,,,,常用函數(shù)的拉普拉斯變換：,,記?。?§5.6 拉普拉斯變換的性質(zhì),拉普拉斯變換和傅里葉變換變換的性質(zhì)有些是 相似的，而有些是有區(qū)別的，要注意它們的相似 之處和不同之處不要混淆。,,這些性質(zhì)都是針對(duì)單邊拉普拉斯變換的。,,,,,1、線性,若：則：,,,3、時(shí)間平移,若：,則：,例1：f(t)如圖，求F(s)。,解：,,,,例2: 如圖有始周期函數(shù) f(t)， 若其第一個(gè)周期

9、 的函數(shù)記為f1(t)， 且,,求：F(s)。,解：,,,結(jié)論：,周期為T的有始周期函數(shù) ，其拉普拉斯變換為,為 第一個(gè)周期的普拉斯變換,,,,4、復(fù)頻域平移,若：,,例如：由,可得：,又如：,,,,,5、時(shí)域微分,若：,證明：,本性質(zhì)可推廣到n階導(dǎo)數(shù)，即：,,,,說(shuō)明：這里的,是指函數(shù),及其各階導(dǎo)數(shù)在,時(shí)刻的值，如果都取,時(shí)刻的系統(tǒng)稱為,系統(tǒng)。,及其它的各階導(dǎo)數(shù)在,和,它們的拉普拉斯變換不同,

10、本書采用,系統(tǒng),的值不同時(shí)，,,,,例：,，求：,和,系統(tǒng)下，,的拉普拉斯變換。,解：,系統(tǒng)：,系統(tǒng)：,,6、時(shí)域積分,,,本性質(zhì)也可推廣到多重積分,,,則：,區(qū)間為,如積分,,,,,7、復(fù)頻域微分與積分,,8、對(duì)參變量的微分與積分,,,,,1、使用微分性質(zhì)：,2、使用參變量微分性質(zhì)：,,,,9、初值定理：,,若函數(shù) 及導(dǎo)數(shù) 存在，且,則 的初值,,,,,如果f(t)在t=0處有沖激及其導(dǎo)數(shù)存在，則F(s) 為假分式，可

11、分解為s的多項(xiàng)式與真分式之和：,注意：,,,,10、終值定理,則f(t)的終值,證明：前面已證,,,,,,解：,例1：,,,,,解：,例2：,,,,11、卷積定理,,證明：時(shí)域,,,,頻域,,,,,,§5.5 拉普拉斯反變換,已知 求,求反變換,,,1.部分分式展開法,2.留數(shù)法（圍線積分法）,,,一、部分分式展開法,,,若象函數(shù) 為有理分式：,為正整數(shù),為實(shí)數(shù),時(shí),,,,,,為真分式,i) 若

12、 有n個(gè)單階極點(diǎn),則,,,,,,,,,例1：,已知：,解：,,,,分析：F(s)為假分式，先化為真分式,解：,例2：,,,,若F(s)分母中的二次式有一對(duì)共軛復(fù)根，則在部分分式展開時(shí)可把它們作為整體來(lái)處理。,解：,,,,解一：,用待定系數(shù)法確定：,例4：,兩邊同乘 ：,得：,,,,解二:,例4：,,,,ii)若F(s) 有一個(gè)p階極點(diǎn)s1，另有n-p個(gè)單極點(diǎn)sp+1， ... sn。,,則：,,,

13、,,,,,例5：,,,,,,,二、留數(shù)法（圍線積分法）,,表示復(fù)變函數(shù)g(s)沿s平面中不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的閉合路徑c的積分（積分方向?yàn)榉磿r(shí)針?lè)较颍?，可由g(s)在圍線內(nèi)極點(diǎn)上的留數(shù)來(lái)確定。,,復(fù)變函數(shù)中的圍線積分,對(duì)照拉普拉斯反變換公式：,,可見拉普拉斯反變換也是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分問(wèn)題，被積函數(shù)為F(s)est， 積分路徑為σ-j∞→σ+j∞不是圍線，為此我們補(bǔ)充一個(gè)半徑為無(wú)窮大的半圓使它成為一個(gè)閉合路徑，同時(shí)可以保證被積函數(shù)的所有極點(diǎn)在圍線

14、內(nèi)。,,t>0時(shí)，若σt<σ0t 應(yīng)取左半圓弧t<0，若σt<σ0t應(yīng)取右半圓弧,,,,,,,若為0,則,,約當(dāng)引理：1、當(dāng)∣s∣=R→∞時(shí)，∣F(s)∣→02、因子est中指數(shù)st的實(shí)部σt應(yīng)滿足σt<σ0t，σ0為大于σc的某一常數(shù)。,F(s)為真分式即可,,,單邊拉普拉斯變換t>0，所以積分路徑取左半圓弧,,,,小結(jié)：,1、拉普拉斯變換中的被積函數(shù)為F(s)est，顯然F(s)的

15、 極點(diǎn)就是F(s)est的極點(diǎn)。,2、對(duì)于單邊拉普拉斯變換，F(xiàn)(s)的收斂域在收斂軸 的右邊，因而積分路徑取左半圓弧。,3、左半圓弧的半徑取無(wú)窮大，則圍線中包含了F(s) 也是F(s)est的所有極點(diǎn)。,4、根據(jù)約當(dāng)引理，F(xiàn)(s)拉普拉斯反變換就等于 F(s)est的所有極點(diǎn)上的留數(shù)之和。,,F(s)極點(diǎn)的留數(shù)的求法：,,,,,,,,,,,,,,,,,,先化為真分式,,,,,,,,,,,,,§

16、;5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析法,一、由微分方程的拉普拉斯變換求解系統(tǒng),全響應(yīng)的拉普拉斯變換,自動(dòng)計(jì)入初始條件直接求得全響應(yīng),,,,例：已知一個(gè)二階系統(tǒng)的微分方程為：,方程兩邊取拉普拉斯變換：,求全響應(yīng),解：,代入初始條件并整理得：,,依據(jù)兩個(gè)方面的約束：,,,,,二、由電路的S域模型求解系統(tǒng),1、元件的伏安特性,2、電路的基本定律(KVL,KCL),,,例1：電路如圖所示，求回路電流i1(t)。,解：,畫原電路的S域模型：,,,

17、列方程,,,,,,求回路電流i1(t)，要求分零輸入和零狀態(tài)求。,解：畫s域模型：,例:,,,1、先求零輸入響應(yīng)，將電路中的激勵(lì)短路列回路方程：,,,,2、求零狀態(tài)響應(yīng)，將電路中的等效電源短 路，列 回路方程：,全響應(yīng),,,,,,,三、由系統(tǒng)函數(shù)H(s)求解系統(tǒng),,,,系統(tǒng)函數(shù)H(s)的求法：,1).由h(t)求:,2).由微分方程求:,3).由S域模型求:,方程兩邊取拉氏變換，所有初始條件為零,,,,微分算子H(p)與

18、 H(s)、 H(jw)的關(guān)系：,,,已知系統(tǒng)的微分方程,例：,,,例2-3：,求RC電路的沖激響應(yīng)h(t)。,激勵(lì)為e(t)，響應(yīng)為i(t)，,解：,特征根=自然頻率=系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn),,,,,2.求零輸入響應(yīng),系統(tǒng)的特征根（自然頻率）,,(系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)),,,,,,,2.求零輸入響應(yīng),2).根據(jù)極點(diǎn)的階數(shù)寫出零輸入響應(yīng)的形式,3).由初始條件求待定系數(shù),1).由H(s)求其極點(diǎn),由H(s)求 的步驟：,(單根),(k

19、重根),,,,例5.14,例5.15,對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)可用微分方程（數(shù)學(xué)模型）描述，也可以用具體的物理模型（如：電路）描述。但對(duì)一些高階的復(fù)雜系統(tǒng)，用具體物理模型描述是困難的?？梢苑奖愕赜靡恍┗镜倪\(yùn)算器從數(shù)學(xué)意義上來(lái)模擬其輸入輸出關(guān)系,§5.10 線性系統(tǒng)的模擬,適合用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)或集成化,,線性系統(tǒng)的模擬,,模擬框圖,信號(hào)流圖,,,一、基本運(yùn)算器,,（2）.標(biāo)量乘法器,,（1）.加法器,,,（3）. 積分器（初值為0）,

20、初值不為0時(shí),采用書上的符號(hào)：輸出 用y(t)表示，簡(jiǎn)記為y激勵(lì) 用x(t)表示，簡(jiǎn)記為x求導(dǎo) 用函數(shù)加撇表示。,二、系統(tǒng)模擬（零狀態(tài)）,,則原方程可改寫為：,,,,二階系統(tǒng)（不含x的導(dǎo)數(shù)）,,,,,直接型模擬框圖,,引入中間變量,令,則,,,n階系統(tǒng)(若m=n-1):,直接型模擬框圖,,三、系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)與并聯(lián),H(s)可分為r個(gè)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)或并聯(lián)：,,,,,,,作出直接型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型模擬框圖。,例：,已知：,,,作出直接

21、型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型模擬框圖。,例：,已知：,,,§5.11 信號(hào)流圖,信號(hào)流圖:,一種簡(jiǎn)化的系統(tǒng)模擬圖,由結(jié)點(diǎn)、支路和環(huán)組成,更簡(jiǎn)潔、更通用,可用梅森(Mason)公式求出系統(tǒng)任意兩點(diǎn)之間的傳輸值,,,信號(hào)用小圓圈（結(jié)點(diǎn)）表示 信號(hào)的傳輸路徑用有向線段（支路）表示 傳輸值標(biāo)在支路旁,,例：,,,等效為乘積,一、信號(hào)流圖的化簡(jiǎn),1、支路串聯(lián)（各支路首尾相接）,,,2、支路并聯(lián)（始于同一結(jié)點(diǎn)，終于同一結(jié)點(diǎn)）,等效為和,,,3、

22、結(jié)點(diǎn)消除,,,4、自環(huán)消除,,(1)、出支路不變；(2)、入支路乘以1/(1-t)。,,,,,,二、梅森公式,梅森公式則可以根據(jù)流圖直接計(jì)算任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的傳輸值：,圖形行列式,Li ——第i個(gè)環(huán)的傳輸值,LiLj ——兩個(gè)互不接觸的環(huán)的傳輸值之積,LiLjLk ——三個(gè)互不接觸的環(huán)的傳輸值之積,Gk ——前向傳輸路徑的傳輸值,Δk ——不與第k條前向路徑接觸的子圖的Δ值,,例：,用梅森公式求總傳輸值H,解：1、求Δ,2、求Gk和