4.3.2-光學(xué)支和聲學(xué)支

1、一、 長(zhǎng)聲學(xué)波,以一維雙原子鏈為例討論。,1.對(duì)于聲學(xué)支格波,2.對(duì)于連續(xù)介質(zhì),考慮介質(zhì)中x與(x+dx)間長(zhǎng)度為dx的一段，設(shè)一維介質(zhì)的線密度為?，則這段介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方程為：,4.3.2 光學(xué)支和聲學(xué)支,改用偏微商的符號(hào)，則有：,上式是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程，其解為：,代入得：,由此得彈性波的傳播相速度：,在簡(jiǎn)單情況下上式中c相當(dāng)于楊式模量。,恢復(fù)力,將上式用于一維復(fù)式格子，應(yīng)變是,其中um+1和um分別是第m+1個(gè)及第m個(gè)原子的位移，a為第m

2、+1個(gè)及第m個(gè)原子平衡時(shí)的間距。,又:,對(duì)一維復(fù)式格子，顯然密度?為：,可推知：,由此可以看出，彈性波的波速與長(zhǎng)聲學(xué)波的波速完全相等，即長(zhǎng)聲學(xué)波與彈性波完全一樣。,長(zhǎng)聲學(xué)波，格波可以看成連續(xù)波，晶體可以看成連續(xù)介質(zhì)。,長(zhǎng)光學(xué)波，在半波長(zhǎng)范圍內(nèi)，正負(fù)離子各向相反的方向運(yùn)動(dòng)，電荷不再均勻分布，出現(xiàn)以波長(zhǎng)為周期的正負(fù)電荷集中的區(qū)域。由于波長(zhǎng)很大，使晶體呈現(xiàn)出宏觀上的極化，因此長(zhǎng)光學(xué)波又稱(chēng)為極化波。,由兩種不同離子組成的一維復(fù)式格子。,1.黃昆

3、方程,二、離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波,離子晶體的極化,離子位移極化,電子位移極化,對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，在相當(dāng)大的范圍內(nèi)，同種原子的位移相同，所以離子位移極化強(qiáng)度為：,,對(duì)于立方晶格，洛倫茲提出了求解有效電場(chǎng)的方法，由理論分析得到：,e*為離子的有效電荷量,一個(gè)原胞內(nèi)正負(fù)離子受到有效電場(chǎng)的作用，產(chǎn)生的電子位移極化強(qiáng)度為：,其中?為原胞的體積，?+ ，?- 分別為正負(fù)離子的電位移極化率，,則總的極化強(qiáng)度為：,將

4、 代入，得：,? = ?+ + ? -,,,作用在離子上的除了準(zhǔn)彈性恢復(fù)力以外，還要考慮到有效電場(chǎng)的作用。,則正負(fù)離子的運(yùn)動(dòng)方程為：,再看離子運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)一維復(fù)式格子的方程,由上式 得:,,引進(jìn)位移參量,則有,---黃昆方程,(1)式代表振動(dòng)方程，右邊第一項(xiàng) 為準(zhǔn)彈性恢復(fù)力，第二項(xiàng)表示電場(chǎng) 附加了恢復(fù)力。,(2)式代表極化方程， 表

5、示離子位移引起的極化，第二項(xiàng)表示電場(chǎng) 附加了極化。,晶體內(nèi)無(wú)自由電荷，得,將電場(chǎng)分成有旋場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)兩部分，,2.LST關(guān)系(Lyddane—Sachs—Teller關(guān)系),將黃昆方程 代入得,上式的成立條件是：,由黃昆方程得：,將上式中的有旋場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)分開(kāi)得到：,上面兩方框中式子均為簡(jiǎn)諧方程，由此得振動(dòng)頻率,為了將系數(shù)b11，b21(=b12)和晶體的介電系數(shù)聯(lián)系起來(lái)，再考慮兩種極端情況：,式中?s是離子晶體的相對(duì)介電常數(shù)。,對(duì)于光

6、頻振動(dòng)，離子的慣性已跟不上如此高頻的振動(dòng)，其位移W=0由黃昆方程(2)式得：,式中??是離子晶體的光頻介電常量。,,又,---著名的LST關(guān)系,光頻介電常量,靜電介電常量,有些晶體在某種溫度下，,,,,恢復(fù)力消失，發(fā)生位移的離子回不到原來(lái)平衡位置，即晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變。在這一新結(jié)構(gòu)中，正負(fù)離子存在固定的位移偶極矩，產(chǎn)生了所謂的自發(fā)極化。,(2)鐵電軟模(光學(xué)軟模),相當(dāng)于彈簧振子系統(tǒng)中的彈簧喪失了彈性，即彈簧變軟。稱(chēng) 的