第五章-——第二次課自動控制理論

1、5.1 頻率特性5.2 對數坐標圖5.3 極坐標圖5.4 用頻率法辨識線性定常系統(tǒng)的數學模型5.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據5.6 相對穩(wěn)定性分析5.7 頻域性能指標與時域性能指標之間的關系,第五章 頻率響應法,5.2 對數坐標圖,一、對數坐標圖及其特點,1.博德圖（ Bode圖 ）的構成,對數相頻特性圖 — j (w)， 單位是°,橫坐標是對 ? 取以10為底的對數（lg?）進行分度的。,Bode圖由 2 幅圖構成：

2、,,對數幅頻特性圖 — L(?)=20lg|G(j?)|， 單位是分貝，用 dB表示,縱坐標都是按照線性進行分度的。,橫坐標是角頻率 。,標注角頻率的真值，以方便讀數。?每變化十倍，橫坐標1gw就增加一個單位長度，記為decade或簡寫dec，稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。,在繪制函數關系時，相當于lgw為自變量。,若橫軸上有兩點w1與w2，則該兩點的距離不是w2 - w1，而是lgw2 - lgw1，如2與20、10與100之間的距

3、離均為一個單位長度，即一個十倍頻程。,橫坐標對于w是不均勻的，但對1gw卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。,更詳細的刻度如下圖所示,,,,,0.1,1,10,100 ?/ (rad·s-1),,,2,3,,縱坐標是對幅值分貝(dB)數進行分度，用L(?) = 20lg M(?) 表示。 對數相頻特性圖的橫坐標分度方法同對數幅頻特性，而縱坐標則對相角進行線性分度，單

4、位為度（o），仍用? (?)表示。,2.博德圖（ Bode圖 ）的優(yōu)點,（2）幅頻特性取分貝數［20lg|G|］后，使各因子間的乘除運算變?yōu)榧訙p運算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統(tǒng)設計和分析變得容易。,（1）橫坐標按頻率取對數分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。,（3）可采用由直線段構成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡

5、便。,（4）對實驗所得的頻率特性用對數坐標表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達式。,二、典型因子的博德圖,為了便于對頻率特性作圖，開環(huán)傳遞函數均以時間常數形式表示。,開環(huán)頻率特性 G(jw)H(jw) 一般由下列5種典型因子組成。,1）比例因子 K,2）一階因子,4）二階因子,3）積分和微分因子,5）滯后因子,1. 比例因子K,比例環(huán)節(jié)： ；,幅頻特性：

6、 ；相頻特性：,幅值上有放大或衰減作用；,比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復現任何頻率的輸入信號,? (?) = 0º，表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。,1）當 w << w1時，則有,其中，w1 = 1/T。,這表示 L(w) 的低頻漸近線為0dB的一條水平線。,2. 一階因子,,2）當 w >> w1時，則有,因此對數頻率特性曲線是一條斜線, 斜率為-20dB/dec, 稱為高頻漸近線，與低

7、頻漸近線的交點為?1 = 1/T，?1 (也記為?T )稱為轉折頻率（轉角頻率），是繪制慣性環(huán)節(jié)的對數頻率特性時的一個重要參數。,,,波德圖誤差分析（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：,當 時，誤差為：,當 時，誤差為：,最大誤差發(fā)生在 處，為,如需由漸近對數幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉折頻率的一個十倍頻程范圍內對幅頻特性曲線進行修正就足夠了。,對

8、數幅頻和相頻曲線如下圖所示。,3. 積分、微分因子,積分環(huán)節(jié)的對數幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線。在 ? = 1這一點穿過0dB線。,（1）積分因子,對數幅頻特性是一條斜率+20dB/dec的斜線在 ? = 1 這一點穿過0dB線。,（2）微分因子,的對數幅頻特性曲線,（3）因子,4. 二階因子,對數幅頻特性,T? << 1(或? << 1/T )時，L(?) ? 20lg1 = 0dB，低頻漸

9、近線與0dB線重合。,（1）二階振蕩環(huán)節(jié),對數幅頻特性圖 -- 低頻段,T? >> 1(或 ? >> 1/T)時，并考慮到（0≤?≤1），有 L(?) ? -20lg(?T )2 = -40lg(?T )= -40lg? - 40lgT dB,?T = 1/T 為低頻漸近線與高頻漸近線交點處的橫坐標，稱為轉折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率?n。求? = 1/T 時的實

10、際值L(?)?,,,對數幅頻特性圖 -- 高頻段,說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線，稱為高頻漸近線。,0.4 0.7，誤差很大，必須對漸近線進行修正。,震蕩環(huán)節(jié)對數幅頻特性的誤差曲線,諧振峰值與諧振頻率,? ? 0.4時，漸近線需要加尖峰修正。隨? 的減小，諧振峰值Mr增大， 諧振頻率?r也越接近振蕩環(huán)節(jié) 的無阻尼自然振蕩頻率?n。諧振峰值Mr -- 阻尼比? --單位階 躍響應的最大超調量--系統(tǒng)

11、的相對穩(wěn)定性就越差。 當?=0時，?r ≈ ?n ， Mr ≈ ?， 振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。,當? = 0時，?(?) = 0 °當? = 1/T 時，?(?) = -90°當? → ∞時，?(?) → -180°,振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0º→ -180º；阻尼比的取值對曲線形狀的影響較大。,對數相頻特性,對數相頻特性,對數幅頻特性,（2）二階

12、微分因子,5. 滯后因子e-tjw,滯后因子的幅頻和相頻表達式為,?(?)是呈指數規(guī)律下降的曲線，隨?增加而滯后無限增加。,三、開環(huán)系統(tǒng)的博德圖,設開環(huán)傳遞函數,則其對應的對數幅頻和相頻特性分別為,畫開環(huán)系統(tǒng)的博德圖的方法（1）間接法：做出G(jw)所含各因子的對數幅頻和相頻特性曲線，然后對它們分別進行代數相加即可。（2）順序斜率疊加法：用工程上的方法，直接畫出開環(huán)系統(tǒng)的博德圖。,將系統(tǒng)傳遞函數分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式,順序斜率疊加

13、法,不必將各個典型環(huán)節(jié)的L(w) 繪出，而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(w)曲線, j(w)曲線描點或疊加求取。,由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成,（1）L(?)的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。 系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對 數幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加。,1: 基本規(guī)律,（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定 。,,G(jω)的低頻段表達式為,?(

14、?) = -v 90°,低頻漸近線表達式為,低頻段的對數幅頻特性與相頻特性與積分環(huán)節(jié)的個數v及開環(huán)傳遞系數K有關。,低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線。低頻漸近線（及其延長線）上在?=1時，有 L(1)=20lgK。,,（3）轉折頻率及轉折后斜率變化量的確定。,在慣性環(huán)節(jié),斜率－20dB/dec；,在一階微分環(huán)節(jié) G(s)=(1+?s) 的轉折頻率 1/? 處，

15、 斜率＋20dB/dec；,在振蕩環(huán)節(jié),斜率－ 40dB/dec。,其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉折頻率處使L(?)的斜率發(fā)生相應的變化。,的轉折頻率 1/T 處，,的轉折頻率 1/T 處，,（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關系。,當?→ ?時，由于 n＞m，高頻段的近似表達式為,高頻段為一條斜率為 -20(n-m)

16、 dB/dec 的斜線。高頻段的對數幅頻特性與相頻特性均與 (n-m) 有關。,?(?)= -(n-m) · 90°,1. 分析系統(tǒng)由哪些典型環(huán)節(jié)串聯組成，將開環(huán)傳遞函數 寫成標準的時間常數表達式，寫出開環(huán)頻率特性的表達 式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉折頻率。,,2: 繪制步驟,3. 確定低頻漸近線(由積分環(huán)節(jié)個數v與K決定)，找到橫坐 標為 w = 1、縱坐標為20lgK 的

17、點，過該點作斜率為 -20v dB/dec 的斜線。,2. 選定Bode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng) 最低轉折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉折頻率的 10倍左右。確定坐標比例尺，由小到大標注各轉折頻率。,4. 由低頻向高頻延伸，每到一個轉折頻率，斜率根據具體環(huán)節(jié)作相應的改變：,,5. 如有必要，對漸近線進行修正，以得到精確的對數幅頻特性。其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉折

18、頻率處以及轉折頻率的二倍頻和 1/2倍頻處的幅值就可以了。,過慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率處斜率 -20 dB/dec；在比例微分環(huán)節(jié)的轉折頻率處斜率 +20 dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)轉折頻率處斜率 -40 dB/dec；最終斜率為 -20(n-m) dB/dec。,6．對數相頻特性圖：,7. 若系統(tǒng)串聯有滯后環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特 性，只影響系統(tǒng)的對數相頻特性，則可以求出相頻特性的表達式，直接描點繪制對數相頻特性曲線

19、。,可求出?(?)的表達式，在低頻、中頻、高頻分別取點計算，逐點描繪。,低頻時有 ?(?) = -v 90?， 最終相位為 ?(?) = -(n-m)90?。,分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數相頻特性曲線，將各典型環(huán)節(jié)的對數相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng) 的對數相頻特性曲線。,例：已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,試繪制開環(huán)系統(tǒng)的博德圖。,解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為,它的對數幅頻特性為,轉折頻率： 2 10,（2）相

20、頻特性,,,[-20],,[-40],,,,,,,,,,[-20],,[-40],0.5,例 ：,30,轉折頻率：0.5 2 30,四、最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng),根據開環(huán)傳遞函數的零點與極點的位置，一般分為以下兩種系統(tǒng)：,（1）如果系統(tǒng)傳遞函數在右半 s 平面上沒有極點和零點，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成）。,（2）系統(tǒng)傳遞函數在右半 s 平面上有一個(或多個)零點或極點，稱為非最小相位

21、系統(tǒng)。,顯然 G1(s) 屬于最小相位系統(tǒng)。,用一個簡單例子來說明最小相位系統(tǒng)的慨念。,?2(?)= - arctan?? - arctanT? (0°，-180°),對數幅頻特性相同,相頻特性,?1(?)= arctan?? - arctanT? (0°，0°), - 90°(n-m),(1) 具有相同幅頻特性的一些系統(tǒng)，其中最小相位系統(tǒng)的相位角變化是最小的 。,(2)

22、 最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性存在唯一的對應關系。,對于最小相位系統(tǒng)可以通過實驗的方法測量并繪制出開環(huán)對數幅頻特性曲線L(?)，就可以唯一確定此系統(tǒng)，推出相應的?(?)，寫出其開環(huán)傳遞函數。而對于非最小相位系統(tǒng)，只有同時知道了幅頻特性和相頻特性才能寫出它的傳遞函數。,特 點,“最小相位”這一概念來源于網絡理論。,它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的，稱為最小相位環(huán)節(jié)； 反之，其中相角位移大于最小可

23、能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。,五、系統(tǒng)的類型與對數幅頻特性曲線 低頻漸近線斜率的對應關系,對數幅頻聽的低頻段由因式,按照v的數值將實際控制系統(tǒng)分為三種類型。,來表征。,1：0 型系統(tǒng),0型系統(tǒng)對數幅頻特性低頻漸近線為一條20lgK dB的水平線。,低頻漸近線斜率為-20 dB/dec。,開環(huán)增益 K 在數值上等于低頻漸近線（或延長線）與0dB線相交點的頻率值。,低頻漸近線（或延長線）在 w = 1處的相交坐標

24、值為20lgK。,2：I 型系統(tǒng),低頻漸近線斜率為-40dB/dec。,開環(huán)增益K在數值上等于低頻漸近線（或延長線）與0dB線相交點的頻率值的二次方。,低頻漸近線（或延長線）在w = 1處的相交坐標值為20lgK。,3：II 型系統(tǒng),5.1 頻率特性5.2 對數坐標圖5.3 極坐標圖5.4 用頻率法辨識線性定常系統(tǒng)的數學模型5.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據5.6 相對穩(wěn)定性分析5.7 頻域性能指標與時域性能指標之間的關系,第五章

25、 頻率響應法,5.4 用頻率法辨識線性定常系統(tǒng)的數學模型,一、由實驗作出被測系統(tǒng)對數幅頻特性曲線的漸近線,給被測系統(tǒng)輸入不同頻率的正弦信號。 對于大時間常數的系統(tǒng)，頻率范圍為0.01～10Hz； 對于小時間常數的系統(tǒng)，應選擇頻率較高的正弦信號。 在足夠多的頻率點上，測得被測系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號與輸 入信號的幅值比和相位差。 據此作出該系統(tǒng)的對數幅頻特性和相頻特性曲線。,用斜率為0dB/dec、

26、7;20dB/dec、 ±40dB/dec等直線段 對所測的對數幅頻特性曲線作近似處理，求出漸近線。,注意: 由于測量的是被測系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位，因 而該系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。,,,,,●,,●,二、由Bode圖求取傳遞函數的一般規(guī)則,(1) 由低頻段的斜率-20v dB/dec 可推知含積分環(huán)節(jié)個數為 v。,(2) 由 w ＝ 1處低頻段的高度 L (w)| w =1

27、 = 20lg K； 或低頻段（或其延長線）與0dB線交點處的w 值， 確定系統(tǒng)的開環(huán)增益值。,,(3) 漸近線上每一個轉折點為相應典型環(huán)節(jié)的轉折頻率， 根據每個直線段斜率的變化量，確定相應串聯的具體 典型環(huán)節(jié)。,由低頻到高頻： 每增加一個 20 dB/dec, 即含有一個比例微分環(huán)節(jié)； 每降低一個 20 dB/dec，即含有一個慣性環(huán)節(jié)；

28、 若降低一個 40 dB/dec，即含有一個二階振蕩環(huán)節(jié)； 再由峰值偏離漸近線的偏差求阻尼比。,,例3：某最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數幅頻特性曲線的漸近線如圖 所示，求此系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。,,,,,,低頻漸近線的表達式,L(?)=20lgK-20lg?，,可以求出K=30。,例4 : 由實驗求得被測系統(tǒng)的對數幅頻特性曲線如下圖中的 實線所示，試估計該系統(tǒng)的傳遞函數。,,,,,●,,誤差