第4章空間力系

1、第4章 空間力系,§4.1 空間匯交力系的合成與平衡§4.2 力對點的矩與力對軸的矩§4.3 空間力偶系§4.4 空間任意力系的簡化§4.5 空間任意力系簡化結(jié)果的分析 §4.6 空間任意力系的平衡§4.7 重心和形心,1、一次投影法（直接投影法）已知力F與直角坐標(biāo)系Oxyz三軸正向間的夾角 和 ，由圖可知：,§

2、;4.1 空間匯交力系的合成與平衡,工程中常常存在著各力的作用線在空間呈任意分布的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系?？臻g匯交力系是空間力系的特殊情況。,4.1.1 力在直角坐標(biāo)軸上的投影,,,,,3,,2、二次投影法（間接投影法） 當(dāng)力與各軸正向夾角不易確定時，可先將 F 投影到xy面上，然后再投影到x、y軸上，即,,4,3、力沿坐標(biāo)軸分解： 若以 表示力沿直角坐標(biāo)軸的正交分量，

3、i、j、k分別表示沿x、y、z軸的單位矢量，則力F可表示為：,,,力F的大小和方向余弦分別為：,,,5,[例4-1] 已知:沿圖所示長方體的對角線AB有一力F作用，其值為F=500N。 求：該力在三個坐標(biāo)軸上的投影。,解：采用二次投影法。由圖中幾何關(guān)系可知：,,,因此，力F在坐標(biāo)軸上的投影分別為：,,,,6,4.1.2 空間匯交力系的合成與平衡,,1、幾何法：與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法求合力。

4、 FR=F1+F2+…+Fn=即：合力FR的大小和方向可由其空間力多邊形的封閉邊確定。,,,2、解析法：由于 Fi=Fixi+ Fiyj+ Fizk （i=1，2，…，n）代入上式得：,7,即合力在某一坐標(biāo)軸上的投影，等于力系中所有各力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是空間匯交力系的合力投影定理。合力FR的大小和方向余弦分別為,而合力FR

5、又可表示為 FR=FRxi+FRyj+FRzk其中FRx、FRy和FRz分別為FR在x、y和z軸上的投影。比較以上兩式，可得,,,,8,3、空間匯交力系的平衡,∴解析法平衡充要條件為：,∴幾何法平衡充要條件為該力系的力多邊形封閉。,空間匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，即：,,,稱為平衡方程空間匯交力系的平衡方程,[例4-2] 已知:直桿AB和AC鉸接于點A，其下懸掛一物體重

6、G=1000N，并用繩子AD吊住。已知桿AB與桿AC長度相等且互相垂直，∠OAD=30°，圖中O、B、A、C都在同一水平面內(nèi)，B、C處均為球鉸鏈。 求：桿AB、桿AC以及繩子AD所受的力。,9,解：(1) 選取鉸鏈A為研究對象。,,,,,,,10,(2) 通過節(jié)點A的主動力有重力G，約束力有繩子AD的拉力FT；由于B、C處為球鉸鏈，桿AB和AC均為二力桿，其約束力FAB、FAC 沿AB、AC連線，如圖所示。G、

7、FT、FAB和FAC四個力匯交于點A，構(gòu)成一空間匯交力系。 (3) 列平衡方程并求解,,,,,,,,,,11,代入有關(guān)數(shù)據(jù)可解得FT＝2000N， FAC＝-1224.7N， FAB＝-1224.7N FAB和FAC均為負(fù)值，說明這兩個力的實際方向與假設(shè)方向相反，即兩桿均受壓力。,,,,,,12,§ 4．2 力對點的矩與力對軸的矩,力矩矢通過矩心O，垂直于力矩平面，指向由右手螺旋規(guī)則來確定，即

8、從矢量的正向觀看，力矩的轉(zhuǎn)向是逆鐘向的。,,13,,即：力對任一點的矩等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢積。,14,4.2.2 力對軸的矩,結(jié)論：力對于任一軸之矩等于力在垂直于該軸平面上的投影對于軸與平面的交點之矩。力對//它的軸的矩為零。即力F與軸共面時，力對軸之矩為零。,[證],,15,4.2.3 力矩關(guān)系定理,[證]任取一點O，并過O點作一軸z，力F對點O之矩MO(F)垂直于 所在平面，其模為,,,力F對z軸之

9、矩為,,其中 為 在垂直于z軸的平面上的投影，即,,,式中 為兩三角形平面間的夾角，也就是力矩矢MO(F)與z軸之間的夾角。于是,,,16,定理：力對于任一點之矩矢在通過該點的任一軸上的投影等于力對于該軸之矩，這稱為力矩關(guān)系定理。,設(shè)力F作用點的坐標(biāo)為（x,y,z）,力對坐標(biāo)軸之矩的解析表達(dá)式為：,Mx(F)= yFz – zFyMy(F)= zFx – xFzMz(F)=xFy – yFx,

10、17,解：(1)用合力矩定理計算。,,,,,,,[例4-3] 已知:手柄ABCD位于平面Axy內(nèi)，D處有一力F作用在垂直于y軸的平面內(nèi)，與鉛垂線的夾角為?。桿BC平行于x軸，桿CD平行于y軸，圖中O、B、A、C都在同一水平面內(nèi)，B、C處均為球鉸鏈。CD=a, 求：力F對于x、y和z軸之矩。,,18,將力F沿直角坐標(biāo)軸方向分解為Fx和Fz，則Fx = Fsin?, Fz = Fcos?。應(yīng)用合力矩定理有

11、 Mx(F)= Mx(Fz)= – F(l + a)cos? My(F)= My(Fz)= – Fl cos? Mz(F)= Mz(Fx)= – F(l + a)sin? (2)用力對軸之矩的解析式計算力F在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為Fx = Fsin?，F(xiàn)y＝0，F(xiàn)z =- Fcos?；力F作用點D的坐標(biāo)為( -l，l+a，0)，代入公式可得 Mx(F)=

12、yFz ? zFy=– F(l + a) cos? My(F)= zFx ? xFz =– Fl cos? Mz(F)= xFy ? yFx =– F(l + a) sin?,,,,,,,,,19,§4-3 空間力偶系,矢量的長度表示力偶矩的大小，矢量的方位與力偶作用面的法線方向相同，指向按右手螺旋規(guī)則確定，如圖所示。,,各力偶的作用面在空間呈任意分布的力偶系稱為空間力偶系。,20,[證]

13、設(shè)在圖剛體的平面I內(nèi)作用著一個力偶（FA，F(xiàn)B）。今在同一剛體的另一平行平面II內(nèi)作一直線CD，使其與AB平行且相等。在C點加一對平衡力FC和 ，在D點加一對平衡力FD和 ，并令FC=-FD =FA，如圖所示。,4.3.2 空間力偶的等效條件 作用在同一剛體的兩平行平面的兩個力偶，若它們的轉(zhuǎn)向相同，力偶矩的大小相等，則兩個力偶等效。,,,21,,,根據(jù)加減平衡力系公理，加在剛體平面II內(nèi)的平衡力系并不改

14、變原來在平面I內(nèi)的力偶（FA，F(xiàn)B）的作用。 連接AC、BD，構(gòu)成平行四邊形ACDB，其對角線AD與BC的交點為O。由平行力系合成理論，F(xiàn)A和 兩個等值同向的平行力的合力 ，作用線過點O。同樣，F(xiàn)B和 的合力 ，作用線也通過點O。由于FAD與FBC為一對平衡力，可去掉，而只剩下作用于平面II內(nèi)C點的力FC和D點的力FD，這兩個力形

15、成一個新的力偶（FC，F(xiàn)D）。顯然，它與原力偶（FA，F(xiàn)B）等效。 因此力偶矩矢為一自由矢量。,22,4.3.3 空間力偶系的合成與平衡,由于力偶矩矢是自由矢量，在對空間力偶系進(jìn)行合成時，可將各力偶矩矢平行地搬移到任一點。類似于一般的矢量運算，力偶矩矢的合成也符合平行四邊形法則。因此，空間力偶系可以合成為一個合力偶，其合力偶矩矢等于力偶系中各力偶矩矢的矢量和，即,,23,求合力偶矩矢通常采用解析法。將矢量方程向三個直角坐

16、標(biāo)軸投影，得：,,因此，合力偶矩矢的大小和方向余弦分別為：,,,24,,投影式為：,顯然空間力偶系的平衡條件是：力偶系中各力偶矩矢的矢量和等于零。即,,,即力偶系中各力偶矩矢在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和都等于零。,[例4-4] 已知:圓盤O1和O2與水平軸AB固連，盤面O1垂直于z軸，O2垂直于x軸，盤面上分別作用有力偶(F1，F(xiàn)‘1)和(F2，F(xiàn)’2)，如圖4-12a所示。兩盤半徑均為200mm，F(xiàn)1 = 3kN，F(xiàn)2 = 5kN，A

17、B = 800mm，不計構(gòu)件自重。 求：軸承A和B處的約束力。,25,,,,,,,,,,26,(2) 受力分析 主動力有力偶(F1，F(xiàn)‘1) 和(F2，F(xiàn)’2)；由于力偶只能由力偶平衡，故約束力FAx = ?FBx，F(xiàn)Az = ?FBz，如圖所示，為一空間力偶系。 (3) 列平衡方程并求解 ?Mx= 0, 400F2 ? 800FBz = 0 ?

18、Mz= 0, 400F1 + 800FAx = 0 解得 FAx = FBx = ?1.5kN, FAz = FBz = 2.5kN 負(fù)號說明圖中所設(shè)方向與實際方向相反。,,,,,,,,解：(1)研究對象 取整體為研究對象。,27,§4-4 空間任意力系的簡化,,,設(shè)圖所示剛體上作用著一空間任意力系F1，F(xiàn)2…, Fn 。為了對這個力系進(jìn)行簡化，在剛體內(nèi)任

19、選一點O作為簡化中心。應(yīng)用力的平移定理，將各力平移至O點，并各附加一個力偶。這樣，原力系變換為作用于點O的空間匯交力系 和空間附加力偶系M1，M2，…, Mn。,28,,,,,空間匯交力系 可以合成為作用于點O的一個力 ，即上式又可寫為即 等于原力系中各力的矢量和，稱為原力系的主矢。,主矢 的大小和方向余弦為

20、：,,,29,,,,,,,,,空間附加力偶系M1，M2，…, Mn可合成為一個力偶，其力偶矩矢為上式又可寫為即矢量MO等于原力系中各力對于簡化中心之矩的矢量和，稱為原力系對于O點的主矩。主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。,,,主矩MO的大小和方向余弦為：,30,空間一般力系向一點簡化得一主矢和主矩，下面針對主矢、主矩的不同情況分別加以討論。,§4-5 空間任意力系簡化結(jié)果的分析,,1、若 ,則力系合

21、成為一個通過簡化中心O的合力，其合力等于力系的主矢 。,2、若 則力系合成為一個力偶，其力偶矩等于力系對于簡化中心的主矩。此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。,3、若 ,則力系平衡，這種情況將在下一節(jié)詳細(xì)討論。,31,,4、若 時，又可分為以下三種情況：,,,,32,,,,,,,,（c）當(dāng)與MO不平行也不垂直，成任意角度q 時,將力偶矩矢MO沿著與力 平行和垂直的兩個方向分解為M1和M2。再

22、將力 和矩為M2的力偶合成為作用線過 點的一個力 ，其力矢等于力系的主矢 ，其作用線到簡化中心O的距離 。然后再將力偶矩矢M1平移到 點，從而最后合成為一個力螺旋，如圖所示。,33,空間力系的合力矩定理：,,,由于合力FR對于簡化中心O之矩等于力系對于點O的主矩，即 。而主矩又等于原力系中各力對簡化中心O之矩的矢量和，即

23、 ，因此有：,,即空間任意力系的合力對于任一軸之矩等于力系中各力對于同一軸之矩的代數(shù)和。,即當(dāng)空間任意力系可以合成為一個合力時，其合力對于任一點的矩等于力系中各力對于同一點之矩的矢量和。此為空間任意力系的合力矩定理。,34,一、空間任意力系的平衡充要條件是：,所以空間任意力系的平衡方程為：,§ 4.6 空間任意力系的平衡,,,還有四矩式，五矩式和六矩式同時各有相應(yīng)的限制條件。,二、空間平行力系的平衡方程，

24、設(shè)各力線都 // z 軸。,第一、二和第六式自動滿足,,[例4-5] 已知:已知起重機(jī)，AD=DB =1m，CD=1.5m，CM=1m。機(jī)身與平衡錘重G=100kN，其作用線在平面LMN內(nèi)，到機(jī)身軸線MN的距離為0.5m，起重量G1=30kN 求：當(dāng)平面LMN平行于AB時，地面對三個輪子的約束力。,35,,,,,,,,,,36,(2) 受力分析 作用于起重機(jī)上的力有重力G、G1和地面對三個輪子的鉛垂約束力FA、FB、FC，

25、這些力構(gòu)成空間平行力系。 (3)建立坐標(biāo)系Mxyz如圖，列平衡方程并求解 解得,,,,,,,,解：(1)研究對象 取起重機(jī)整體為研究對象。,,,,,,,[例4-6] 已知:水平傳動軸作勻速轉(zhuǎn)動，皮帶輪I、II的半徑分別為r1=300mm，r2=150mm。皮帶拉力都在垂直于y軸的平面內(nèi)，且FT1和FT2沿水平方向，F(xiàn)T3和FT4與鉛垂線的夾角 。已知FT1 = 2 FT2

26、= 2kN，F(xiàn)T3= 2FT4，a =0.5m 。 求：皮帶的拉力FT3、FT4以及軸承A、B處的約束力。,37,,,,,,,,,,,38,(2) 受力分析 假設(shè)約束力方向與坐標(biāo)軸正向一致，其受力如圖所示。 (3) 列平衡方程并求解 解得負(fù)值說明其實際方向與假設(shè)方向相反。,,,,,解：(1) 取傳動軸和兩個皮帶輪組成的系統(tǒng)為研究

27、對象。,,,,,,,,,,,,39,解題技巧：①用取矩軸代替投影軸，解題常常方便②投影軸盡量選在與未知力垂直，力矩軸選在與未知 力平行或相交 ③一般采用從整體到局部的研究方法。,注意問題： ①力偶在投影軸中不出現(xiàn)（即在投影方程中不出現(xiàn)） ②空間力偶是矢量，平面力偶是代數(shù)量。 ③求物體重心問題常用組合法。 對于均質(zhì)物體，重心、中心、形心為同一點。,40,將物體視為由無數(shù)質(zhì)點組成的，則重力便近似構(gòu)成一空間

28、平行匯交力系，這個力系合力的大小就是物體的重量。重力的合力作用線總是通過物體中一個確定的點，這個點稱為物體的重心。重心的位置在工程中有重要意義。工程中常常需要確定物體重心的位置。,§4-7 重心和形心,4.7.1 物體重心的坐標(biāo)公式,,設(shè)重心C的坐標(biāo)為（xC，yC，zC），應(yīng)用合力矩定理，分別對坐標(biāo)軸軸取矩，得,,,41,由以上三式可得物體重心坐標(biāo)公式,,,,物體形心的坐標(biāo)公式 如果物體是均質(zhì)的，其單位體積的重

29、量為 ，各微小部分的體積為 ，整個物體的體積 ，則： 代入上式，得,,，,,,由此可見，均質(zhì)物體的重心位置與物體的重量無關(guān)，而只取決于物體的幾何形狀，這時物體的重心就是物體幾何形狀的中心—形心。,42,4.7.2 物體重(形)心的求法,,,,1、組合法,求：圖示L形截面的形心位置。,43,代入公式，得：,,,,,,,負(fù)面積法：本例中的L截面也可看作由