第6章 分支限界法

1、1,第六章 分支限界法,2,第六章 分支限界法,本章主要知識(shí)點(diǎn) 6.1 分支限界法的基本思想 6.2 單源最短路徑問(wèn)題 6.3 裝載問(wèn)題 6.4 布線問(wèn)題 6.5 0－1背包問(wèn)題 6.6 最大團(tuán)問(wèn)題 6.7 旅行售貨員問(wèn)題 6.8 電路板排列問(wèn)題 6.9 批處理作業(yè)調(diào)度,3,6.1分支限界法的基本思想,1. 分支限界法與回溯法的不同（1）求解目標(biāo)：回溯法的求

2、解目標(biāo)是找出解空間樹(shù)中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)。,4,6.1分支限界法的基本思想,2. 分支限界法基本思想 分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹(shù)。 在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)

3、只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。 此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。,5,6.1分支限界法的基本思想,3. 常見(jiàn)的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法 按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取

4、下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。 （2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法 按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。,6,6.2單源最短路徑問(wèn)題,1. 問(wèn)題描述,下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明單源最短路徑問(wèn)題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。,7,6.2單源最短路徑問(wèn)題,下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問(wèn)題產(chǎn)生的解空間樹(shù)。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表

5、示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。,,8,6.2單源最短路徑問(wèn)題,2. 算法思想 解單源最短路徑問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來(lái)存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。 算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開(kāi)始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂

6、點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。,9,6.2單源最短路徑問(wèn)題,3. 剪枝策略 在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)。 在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩

7、條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)剪去。,10,6.2單源最短路徑問(wèn)題,while (true) { // 搜索問(wèn)題的解空間 for (int j=1;j<=n;j++) if(a[enode.i][j] < Float.MAX_VALUE && enode.length+a[enode.i][j] < dist[j]

8、) { // 頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束 dist[j]=enode.length+a[enode.i][j]; p[j]=enode.i; HeapNode node = new HeapNode(j,dist[j]); heap.put(node); // 加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列 }

9、 if (heap.isEmpty()) break; else enode = (HeapNode) heap.removeMin(); },頂點(diǎn)I和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng),11,6.3 裝載問(wèn)題,1. 問(wèn)題描述,有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且,裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種

10、裝載方案。,容易證明：如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。 (1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。,12,6.3 裝載問(wèn)題,2. 隊(duì)列式分支限界法 在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。

11、 活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。,13,6.3 裝載問(wèn)題,2. 隊(duì)列式分支限界法,,while (true) {

12、 if (ew + w[i] <= c) enQueue(ew + w[i], i); // 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) enQueue(ew, i); //右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的 ew =

13、 ((Integer) queue.remove()).intValue(); // 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) if (ew == -1) { if (queue.isEmpty()) return bestw; queue.put(new Integer(-1)); // 同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

14、 ew = ((Integer) queue.remove()).intValue(); // 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn) i++; // 進(jìn)入下一層 } },14,6.3 裝載問(wèn)題,3. 算法的改進(jìn) 節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)表示將

15、此集裝箱裝上船，右子樹(shù)表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+r?bestw時(shí)，可將其右子樹(shù)剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。 另外，為了確保右子樹(shù)成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹(shù)的時(shí)候更新bestw的值。,15,6.3 裝載問(wèn)題,3. 算法的改進(jìn),// 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) int wt = ew + w[i];

16、 if (wt bestw) bestw = wt; // 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 if (i < n) queue.put(new Integer(wt)); },提前更新bestw,// 檢查右兒子結(jié)點(diǎn) if (ew + r > bestw && i < n) // 可能含最優(yōu)解

17、 queue.put(new Integer(ew)); ew=((Integer)queue.remove()) .intValue(); // 取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn),右兒子剪枝,16,6.3 裝載問(wèn)題,4. 構(gòu)造最優(yōu)解 為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲(chǔ)相應(yīng)子集樹(shù)中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。

18、 private static class QNode { QNode parent; // 父結(jié)點(diǎn) boolean leftChild; // 左兒子標(biāo)志 int weight; // 結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量,17,6.3 裝載問(wèn)題,找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。// 構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解 for (int j

19、 = n; j > 0; j--) { bestx[j] = (e.leftChild) ? 1 : 0; e = e.parent; },18,6.3 裝載問(wèn)題,5. 優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法 解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。

20、 優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹(shù)中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。 在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。,19,6.4 布線問(wèn)題,算法的思想 解此問(wèn)題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置a開(kāi)始將它作為第一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成

21、為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。 接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過(guò)的方格標(biāo)記為2，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個(gè)過(guò)程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格b或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。,20,6.4 布線問(wèn)題,Position [] offset = new Position [4];offset[

22、0] = new Position(0, 1); // 右offset[1] = new Position(1, 0); // 下offset[2] = new Position(0, -1); // 左offset[3] = new Position(-1, 0); // 上,定義移動(dòng)方向的相對(duì)位移,for (int i = 0; i <= size + 1; i++) {

23、 grid[0][i] = grid[size + 1][i] = 1; // 頂部和底部 grid[i][0] = grid[i][size + 1] = 1; // 左翼和右翼 },設(shè)置邊界的圍墻,21,6.4 布線問(wèn)題,for (int i = 0; i < numOfNbrs; i++){ nbr.row = here.row + offset[i].row; nbr.co

24、l = here.col + offset[i].col; if (grid[nbr.row][nbr.col] == 0) { // 該方格未標(biāo)記 grid[nbr.row][nbr.col] = grid[here.row][here.col] + 1; if ((nbr.row == finish.row) &&

25、(nbr.col == finish.col)) break; q.put(new Position(nbr.row, nbr.col)); } },,找到目標(biāo)位置后，可以通過(guò)回溯方法找到這條最短路徑。,22,6.5 0-1背包問(wèn)題,算法的思想 首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。 在下面描述的優(yōu)

26、先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。 算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問(wèn)題的最優(yōu)值。,23,6.5 0-1背包問(wèn)題,上界函數(shù)while (i <

27、= n && w[i] <= cleft) // n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間 { cleft -= w[i]; //w[i]表示i所占空間 b += p[i]; //p[i]表示i的價(jià)值 i++; }

28、if (i <= n) b += p[i] / w[i] * cleft; // 裝填剩余容量裝滿背包return b; //b為上界函數(shù),24,6.5 0-1背包問(wèn)題,while (i != n + 1) {// 非葉結(jié)點(diǎn) double wt = cw + w[i]; if (wt bestp)

29、 bestp = cp + p[i]; addLiveNode(up,cp + p[i],cw + w[i],i + 1, enode, true); } up = bound(i + 1); if (up >= bestp) //檢查右兒子節(jié)點(diǎn) addLiveNode(up,cp,cw,i + 1, enode, fa

30、lse); // 取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）},分支限界搜索過(guò)程,25,6.6 最大團(tuán)問(wèn)題,問(wèn)題描述 給定無(wú)向圖G=(V，E)。如果U?V，且對(duì)任意u，v?U有(u，v)?E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。 下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子

31、圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團(tuán)。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團(tuán)。,26,6.6 最大團(tuán)問(wèn)題,2. 上界函數(shù) 用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹(shù)中所處的層次；用cliqueSize +n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。 在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總

32、是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。,27,6.6 最大團(tuán)問(wèn)題,3. 算法思想 子集樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。 算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其他頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)

33、點(diǎn)，將它加入到子集樹(shù)中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。 接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)upperSize>bestn時(shí)，右子樹(shù)中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹(shù)中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。,28,6.6 最大團(tuán)問(wèn)題,算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。 對(duì)于子集樹(shù)中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSize＝cliqueSiz

34、e。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過(guò)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。,29,6.7 旅行售貨員問(wèn)題,1. 問(wèn)題描述 某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。 路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的

35、一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。 旅行售貨員問(wèn)題的解空間可以組織成一棵樹(shù)，從樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問(wèn)題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。,30,6.7 旅行售貨員問(wèn)題,2. 算法描述 算法開(kāi)始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中

36、每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。 算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹(shù)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：,31,6.7 旅行售貨員問(wèn)題,1、首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)

37、用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。,2、當(dāng)s<n-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)x[s+1:n-1]中選取的頂點(diǎn)x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost<bestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子

38、結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。,32,6.7 旅行售貨員問(wèn)題,算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹(shù)的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小

39、費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。 算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。,33,6.8 電路板排列問(wèn)題,算法描述 算法開(kāi)始時(shí)，將排列樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)置為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小cd值的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。 首先考慮s=n-1的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的電路板排列。計(jì)算出與x相應(yīng)的密

40、度并在必要時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解。 當(dāng)s<n-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的密度node.cd。當(dāng)node.cd<bestd時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)N插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。,34,6.8 電路板排列問(wèn)題,算法描述,do if (enode.s == n - 1) {// 僅一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)

41、int ld = 0; // 最后一塊電路板的密度 for (int j = 1; j <= m; j++) ld += board [enode.x[n]][j]; if (ld < bestd) {// 找到密度更小的電路板排列 x = enode.x; be

42、std = Math.max(ld, enode.cd); } },S=n-1的情況，計(jì)算出此時(shí)的密度和bestd進(jìn)行比較。,35,6.8 電路板排列問(wèn)題,算法描述,else {// 產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn) for (int i = enode.s + 1; i <= n; i++) { HeapNode node = new

43、 HeapNode(0, new int [m + 1], 0, new int [n + 1]); for (int j = 1; j <= m; j++) // 新插入的電路板 node.now[j] = enode.now[j] + board [enode.x[i]][j];,36,6.8 電路板排列問(wèn)題,int ld

44、 = 0; // 新插入電路板的密度f(wàn)or (int j = 1; j 0 && total[j] != node.now[j]) ld++;node.cd = Math.max(ld, enode.cd);if (node.cd < bestd){// 可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點(diǎn) node.s = enode.s + 1; for (int j = 1; j <= n; j++

45、) node.x[j] = enode.x[j]; node.x[node.s] = enode.x[i]; node.x[i] = enode.x[node.s]; heap.put(node); } } },算法描述,計(jì)算出每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)的密度與bestd進(jìn)行比較大于bestd時(shí)加入隊(duì)列,37,6.9 批處理作業(yè)問(wèn)題,1. 問(wèn)題

46、的描述,給定n個(gè)作業(yè)的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一個(gè)作業(yè)Ji都有2項(xiàng)任務(wù)要分別在2臺(tái)機(jī)器上完成。每一個(gè)作業(yè)必須先由機(jī)器1處理，然后再由機(jī)器2處理。作業(yè)Ji需要機(jī)器j的處理時(shí)間為tji，i=1,2,…,n；j=1,2。對(duì)于一個(gè)確定的作業(yè)調(diào)度，設(shè)是Fji是作業(yè)i在機(jī)器j上完成處理的時(shí)間。則所有作業(yè)在機(jī)器2上完成處理的時(shí)間和,稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時(shí)間和。批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題要求對(duì)于給定的n個(gè)作業(yè)，制定最佳作業(yè)調(diào)度方案，使其完成時(shí)間和達(dá)

47、到最小。,38,6.9 批處理作業(yè)問(wèn)題,2. 限界函數(shù),在結(jié)點(diǎn)E處相應(yīng)子樹(shù)中葉結(jié)點(diǎn)完成時(shí)間和的下界是：,注意到如果選擇Pk，使t1pk在k>=r+1時(shí)依非減序排列，S1則取得極小值。同理如果選擇Pk使t2pk依非減序排列，則S2取得極小值。,這可以作為優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中的限界函數(shù)。,39,6.9 批處理作業(yè)問(wèn)題,3. 算法描述,,算法的while循環(huán)完成對(duì)排列樹(shù)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的有序擴(kuò)展。在while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中

48、取出具有最小bb值（完成時(shí)間和下界）的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。,首先考慮enode.s=n的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)enode是排列樹(shù)中的葉結(jié)點(diǎn)。enode.sf2是相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的完成時(shí)間和。當(dāng)enode.sf2 < bestc時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值bestc和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解bestx。,當(dāng)enode.s<n時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)enode的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的完成時(shí)

49、間和的下界bb。當(dāng)bb < bestc時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。而當(dāng)bb? bestc時(shí)，可將結(jié)點(diǎn)node舍去。,40,6.9 批處理作業(yè)問(wèn)題,do { if (enode.s == n ) {// 葉結(jié)點(diǎn) if (enode.sf2 < bestc) { bestc = enode.sf2;

50、 for (int i = 0; i < n; i++) bestx[i] = enode.x[i]; } },3. 算法描述,當(dāng)enode.sf2<bestc時(shí)，更新當(dāng)前最優(yōu)值beste和相應(yīng)的最優(yōu)解bestx,41,6.9 批處理作業(yè)問(wèn)題,3. 算法描述,else // 產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的兒子結(jié)點(diǎn) for (int i

51、= enode.s; i < n; i++) { MyMath.swap(enode.x, enode.s,i); int [] f= new int [3]; int bb=bound(enode,f); if (bb < bestc ) {