第6章 分支限界法

1、1,第六章 分支限界法,2,第六章 分支限界法,本章主要知識點 6.1 分支限界法的基本思想 6.2 單源最短路徑問題 6.3 裝載問題 6.4 布線問題 6.5 0－1背包問題 6.6 最大團問題 6.7 旅行售貨員問題 6.8 電路板排列問題 6.9 批處理作業(yè)調(diào)度,3,6.1分支限界法的基本思想,1. 分支限界法與回溯法的不同（1）求解目標：回溯法的求

2、解目標是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標則是找出滿足約束條件的一個解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費優(yōu)先的方式搜索解空間樹。,4,6.1分支限界法的基本思想,2. 分支限界法基本思想 分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。 在分支限界法中，每一個活結(jié)點

3、只有一次機會成為擴展結(jié)點。活結(jié)點一旦成為擴展結(jié)點，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點。在這些兒子結(jié)點中，導致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點被舍棄，其余兒子結(jié)點被加入活結(jié)點表中。 此后，從活結(jié)點表中取下一結(jié)點成為當前擴展結(jié)點，并重復上述結(jié)點擴展過程。這個過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點表為空時為止。,5,6.1分支限界法的基本思想,3. 常見的兩種分支限界法（1）隊列式(FIFO)分支限界法 按照隊列先進先出（FIFO）原則選取

4、下一個節(jié)點為擴展節(jié)點。 （2）優(yōu)先隊列式分支限界法 按照優(yōu)先隊列中規(guī)定的優(yōu)先級選取優(yōu)先級最高的節(jié)點成為當前擴展節(jié)點。,6,6.2單源最短路徑問題,1. 問題描述,下面以一個例子來說明單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負邊權(quán)。要求圖G的從源頂點s到目標頂點t之間的最短路徑。,7,6.2單源最短路徑問題,下圖是用優(yōu)先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個結(jié)點旁邊的數(shù)字表

5、示該結(jié)點所對應(yīng)的當前路長。,,8,6.2單源最短路徑問題,2. 算法思想 解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結(jié)點表。其優(yōu)先級是結(jié)點所對應(yīng)的當前路長。 算法從圖G的源頂點s和空優(yōu)先隊列開始。結(jié)點s被擴展后，它的兒子結(jié)點被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當前路長的結(jié)點作為當前擴展結(jié)點，并依次檢查與當前擴展結(jié)點相鄰的所有頂點。如果從當前擴展結(jié)點i到頂點j有邊可達，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂

6、點i再到頂點j的所相應(yīng)的路徑的長度小于當前最優(yōu)路徑長度，則將該頂點作為活結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。這個結(jié)點的擴展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點優(yōu)先隊列為空時為止。,9,6.2單源最短路徑問題,3. 剪枝策略 在算法擴展結(jié)點的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個結(jié)點的下界不小于當前找到的最短路長，則算法剪去以該結(jié)點為根的子樹。 在算法中，利用結(jié)點間的控制關(guān)系進行剪枝。從源頂點s出發(fā)，2條不同路徑到達圖G的同一頂點。由于兩

7、條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應(yīng)的樹中的結(jié)點為根的子樹剪去。,10,6.2單源最短路徑問題,while (true) { // 搜索問題的解空間 for (int j=1;j<=n;j++) if(a[enode.i][j] < Float.MAX_VALUE && enode.length+a[enode.i][j] < dist[j]

8、) { // 頂點i到頂點j可達，且滿足控制約束 dist[j]=enode.length+a[enode.i][j]; p[j]=enode.i; HeapNode node = new HeapNode(j,dist[j]); heap.put(node); // 加入活結(jié)點優(yōu)先隊列 }

9、 if (heap.isEmpty()) break; else enode = (HeapNode) heap.removeMin(); },頂點I和j間有邊，且此路徑長小于原先從原點到j(luò)的路徑長,11,6.3 裝載問題,1. 問題描述,有一批共個集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且,裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種

10、裝載方案。,容易證明：如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。 (1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。,12,6.3 裝載問題,2. 隊列式分支限界法 在算法的while循環(huán)中，首先檢測當前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點是否為可行結(jié)點。如果是則將其加入到活結(jié)點隊列中。然后將其右兒子結(jié)點加入到活結(jié)點隊列中(右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點)。2個兒子結(jié)點都產(chǎn)生后，當前擴展結(jié)點被舍棄。

11、 活結(jié)點隊列中的隊首元素被取出作為當前擴展結(jié)點，由于隊列中每一層結(jié)點之后都有一個尾部標記-1，故在取隊首元素時，活結(jié)點隊列一定不空。當取出的元素是-1時，再判斷當前隊列是否為空。如果隊列非空，則將尾部標記-1加入活結(jié)點隊列，算法開始處理下一層的活結(jié)點。,13,6.3 裝載問題,2. 隊列式分支限界法,,while (true) {

12、 if (ew + w[i] <= c) enQueue(ew + w[i], i); // 檢查左兒子結(jié)點 enQueue(ew, i); //右兒子結(jié)點總是可行的 ew =

13、 ((Integer) queue.remove()).intValue(); // 取下一擴展結(jié)點 if (ew == -1) { if (queue.isEmpty()) return bestw; queue.put(new Integer(-1)); // 同層結(jié)點尾部標志

14、 ew = ((Integer) queue.remove()).intValue(); // 取下一擴展結(jié)點 i++; // 進入下一層 } },14,6.3 裝載問題,3. 算法的改進 節(jié)點的左子樹表示將

15、此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當前最優(yōu)解；ew是當前擴展結(jié)點所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當ew+r?bestw時，可將其右子樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。 另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進入左子樹的時候更新bestw的值。,15,6.3 裝載問題,3. 算法的改進,// 檢查左兒子結(jié)點 int wt = ew + w[i];

16、 if (wt bestw) bestw = wt; // 加入活結(jié)點隊列 if (i < n) queue.put(new Integer(wt)); },提前更新bestw,// 檢查右兒子結(jié)點 if (ew + r > bestw && i < n) // 可能含最優(yōu)解

17、 queue.put(new Integer(ew)); ew=((Integer)queue.remove()) .intValue(); // 取下一擴展結(jié)點,右兒子剪枝,16,6.3 裝載問題,4. 構(gòu)造最優(yōu)解 為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲相應(yīng)子集樹中從活結(jié)點到根結(jié)點的路徑。為此目的，可在每個結(jié)點處設(shè)置指向其父結(jié)點的指針，并設(shè)置左、右兒子標志。

18、 private static class QNode { QNode parent; // 父結(jié)點 boolean leftChild; // 左兒子標志 int weight; // 結(jié)點所相應(yīng)的載重量,17,6.3 裝載問題,找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)點，找到最優(yōu)解。// 構(gòu)造當前最優(yōu)解 for (int j

19、 = n; j > 0; j--) { bestx[j] = (e.leftChild) ? 1 : 0; e = e.parent; },18,6.3 裝載問題,5. 優(yōu)先隊列式分支限界法 解裝載問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用最大優(yōu)先隊列存儲活結(jié)點表?；罱Y(jié)點x在優(yōu)先隊列中的優(yōu)先級定義為從根結(jié)點到結(jié)點x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。

20、 優(yōu)先隊列中優(yōu)先級最大的活結(jié)點成為下一個擴展結(jié)點。以結(jié)點x為根的子樹中所有結(jié)點相應(yīng)的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級。子集樹中葉結(jié)點所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級相同。 在優(yōu)先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結(jié)點成為當前擴展結(jié)點，則可以斷言該葉結(jié)點所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時可終止算法。,19,6.4 布線問題,算法的思想 解此問題的隊列式分支限界法從起始位置a開始將它作為第一個擴展結(jié)點。與該擴展結(jié)點相鄰并且可達的方格成

21、為可行結(jié)點被加入到活結(jié)點隊列中，并且將這些方格標記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。 接著，算法從活結(jié)點隊列中取出隊首結(jié)點作為下一個擴展結(jié)點，并將與當前擴展結(jié)點相鄰且未標記過的方格標記為2，并存入活結(jié)點隊列。這個過程一直繼續(xù)到算法搜索到目標方格b或活結(jié)點隊列為空時為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。,20,6.4 布線問題,Position [] offset = new Position [4];offset[

22、0] = new Position(0, 1); // 右offset[1] = new Position(1, 0); // 下offset[2] = new Position(0, -1); // 左offset[3] = new Position(-1, 0); // 上,定義移動方向的相對位移,for (int i = 0; i <= size + 1; i++) {

23、 grid[0][i] = grid[size + 1][i] = 1; // 頂部和底部 grid[i][0] = grid[i][size + 1] = 1; // 左翼和右翼 },設(shè)置邊界的圍墻,21,6.4 布線問題,for (int i = 0; i < numOfNbrs; i++){ nbr.row = here.row + offset[i].row; nbr.co

24、l = here.col + offset[i].col; if (grid[nbr.row][nbr.col] == 0) { // 該方格未標記 grid[nbr.row][nbr.col] = grid[here.row][here.col] + 1; if ((nbr.row == finish.row) &&

25、(nbr.col == finish.col)) break; q.put(new Position(nbr.row, nbr.col)); } },,找到目標位置后，可以通過回溯方法找到這條最短路徑。,22,6.5 0-1背包問題,算法的思想 首先，要對輸入數(shù)據(jù)進行預處理，將各物品依其單位重量價值從大到小進行排列。 在下面描述的優(yōu)

26、先隊列分支限界法中，節(jié)點的優(yōu)先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和。 算法首先檢查當前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點的可行性。如果該左兒子結(jié)點是可行結(jié)點，則將它加入到子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列中。當前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點，僅當右兒子結(jié)點滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列。當擴展到葉節(jié)點時為問題的最優(yōu)值。,23,6.5 0-1背包問題,上界函數(shù)while (i <

27、= n && w[i] <= cleft) // n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間 { cleft -= w[i]; //w[i]表示i所占空間 b += p[i]; //p[i]表示i的價值 i++; }

28、if (i <= n) b += p[i] / w[i] * cleft; // 裝填剩余容量裝滿背包return b; //b為上界函數(shù),24,6.5 0-1背包問題,while (i != n + 1) {// 非葉結(jié)點 double wt = cw + w[i]; if (wt bestp)

29、 bestp = cp + p[i]; addLiveNode(up,cp + p[i],cw + w[i],i + 1, enode, true); } up = bound(i + 1); if (up >= bestp) //檢查右兒子節(jié)點 addLiveNode(up,cp,cw,i + 1, enode, fa

30、lse); // 取下一個擴展節(jié)點（略）},分支限界搜索過程,25,6.6 最大團問題,問題描述 給定無向圖G=(V，E)。如果U?V，且對任意u，v?U有(u，v)?E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團當且僅當U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團是指G中所含頂點數(shù)最多的團。 下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個完全子圖不是團，因為它被G的更大的完全子

31、圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團。,26,6.6 最大團問題,2. 上界函數(shù) 用變量cliqueSize表示與該結(jié)點相應(yīng)的團的頂點數(shù)；level表示結(jié)點在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize +n-level+1作為頂點數(shù)上界upperSize的值。 在此優(yōu)先隊列式分支限界法中，upperSize實際上也是優(yōu)先隊列中元素的優(yōu)先級。算法總

32、是從活結(jié)點優(yōu)先隊列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個擴展元素。,27,6.6 最大團問題,3. 算法思想 子集樹的根結(jié)點是初始擴展結(jié)點，對于這個特殊的擴展結(jié)點，其cliqueSize的值為0。 算法在擴展內(nèi)部結(jié)點時，首先考察其左兒子結(jié)點。在左兒子結(jié)點處，將頂點i加入到當前團中，并檢查該頂點與當前團中其他頂點之間是否有邊相連。當頂點i與當前團中所有頂點之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點是可行結(jié)

33、點，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點優(yōu)先隊列，否則就不是可行結(jié)點。 接著繼續(xù)考察當前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點。當upperSize>bestn時，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時將右兒子結(jié)點加入到子集樹中并插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。,28,6.6 最大團問題,算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹中的一個葉結(jié)點(即n+1層結(jié)點)成為當前擴展結(jié)點。 對于子集樹中的葉結(jié)點，有upperSize＝cliqueSiz

34、e。此時活結(jié)點優(yōu)先隊列中剩余結(jié)點的upperSize值均不超過當前擴展結(jié)點的upperSize值，從而進一步搜索不可能得到更大的團，此時算法已找到一個最優(yōu)解。,29,6.7 旅行售貨員問題,1. 問題描述 某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費)。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費)最小。 路線是一個帶權(quán)圖。圖中各邊的費用（權(quán)）為正數(shù)。圖的

35、一條周游路線是包括V中的每個頂點在內(nèi)的一條回路。周游路線的費用是這條路線上所有邊的費用之和。 旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點到任一葉結(jié)點的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費用最小的周游路線。,30,6.7 旅行售貨員問題,2. 算法描述 算法開始時創(chuàng)建一個最小堆，用于表示活結(jié)點優(yōu)先隊列。堆中每個結(jié)點的子樹費用的下界lcost值是優(yōu)先隊列的優(yōu)先級。接著算法計算出圖中

36、每個頂點的最小費用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個頂點沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個頂點都有出邊，則根據(jù)計算出的minout作算法初始化。 算法的while循環(huán)體完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點的擴展。對于當前擴展結(jié)點，算法分2種情況進行處理：,31,6.7 旅行售貨員問題,1、首先考慮s=n-2的情形，此時當前擴展結(jié)點是排列樹中某個葉結(jié)點的父結(jié)點。如果該葉結(jié)點相應(yīng)一條可行回路且費用小于當前最小費

37、用，則將該葉結(jié)點插入到優(yōu)先隊列中，否則舍去該葉結(jié)點。,2、當s<n-2時，算法依次產(chǎn)生當前擴展結(jié)點的所有兒子結(jié)點。由于當前擴展結(jié)點所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點是從剩余頂點x[s+1:n-1]中選取的頂點x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對于當前擴展結(jié)點的每一個可行兒子結(jié)點，計算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費用cc和相應(yīng)的下界lcost。當lcost<bestc時，將這個可行兒子

38、結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。,32,6.7 旅行售貨員問題,算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹的一個葉結(jié)點成為當前擴展結(jié)點。當s=n-1時，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個頂點。因此，當s=n-1時，相應(yīng)的擴展結(jié)點表示一個葉結(jié)點。此時該葉結(jié)點所相應(yīng)的回路的費用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點的lcost值不小于已找到的回路的費用。它們都不可能導致費用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點所相應(yīng)的回路是一個最小

39、費用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。 算法結(jié)束時返回找到的最小費用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。,33,6.8 電路板排列問題,算法描述 算法開始時，將排列樹的根結(jié)點置為當前擴展結(jié)點。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點優(yōu)先隊列中取出具有最小cd值的結(jié)點作為當前擴展結(jié)點，并加以擴展。 首先考慮s=n-1的情形，當前擴展結(jié)點是排列樹中的一個葉結(jié)點的父結(jié)點。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點的電路板排列。計算出與x相應(yīng)的密

40、度并在必要時更新當前最優(yōu)值和相應(yīng)的當前最優(yōu)解。 當s<n-1時，算法依次產(chǎn)生當前擴展結(jié)點的所有兒子結(jié)點。對于當前擴展結(jié)點的每一個兒子結(jié)點node，計算出其相應(yīng)的密度node.cd。當node.cd<bestd時，將該兒子結(jié)點N插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。,34,6.8 電路板排列問題,算法描述,do if (enode.s == n - 1) {// 僅一個兒子結(jié)點

41、int ld = 0; // 最后一塊電路板的密度 for (int j = 1; j <= m; j++) ld += board [enode.x[n]][j]; if (ld < bestd) {// 找到密度更小的電路板排列 x = enode.x; be

42、std = Math.max(ld, enode.cd); } },S=n-1的情況，計算出此時的密度和bestd進行比較。,35,6.8 電路板排列問題,算法描述,else {// 產(chǎn)生當前擴展結(jié)點的所有兒子結(jié)點 for (int i = enode.s + 1; i <= n; i++) { HeapNode node = new

43、 HeapNode(0, new int [m + 1], 0, new int [n + 1]); for (int j = 1; j <= m; j++) // 新插入的電路板 node.now[j] = enode.now[j] + board [enode.x[i]][j];,36,6.8 電路板排列問題,int ld

44、 = 0; // 新插入電路板的密度for (int j = 1; j 0 && total[j] != node.now[j]) ld++;node.cd = Math.max(ld, enode.cd);if (node.cd < bestd){// 可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點 node.s = enode.s + 1; for (int j = 1; j <= n; j++

45、) node.x[j] = enode.x[j]; node.x[node.s] = enode.x[i]; node.x[i] = enode.x[node.s]; heap.put(node); } } },算法描述,計算出每一個兒子結(jié)點的密度與bestd進行比較大于bestd時加入隊列,37,6.9 批處理作業(yè)問題,1. 問題

46、的描述,給定n個作業(yè)的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一個作業(yè)Ji都有2項任務(wù)要分別在2臺機器上完成。每一個作業(yè)必須先由機器1處理，然后再由機器2處理。作業(yè)Ji需要機器j的處理時間為tji，i=1,2,…,n；j=1,2。對于一個確定的作業(yè)調(diào)度，設(shè)是Fji是作業(yè)i在機器j上完成處理的時間。則所有作業(yè)在機器2上完成處理的時間和,稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時間和。批處理作業(yè)調(diào)度問題要求對于給定的n個作業(yè)，制定最佳作業(yè)調(diào)度方案，使其完成時間和達

47、到最小。,38,6.9 批處理作業(yè)問題,2. 限界函數(shù),在結(jié)點E處相應(yīng)子樹中葉結(jié)點完成時間和的下界是：,注意到如果選擇Pk，使t1pk在k>=r+1時依非減序排列，S1則取得極小值。同理如果選擇Pk使t2pk依非減序排列，則S2取得極小值。,這可以作為優(yōu)先隊列式分支限界法中的限界函數(shù)。,39,6.9 批處理作業(yè)問題,3. 算法描述,,算法的while循環(huán)完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點的有序擴展。在while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點優(yōu)先隊列中

48、取出具有最小bb值（完成時間和下界）的結(jié)點作為當前擴展結(jié)點，并加以擴展。,首先考慮enode.s=n的情形，當前擴展結(jié)點enode是排列樹中的葉結(jié)點。enode.sf2是相應(yīng)于該葉結(jié)點的完成時間和。當enode.sf2 < bestc時更新當前最優(yōu)值bestc和相應(yīng)的當前最優(yōu)解bestx。,當enode.s<n時，算法依次產(chǎn)生當前擴展結(jié)點enode的所有兒子結(jié)點。對于當前擴展結(jié)點的每一個兒子結(jié)點node，計算出其相應(yīng)的完成時

49、間和的下界bb。當bb < bestc時，將該兒子結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。而當bb? bestc時，可將結(jié)點node舍去。,40,6.9 批處理作業(yè)問題,do { if (enode.s == n ) {// 葉結(jié)點 if (enode.sf2 < bestc) { bestc = enode.sf2;

50、 for (int i = 0; i < n; i++) bestx[i] = enode.x[i]; } },3. 算法描述,當enode.sf2<bestc時，更新當前最優(yōu)值beste和相應(yīng)的最優(yōu)解bestx,41,6.9 批處理作業(yè)問題,3. 算法描述,else // 產(chǎn)生當前擴展結(jié)點的兒子結(jié)點 for (int i

51、= enode.s; i < n; i++) { MyMath.swap(enode.x, enode.s,i); int [] f= new int [3]; int bb=bound(enode,f); if (bb < bestc ) {