初二.分類與討論

1、145[文件]sxjsck0001.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初二分類討論[標(biāo)題]分類與討論[內(nèi)容]分類與討論分類與討論1.分類討論的規(guī)則解題總是在一定的范圍(論域)進(jìn)行的.解題中有時(shí)要將題目條件包含的全體對(duì)象分成若干類然后逐類討論才能得出正確的解答.因此分類討論是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要內(nèi)容.(1)分類的規(guī)則分類時(shí)首先要明確分類的對(duì)象和分類的標(biāo)準(zhǔn).有時(shí)還要對(duì)第一次分出的各類進(jìn)行再分類這就是第二級(jí)分類類似地有第三級(jí)分類、第四級(jí)分類、……，

2、這種進(jìn)行多次分類的現(xiàn)象叫做連續(xù)分類.合理的分類不但是正確解題的基礎(chǔ)，而且是簡(jiǎn)捷解題的出發(fā)點(diǎn).分類的原則是：不重不漏，即每一個(gè)題設(shè)包含的對(duì)象都必須在而且只在所分的一類中.為此，分類時(shí)必須做到：①一次分類只按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；②連續(xù)分類按層次逐級(jí)進(jìn)行.（2）枚舉和討論解決需要討論的問題的方法是枚舉，枚舉的基礎(chǔ)是正確分類.例1求出所有的自然數(shù)n，使三個(gè)整數(shù)n，n8，n16都為質(zhì)數(shù).解現(xiàn)將所有自然數(shù)n按模為3的剩余類分成三類：n=3k，3k1，3k

3、2.當(dāng)n=3k時(shí)，只有k=1時(shí)，三個(gè)整數(shù)（3，11，19）都是質(zhì)數(shù)；當(dāng)n=3k1時(shí)，n8=3k18=3（k3）不是質(zhì)數(shù)；當(dāng)n=3k2時(shí)，n16=3k216=3（k6）不是質(zhì)數(shù).所以滿足題設(shè)的自然數(shù)只有一個(gè)3.2分類討論舉例下面我們用分類討論的思想方法來解決一些國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題.例2（第4屆加拿大中學(xué)生競(jìng)賽題）設(shè)a和n是相異的實(shí)數(shù)，證明存在整數(shù)m和n使得ambn＜0，bman＞0.證明既然a，b為相異實(shí)數(shù)，那么必有ab＜0或ab＞0.當(dāng)

4、ab＜0時(shí)，就取m=1，n=1，驗(yàn)證和滿足所給不等式；當(dāng)ab＞0時(shí)，就取m=1，n=1，顯然也滿足所給不等式.例3（1956年上海市競(jìng)賽題）從1到100這一百個(gè)自然數(shù)中，每次取2個(gè)，要它們的和大于100，有多少種取法？解因?yàn)槊看嗡〉膬蓴?shù)不等，所以可以按較大（或較小）的數(shù)的取值來分類考慮：較大的數(shù)取100時(shí)，另一數(shù)有99種取法；較大的數(shù)取99時(shí)，另一數(shù)有97種取法；……較大的數(shù)取51時(shí)，另一數(shù)有一種取法；而50以下的任何兩數(shù)都不能組成符

5、合條件的數(shù)對(duì)，故共有135…9799=2500種取法.按照某個(gè)確定的自然數(shù)為模的剩余類分類是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問題之一.例4求證：從任意n個(gè)整數(shù)a1，a2，…，an中，一定可以找到若干個(gè)數(shù)，使它們的和可被n整除.證明考察如下的n個(gè)和，a1，a1a2，a1a2a3，…，a1a2…an.147∴.221aBCBE??∴.222212aaaSABC?????（3）顯然，∠ABM=∠CBM不合題意.列6設(shè)一條曲線的兩端在單位正方形的周界上；并

6、且這條曲線將正方形分成面積相等的兩部分.證明這條曲線的長(zhǎng)度不小于1.證明（如圖283）設(shè)曲線PQ分正方形ABCD為面積相等的兩部分S1，S2.又M、N、E、F分別為正方形的邊的中點(diǎn).因的面積，故曲線PQ與線段121SSSSSSABCDABDACDCDEFAMND???????MN、EF、AC、BD必各至少有一個(gè)公共點(diǎn).現(xiàn)按P、Q的位置來分類討論.不失一般性，不妨設(shè)P在AB上，這時(shí)，①Q(mào)在對(duì)邊CD上（圖284）.如上所述曲線PQ與MN至少

7、有一公共點(diǎn)(設(shè)為R)則PQ=PRRQ≥PRRQ≥MRRN=MN=1，此時(shí)結(jié)論正確.②Q在AB上（圖285）.設(shè)曲線PQ與線段EF的一個(gè)公共點(diǎn)為R.以EF為對(duì)稱軸作出PR的對(duì)稱圖形，則曲線PQ與曲線等長(zhǎng).由①知≥1，故PQ≥1，此時(shí)結(jié)RP?QP?QP?論也正確.③Q在鄰邊BC或AD之一上（圖286）.令曲線PQ與AC的一個(gè)公共點(diǎn)為R，以AC為對(duì)稱軸作出RQ的對(duì)稱圖形，則曲線PQ與等長(zhǎng).由①知，此時(shí)結(jié)論亦成立.QR?QP?綜上述，對(duì)符合條件