第二十一章section3拓撲空間

1、3拓撲空拓撲空間、、基本概念[拓撲與拓撲空間]假定D是一個集，τ（就是τ的每個元素都是D的子集），且滿足?2D條件：(i)φτ，Dτ；??(ii)任何一族屬于τ的集的和集屬于τ；(iii)任何有限個屬于τ的集的通集屬于τ，那末稱τ為D的一個拓撲，稱這個有序?qū)Γㄒ?，二）為一個拓撲空間.假定X=是一個拓撲空間，那末D的每個元素都稱為X里的點，D的每個子集都稱為X里的點集，特別，D稱為X的承載點集.τ的每個元素（是D的特殊子集）都稱為X里的

2、開集，τ稱為X的拓撲.在不至于引起誤解的情況下，也往往把一個拓撲空間跟它的承載點集混為一談.[凝固拓撲與分散拓撲]注意，任何一個集D的拓撲總是存在的.比如φ，D就是D的一個拓撲，稱為D的凝固拓撲，稱為一個凝固空間，在這個凝固空間里，開集只有φ和D.還有也是D的一個拓撲，稱為D的分散拓撲，稱為分散空間，在這個分散2D2D空間里，任何點集都是開集.[誘導拓撲與拓撲子空間]假定X是一個拓撲空間，A是X里的一個點集.把X里的任何一個開集跟A的通

3、集稱為A的一個相對開集，那末A的所有相對開集全體τ是A的一個拓撲，稱為A的誘導拓撲，稱為X的一個拓撲子空間.注意，凡是說拓撲子空間，它的拓撲一定是指誘導拓撲.[拓撲的粗細]假定τ1和τ2都是集D的拓撲，τ1?τ2，那末說τ1比τ2粗，或者說τ2比τ1細.一個集D的每個拓撲都是的一個子集，因此是的一個元素，應用劃分公理，一個2D22D集D的所有拓撲的全體是一個集，稱為D的拓撲族，而粗細關系是這個拓撲族里的一個小大關系，不過還不是次序，因為

4、D的不同的拓撲不一定可以比粗細.因此，D的拓撲族按照這個粗細關系是一個分行集.不過，當D的元素不止一個時，D一定有最粗的拓撲，那就是凝固拓撲，也一定有最細的拓撲，那就是分散拓撲.[拓撲亞基與拓撲的確定]雖然一個集D的任何一族子集的全體只要滿足上面定義的條實數(shù)的進位制見第一章，1，一.件（i），（ii），（iii）就可以取做拓撲，但是要驗證這些條件是否滿足往往不很方便.通常要利用拓撲亞基的概念來確定一個拓撲.假定?是集D的一族子集（就是?

5、），把D的所有掩蓋?的拓撲τ（就是τ??）的通集?2D記作τ0，那末不難看到，τ0是一個拓撲，并且是掩蓋?的最粗的拓撲.τ0稱為?所繁殖的拓撲，而?稱為τ0的一個亞基.任何一個拓撲τ都是它自己所繁殖的拓撲，因此都是自己的一個亞基.由這定義知道，集D的任何一族子集可以繁殖出一個唯一的拓撲來.例1（一維實數(shù)空間R1）把實數(shù)全體記作R1.由所有區(qū)間（a，b）（當a?b，（a，b）表示空集）的全體所繁殖的拓撲τ1稱為R1的普通拓撲.以后如果沒有

6、另外說明，就把R1當作具備這個普通拓撲的拓撲空間，稱為一維實數(shù)空間.R1當作集看還有別的拓撲，除凝固拓撲、分散拓撲外，比如由所有的半閉區(qū)間（a，b]（就是x|，當a?b時，（a，b]表示空集）全體也繁殖出一個拓撲來.但是這些都不是普通拓撲，bxa??如果要采用這些拓撲，要另外聲明.[拓撲基]假定?是一個拓撲空間X里的一族開集的全體.如果X里任何一個開集都是點集S的包的余集就是S的外部；S的余集的包的余集就是S的內(nèi)部.點集S的包就是S的內(nèi)

7、部和S的邊界的和集，也就是說=S∪B（S）=N（S）∪B（S）；注意，一S般和不一定相等，也就是=N(S)∪B（N(S)）不一定成立.S)(SNS[處處稠密與無一處稠密]假定P和Q是一個拓撲空間里的點集，，那末稱PQPQ??在Q里處處稠密.假定P的外部在Q里處處稠密，那末稱P在Q里無一處稠密.注意，這里“P的外部”不能換成“P的余集”.例如，有理數(shù)全體在一維實數(shù)空間R1里處處稠密.無理數(shù)全體在R1里也是處處稠密.整數(shù)全體在R1里無一處稠

8、密.一個不空區(qū)間（a，b）在R1里既不處處稠密也不無一處稠密.[開集與閉集]一個拓撲空間里的開集的概念是基本的（本節(jié)，一），一個開集的余集稱為閉集.1點集S為開集的充分必要條件是：S等于它的內(nèi)部，或者說S的每個邊界點都不屬于S.2點集S為閉集的充分必要條件是：S等于它的包，或者說S的每個邊界點都屬于S.3點集S既是開集又是閉集的充分必要條件是：S的邊界是空集.例如φ和D都是既開又閉的.4點集S不是開集也不是閉集的充分必要條件是：B（S）

9、∩S?φ并且B（S）∩S?B（S）.例如在R1里，不空的區(qū)間（a，b）開而不閉，半閉區(qū)間（a，b]不開不閉，閉區(qū)間[a，b]閉而不開，有理數(shù)全體不開不閉，無理數(shù)全體不開不閉，整數(shù)全體閉而不開，R1既開又閉.此外，由閉集的定義得到三個跟開集相對偶的性質(zhì)：1φ是閉集，D是閉集；2任何一族閉集的通集是閉集；3任何有限個閉集的和集是閉集.[孤立點、聚點與導集]假定S是拓撲空間里的一個點集，一點xS并且x有一個鄰域?G使G∩S=x，那末稱x為S的

10、孤立點.假定y（表示S的包），但y不是S的孤立點，那末稱y為S的聚點.?SS一點y是點集S的聚點的充分必要條件是：對y的任何一個鄰域L，（Ly）∩S?φ.由定義知道，一個點集S的任何一個孤立點一定是S的邊界點，而一個點集的任何一個內(nèi)點一定是S的聚點，但是倒過來說顯然不行.S的聚點的全體也稱為S的導集，記作S.S的包可以表示為：S=S∪S=（S的孤立點的全體）∪SS[孤立點集、自密集與完全集]對一個拓撲空間里的任何一個點集S，這空間里的全

11、部點可以分為三類：S的外點，S的孤立點，還有S的聚點.聚點包括S的內(nèi)點和不孤立的邊界點.沒有聚點的點集稱為孤立點集（分散點集），因為它的誘導拓撲一定是分散拓撲.沒有孤立點的點集S（就是SS）稱為自密集.特別如果S自密并且閉，那末S稱為完全集.因?為S為閉集的充分必要條件是：SS，所以S是完全集的充分必要條件是：S=S.?、、拓撲空間的分離程度可數(shù)公理1.不同分離程度的拓撲空間[T0空間]如果拓撲空間X里任何不同的兩點中至少有一點有一個鄰