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1、3拓?fù)淇胀負(fù)淇臻g、、基本概念[拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g]假定D是一個集,τ(就是τ的每個元素都是D的子集),且滿足?2D條件:(i)φτ,Dτ;??(ii)任何一族屬于τ的集的和集屬于τ;(iii)任何有限個屬于τ的集的通集屬于τ,那末稱τ為D的一個拓?fù)?,稱這個有序?qū)Γㄒ?,二)為一個拓?fù)淇臻g.假定X=是一個拓?fù)淇臻g,那末D的每個元素都稱為X里的點,D的每個子集都稱為X里的點集,特別,D稱為X的承載點集.τ的每個元素(是D的特殊子集)都稱為X里的
2、開集,τ稱為X的拓?fù)?在不至于引起誤解的情況下,也往往把一個拓?fù)淇臻g跟它的承載點集混為一談.[凝固拓?fù)渑c分散拓?fù)鋆注意,任何一個集D的拓?fù)淇偸谴嬖诘?比如φ,D就是D的一個拓?fù)洌Q為D的凝固拓?fù)?,稱為一個凝固空間,在這個凝固空間里,開集只有φ和D.還有也是D的一個拓?fù)?,稱為D的分散拓?fù)?,稱為分散空間,在這個分散2D2D空間里,任何點集都是開集.[誘導(dǎo)拓?fù)渑c拓?fù)渥涌臻g]假定X是一個拓?fù)淇臻g,A是X里的一個點集.把X里的任何一個開集跟A的通
3、集稱為A的一個相對開集,那末A的所有相對開集全體τ是A的一個拓?fù)?,稱為A的誘導(dǎo)拓?fù)洌Q為X的一個拓?fù)渥涌臻g.注意,凡是說拓?fù)渥涌臻g,它的拓?fù)湟欢ㄊ侵刚T導(dǎo)拓?fù)?[拓?fù)涞拇旨?xì)]假定τ1和τ2都是集D的拓?fù)洌??τ2,那末說τ1比τ2粗,或者說τ2比τ1細(xì).一個集D的每個拓?fù)涠际堑囊粋€子集,因此是的一個元素,應(yīng)用劃分公理,一個2D22D集D的所有拓?fù)涞娜w是一個集,稱為D的拓?fù)渥?,而粗?xì)關(guān)系是這個拓?fù)渥謇锏囊粋€小大關(guān)系,不過還不是次序,因為
4、D的不同的拓?fù)洳灰欢梢员却旨?xì).因此,D的拓?fù)渥灏凑者@個粗細(xì)關(guān)系是一個分行集.不過,當(dāng)D的元素不止一個時,D一定有最粗的拓?fù)?,那就是凝固拓?fù)?,也一定有最?xì)的拓?fù)?,那就是分散拓?fù)?[拓?fù)鋪喕c拓?fù)涞拇_定]雖然一個集D的任何一族子集的全體只要滿足上面定義的條實數(shù)的進(jìn)位制見第一章,1,一.件(i),(ii),(iii)就可以取做拓?fù)?,但是要驗證這些條件是否滿足往往不很方便.通常要利用拓?fù)鋪喕母拍顏泶_定一個拓?fù)?假定?是集D的一族子集(就是?
5、),把D的所有掩蓋?的拓?fù)洇樱ň褪铅??)的通集?2D記作τ0,那末不難看到,τ0是一個拓?fù)?,并且是掩蓋?的最粗的拓?fù)?τ0稱為?所繁殖的拓?fù)?,?稱為τ0的一個亞基.任何一個拓?fù)洇佣际撬约核敝车耐負(fù)?,因此都是自己的一個亞基.由這定義知道,集D的任何一族子集可以繁殖出一個唯一的拓?fù)鋪?例1(一維實數(shù)空間R1)把實數(shù)全體記作R1.由所有區(qū)間(a,b)(當(dāng)a?b,(a,b)表示空集)的全體所繁殖的拓?fù)洇?稱為R1的普通拓?fù)?以后如果沒有
6、另外說明,就把R1當(dāng)作具備這個普通拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g,稱為一維實數(shù)空間.R1當(dāng)作集看還有別的拓?fù)?,除凝固拓?fù)洹⒎稚⑼負(fù)渫?,比如由所有的半閉區(qū)間(a,b](就是x|,當(dāng)a?b時,(a,b]表示空集)全體也繁殖出一個拓?fù)鋪?但是這些都不是普通拓?fù)?,bxa??如果要采用這些拓?fù)?,要另外聲?[拓?fù)浠鵠假定?是一個拓?fù)淇臻gX里的一族開集的全體.如果X里任何一個開集都是點集S的包的余集就是S的外部;S的余集的包的余集就是S的內(nèi)部.點集S的包就是S的內(nèi)
7、部和S的邊界的和集,也就是說=S∪B(S)=N(S)∪B(S);注意,一S般和不一定相等,也就是=N(S)∪B(N(S))不一定成立.S)(SNS[處處稠密與無一處稠密]假定P和Q是一個拓?fù)淇臻g里的點集,,那末稱PQPQ??在Q里處處稠密.假定P的外部在Q里處處稠密,那末稱P在Q里無一處稠密.注意,這里“P的外部”不能換成“P的余集”.例如,有理數(shù)全體在一維實數(shù)空間R1里處處稠密.無理數(shù)全體在R1里也是處處稠密.整數(shù)全體在R1里無一處稠
8、密.一個不空區(qū)間(a,b)在R1里既不處處稠密也不無一處稠密.[開集與閉集]一個拓?fù)淇臻g里的開集的概念是基本的(本節(jié),一),一個開集的余集稱為閉集.1點集S為開集的充分必要條件是:S等于它的內(nèi)部,或者說S的每個邊界點都不屬于S.2點集S為閉集的充分必要條件是:S等于它的包,或者說S的每個邊界點都屬于S.3點集S既是開集又是閉集的充分必要條件是:S的邊界是空集.例如φ和D都是既開又閉的.4點集S不是開集也不是閉集的充分必要條件是:B(S)
9、∩S?φ并且B(S)∩S?B(S).例如在R1里,不空的區(qū)間(a,b)開而不閉,半閉區(qū)間(a,b]不開不閉,閉區(qū)間[a,b]閉而不開,有理數(shù)全體不開不閉,無理數(shù)全體不開不閉,整數(shù)全體閉而不開,R1既開又閉.此外,由閉集的定義得到三個跟開集相對偶的性質(zhì):1φ是閉集,D是閉集;2任何一族閉集的通集是閉集;3任何有限個閉集的和集是閉集.[孤立點、聚點與導(dǎo)集]假定S是拓?fù)淇臻g里的一個點集,一點xS并且x有一個鄰域?G使G∩S=x,那末稱x為S的
10、孤立點.假定y(表示S的包),但y不是S的孤立點,那末稱y為S的聚點.?SS一點y是點集S的聚點的充分必要條件是:對y的任何一個鄰域L,(Ly)∩S?φ.由定義知道,一個點集S的任何一個孤立點一定是S的邊界點,而一個點集的任何一個內(nèi)點一定是S的聚點,但是倒過來說顯然不行.S的聚點的全體也稱為S的導(dǎo)集,記作S.S的包可以表示為:S=S∪S=(S的孤立點的全體)∪SS[孤立點集、自密集與完全集]對一個拓?fù)淇臻g里的任何一個點集S,這空間里的全
11、部點可以分為三類:S的外點,S的孤立點,還有S的聚點.聚點包括S的內(nèi)點和不孤立的邊界點.沒有聚點的點集稱為孤立點集(分散點集),因為它的誘導(dǎo)拓?fù)湟欢ㄊ欠稚⑼負(fù)?沒有孤立點的點集S(就是SS)稱為自密集.特別如果S自密并且閉,那末S稱為完全集.因?為S為閉集的充分必要條件是:SS,所以S是完全集的充分必要條件是:S=S.?、、拓?fù)淇臻g的分離程度可數(shù)公理1.不同分離程度的拓?fù)淇臻g[T0空間]如果拓?fù)淇臻gX里任何不同的兩點中至少有一點有一個鄰
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