阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用

1、1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)理論1.“阿波羅尼斯圓阿波羅尼斯圓”：在平面上給定兩點，設(shè)點在同一平面上且滿足BAP當且時，點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓。??PBPA0??1??P（時點的軌跡是線段的中垂線）1??PAB2.阿波羅尼斯圓的證明及相關(guān)性質(zhì)阿波羅尼斯圓的證明及相關(guān)性質(zhì)定理：定理：為兩已知點，為兩已知點，分別為線段分別為線段的定比為的定比為的內(nèi)外分點，則以的內(nèi)外分點，則以BAQPAB)1(???為直

2、徑的圓為直徑的圓上任意點到上任意點到兩點的距離之比為兩點的距離之比為PQOBA.?證（以為例）1??設(shè)，則????QBAQPBAPaAB.1111??????????????aBQaAQaPBaAP由相交弦定理及勾股定理知11222222222???????????aBCABACaBQPBBC于是1122???????aACaBC.??BCAC而同時在到兩點距離之比等于的曲線（圓）上，不共線的三點所確定的圓CQPBA?是唯一的，因此，圓

3、上任意一點到兩點的距離之比恒為OBA.?性質(zhì)性質(zhì)1.當時，點在圓內(nèi)，點在圓外；1??BOAO當時，點在圓內(nèi)，點在圓外。10???AOBO性質(zhì)性質(zhì)2.因，過是圓的一條切線。AQAPAC??2ACO若已知圓及圓O外一點，可以作出與之對應(yīng)的點反之亦然。OAB性質(zhì)性質(zhì)3.所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為，面積為122????aPQ.122??????????a性質(zhì)性質(zhì)4.過點作圓的切線為切點），則分別為的內(nèi)、外角平分線。AOCAC(CQCPACB?

4、36.已知是圓上任意一點，問在平面上是否存在一點，PA)02(?16)4(:22???yxCB使得若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.21?PBPAB變式：已知圓，問在軸上是否存在點和點，使得對于圓上16)4(:22???yxCxABC任意一點，都有若存在，求出坐標；若不存在，說明理由.P21?PBPABA7.在中，是的平分線，且ABC?ADACAB2?A?.kACAD?（1）求的取值范圍；k（2）若的面積為1，求為何值時，最短.A