柯西不等式與排序不等式及其應用經(jīng)典例題透析

1、1經(jīng)典例題透析經(jīng)典例題透析類型一：利用柯西不等式求最值類型一：利用柯西不等式求最值1求函數(shù)的最大值思路點撥：思路點撥：利用不等式解決最值問題，通常設法在不等式一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件這個函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為acbd的形式就能利用柯西不等式求其最大值也可以利用導數(shù)求解。解析：解析：法一：法一：∵且，∴函數(shù)的定義域為，且，當且僅當時，等號成立，即時函數(shù)取最大值，最大值為法二：法二：∵且，∴函數(shù)的定義域為由，得

2、即，解得∴時函數(shù)取最大值，最大值為.總結(jié)升華：總結(jié)升華：當函數(shù)解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解不等式中的等號能否取得是求最值問題的關鍵舉一反三：舉一反三：【變式1】（2011遼寧，遼寧，24）已知函數(shù)f（x）=|x2||x5|。（I）證明：3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x28x15的解集。【答案答案】3當且僅當2x1=3y4=5z6，即時等號成立，此時，評注：評注：根據(jù)所求最值的目標函數(shù)的形式對已知條件進行配湊類型二

3、：利用柯西不等式證明不等式類型二：利用柯西不等式證明不等式利用柯西不等式證明某些不等式顯得特別方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常數(shù)的巧拆、結(jié)構的巧變、巧設數(shù)組等。（1）巧拆常數(shù)：）巧拆常數(shù)：2設、、為正數(shù)且各不相等，求證：思路點撥：思路點撥：∵、、均為正，∴為證結(jié)論正確只需證：而，又，故可利用柯西不等式證明之。證明：證明：又、、各不相等，故等號不能成立∴。（2）重新安排某些項的次序：）重新安排某些項的次序：3、為非負數(shù)，=1，，