06 第六節(jié) 定積分的幾何應用

1、第六節(jié)定積分的幾何應用分布圖示分布圖示★面積表為定積分的步驟★定積分的微元法★直角坐標情形★例1★例2★例3★例4★參數(shù)方程情形★例5★極坐標情形★例6★例7★例8★圓錐★圓柱★旋轉體★旋轉體的體積★例9★例10★例11★例12★例13★平行截面面積為已知的立體的體積★例14★例15★內容小結★課堂練習★習題56內容要點：內容要點：一、一、微元法微元法定積分的所有應用問題，一般總可按“分割、求和、取極限”三個步驟把所求的量表示為定積分的

2、形式.可以抽象出在應用學科中廣泛采用的將所求量（總量總量）表示為定積分的方法——微U元法元法，這個方法的主要步驟如下：(1)由分割寫出微元由分割寫出微元根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，例如為積分變量，并確x定它的變化區(qū)間，任取的一個區(qū)間微元，求出相應于這個區(qū)間微元][ba][ba][dxxx?上部分量的近似值，即求出所求總量的微元微元U?U；dxxfdU)(?(2)由微元寫出積分由微元寫出積分根據(jù)寫出表示總量的定積分dxxfdU)(?U

3、????babadxxfdUU)(微元法在幾何學、物理學、經濟學、社會學等應用領域中具有廣泛的應用，本節(jié)和下一節(jié)主要介紹微元法在幾何學與經濟學中的應用.應用微元法解決實際問題時，應注意如下兩點：(1)所求總量關于區(qū)間應具有可加性，即如果把區(qū)間分成許多部分區(qū)間U][ba][ba則相應地分成許多部分量而等于所有部分量之和.這一要求是由定積分概念本UUU?身所決定的(2)使用微元法的關鍵是正確給出部分量的近似表達式，即使得U?dxxf)(.在

4、通常情況下，要檢驗是否為的高階無窮小并非UdUdxxf???)(dxxfU)(??dx得到相應面積微元)]1()1[(2dxxxdA????從而所求面積.29)]1()1[(221???????dxxxA例3（E03）求由和所圍成的圖形的面積.xy22?4??xy解面積微元:242dyyydA???????????所求面積:???42dAAdyyy?????????????24242.18?例4計算由曲線和所圍成的圖形的面積.xxy63

5、??2xy?解面積微元:(1)]02[??x)6(231dxxxxdA???(2)]30[?x.)6(322dxxxxdA???所求面積:?????302021dAdAAdxxxxdxxxx)6()6(33022023?????????.12253?例5求橢圓所圍成的面積.12222??byax解橢圓面積:41AA?面積微元:1ydxdA???aydxA04??02)cos(sin4?tatdbtdtab??202sin4?例6（E04