第六節(jié)多元函數微分學的幾何應用

1、二、空間曲線的切線與法平面,,第六節(jié),一、一元向量值函數及其導數,三、曲面的切平面與法線,多元函數微分學的幾何應用,第九章,一、一元向量值函數及其導數,引例: 已知空間曲線 ? 的參數方程:,,? 的向量方程,,,對? 上的動點M ,,即? 是,此方程確定映射,,,稱此映射為一元向量,,的終點M,的軌跡 ,,此軌跡稱為向量值函數的終端曲線 .,值函數.,要用向量值函數研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進向量值函數的極限、連續(xù)和導數的概

2、念.,,定義: 給定數集 D ? R , 稱映射,,為一元向量,值函數（簡稱向量值函數）, 記為,定義域,自變量,因變量,向量值函數的極限、連續(xù)和導數都與各分量的極限、,連續(xù)和導數密切相關,,進行討論.,,極限：,連續(xù)：,導數：,嚴格定義見P90,,,因此下面僅以 n = 3 的情形為代表,向量值函數的導數運算法則: (P91),是可導函數, 則,c 是任一常數,,,向量值函數導數的幾何意義:,在 R3中, 設,的終端曲線為? ,,切線

3、的生成點擊圖中任意點動畫開始或暫停,,,,,,,,表示終端曲線在t0處的,切向量,,其指向與t 的增長方,向一致.,,, 則,,,向量值函數導數的物理意義:,設,表示質點沿光滑曲線運動的位置向量, 則有,,例1. 設,速度向量：,加速度向量：,解：,,例2. 設空間曲線? 的向量方程為,求曲線? 上對應于,解:,,的點處的單位切向量.,故所求單位切向量為,,,其方向與 t 的增長方向一致,另一與 t 的增長方向相反的單位切向量為,=

4、6,例3. 一人懸掛在滑翔機上, 受快速上升氣流影響作螺,求,旋式上升, 其位置向量為,,(1) 滑翔機在任意時刻 t 的速度向量與加速度向量;,(2) 滑翔機在任意時刻 t 的速率;,(3) 滑翔機的加速度與速度正交的時刻.,解: (1),,(3) 由,即,即僅在開始時刻滑翔機的加速度與速度正交.,,,,,,,,,二、空間曲線的切線與法平面,過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面.,,,,,置.,空間光滑曲線在點 M 處的

5、切線為此點處割線的極限位,,給定光滑曲線,? 在,,點法式可建立曲線的法平面方程,利用,點M (x, y, z) 處的切向量及法平面的法向量均為,點向式可建立曲線的切線方程,,1. 曲線方程為參數方程的情況,因此曲線 ? 在點 M 處的,則? 在點M 的導向量為,法平面方程,,,,,給定光滑曲線,為0,,切線方程,例4. 求曲線,在點 M (1, 1, 1) 處的切線,方程與法平面方程.,解：,點(1, 1, 1) 對應于,故點M

6、處的切向量為,,因此所求切線方程為,法平面方程為,即,思考: 光滑曲線,的切向量有何特點?,,答:,,切向量,2. 曲線為一般式的情況,光滑曲線,曲線上一點,,,,,, 且有,? 可表示為,處的切向量為,,,,,則在點,切線方程,法平面方程,有,或,,也可表為,法平面方程,(自己驗證),例5. 求曲線,在點,M ( 1,–2, 1) 處的切線方程與法平面方程.,切線方程,解法1 令,則,即,切向量,,,,法平面方程,即,解法2

7、 方程組兩邊對 x 求導, 得,,曲線在點 M(1,–2, 1) 處有:,切向量,解得,,,切線方程,即,法平面方程,即,點 M (1,–2, 1) 處的切向量,,三、曲面的切平面與法線,設 有光滑曲面,通過其上定點,對應點 M,,切線方程為,不全為0 .,則 ? 在,且,點 M 的切向量為,任意引一條光滑曲線,,下面證明:,此平面稱為 ? 在該點的切平面.,? 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都,在同一平面上.,,,,,,,,,

8、,,證:,在 ? 上,,得,,,,令,,由于曲線 ? 的任意性 ,,表明這些切線都在以,為法向量,,的平面上 ,,從而切平面存在 .,曲面 ? 在點 M 的法向量:,法線方程,切平面方程,,過M點且垂直于切平面的直線,稱為曲面 ? 在點 M 的法線.,曲面,時,,則在點,故當函數,法線方程,令,特別, 當光滑曲面? 的方程為顯式,在點,有連續(xù)偏導數時,,切平面方程,法向量,,法向量,用,將,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,,并假

9、定法向量方向,分別記為,則,向上,,,復習,例6. 求球面,在點(1 , 2 , 3) 處的切,平面及法線方程.,解: 令,所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:,切平面方程,即,法線方程,法向量,,,即,(可見法線經過原點，即球心),例7. 確定正數? 使曲面,在點,解: 二曲面在 M 點的法向量分別為,二曲面在點 M 相切, 故,又點 M 在球面上,,于是有,相切.,與球面,,,, 因此有,1. 空間曲線的切線與法平面,切線

10、方程,法平面方程,1) 參數式情況.,空間光滑曲線,切向量,內容小結,,切線方程,法平面方程,空間光滑曲線,切向量,2) 一般式情況.,,空間光滑曲面,曲面 ? 在點,法線方程,1) 隱式情況 .,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面與法線,,空間光滑曲面,切平面方程,法線方程,2) 顯式情況.,法線的方向余弦,法向量,,思考與練習,1. 如果平面,與橢球面,相切,,提示: 設切點為,則,,,(二法向量平行),(切點在平面上),(

11、切點在橢球面上),證明 曲面,上任一點處的,切平面都通過原點.,提示: 在曲面上任意取一點,則通過此,作業(yè) P99 2，4，6，7，10，11，12,2. 設 f ( u ) 可微,,第七節(jié),證明原點坐標滿足上述方程 .,點的切平面為,備用題1. 證明曲面,與定直線平行,,證: 曲面上任一點的法向量,取定直線的方向向量為,則,(定向量),故結論成立 .,的所有切平面恒,,,2. 求曲線,在點(1,1,1) 的切線,解