第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

1、二、空間曲線的切線與法平面,,第六節(jié),一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),三、曲面的切平面與法線,多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用,第九章,一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),引例: 已知空間曲線 ? 的參數(shù)方程:,,? 的向量方程,,,對(duì)? 上的動(dòng)點(diǎn)M ,,即? 是,此方程確定映射,,,稱此映射為一元向量,,的終點(diǎn)M,的軌跡 ,,此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線 .,值函數(shù).,要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進(jìn)向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概

2、念.,,定義: 給定數(shù)集 D ? R , 稱映射,,為一元向量,值函數(shù)（簡(jiǎn)稱向量值函數(shù)）, 記為,定義域,自變量,因變量,向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、,連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),,進(jìn)行討論.,,極限：,連續(xù)：,導(dǎo)數(shù)：,嚴(yán)格定義見(jiàn)P90,,,因此下面僅以 n = 3 的情形為代表,向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則: (P91),是可導(dǎo)函數(shù), 則,c 是任一常數(shù),,,向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,在 R3中, 設(shè),的終端曲線為? ,,切線

3、的生成點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停,,,,,,,,表示終端曲線在t0處的,切向量,,其指向與t 的增長(zhǎng)方,向一致.,,, 則,,,向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:,設(shè),表示質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)的位置向量, 則有,,例1. 設(shè),速度向量：,加速度向量：,解：,,例2. 設(shè)空間曲線? 的向量方程為,求曲線? 上對(duì)應(yīng)于,解:,,的點(diǎn)處的單位切向量.,故所求單位切向量為,,,其方向與 t 的增長(zhǎng)方向一致,另一與 t 的增長(zhǎng)方向相反的單位切向量為,=

4、6,例3. 一人懸掛在滑翔機(jī)上, 受快速上升氣流影響作螺,求,旋式上升, 其位置向量為,,(1) 滑翔機(jī)在任意時(shí)刻 t 的速度向量與加速度向量;,(2) 滑翔機(jī)在任意時(shí)刻 t 的速率;,(3) 滑翔機(jī)的加速度與速度正交的時(shí)刻.,解: (1),,(3) 由,即,即僅在開(kāi)始時(shí)刻滑翔機(jī)的加速度與速度正交.,,,,,,,,,二、空間曲線的切線與法平面,過(guò)點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法平面.,,,,,置.,空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的

5、切線為此點(diǎn)處割線的極限位,,給定光滑曲線,? 在,,點(diǎn)法式可建立曲線的法平面方程,利用,點(diǎn)M (x, y, z) 處的切向量及法平面的法向量均為,點(diǎn)向式可建立曲線的切線方程,,1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況,因此曲線 ? 在點(diǎn) M 處的,則? 在點(diǎn)M 的導(dǎo)向量為,法平面方程,,,,,給定光滑曲線,為0,,切線方程,例4. 求曲線,在點(diǎn) M (1, 1, 1) 處的切線,方程與法平面方程.,解：,點(diǎn)(1, 1, 1) 對(duì)應(yīng)于,故點(diǎn)M

6、處的切向量為,,因此所求切線方程為,法平面方程為,即,思考: 光滑曲線,的切向量有何特點(diǎn)?,,答:,,切向量,2. 曲線為一般式的情況,光滑曲線,曲線上一點(diǎn),,,,,, 且有,? 可表示為,處的切向量為,,,,,則在點(diǎn),切線方程,法平面方程,有,或,,也可表為,法平面方程,(自己驗(yàn)證),例5. 求曲線,在點(diǎn),M ( 1,–2, 1) 處的切線方程與法平面方程.,切線方程,解法1 令,則,即,切向量,,,,法平面方程,即,解法2

7、 方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,,曲線在點(diǎn) M(1,–2, 1) 處有:,切向量,解得,,,切線方程,即,法平面方程,即,點(diǎn) M (1,–2, 1) 處的切向量,,三、曲面的切平面與法線,設(shè) 有光滑曲面,通過(guò)其上定點(diǎn),對(duì)應(yīng)點(diǎn) M,,切線方程為,不全為0 .,則 ? 在,且,點(diǎn) M 的切向量為,任意引一條光滑曲線,,下面證明:,此平面稱為 ? 在該點(diǎn)的切平面.,? 上過(guò)點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都,在同一平面上.,,,,,,,,,

8、,,證:,在 ? 上,,得,,,,令,,由于曲線 ? 的任意性 ,,表明這些切線都在以,為法向量,,的平面上 ,,從而切平面存在 .,曲面 ? 在點(diǎn) M 的法向量:,法線方程,切平面方程,,過(guò)M點(diǎn)且垂直于切平面的直線,稱為曲面 ? 在點(diǎn) M 的法線.,曲面,時(shí),,則在點(diǎn),故當(dāng)函數(shù),法線方程,令,特別, 當(dāng)光滑曲面? 的方程為顯式,在點(diǎn),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),,切平面方程,法向量,,法向量,用,將,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,,并假

9、定法向量方向,分別記為,則,向上,,,復(fù)習(xí),例6. 求球面,在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切,平面及法線方程.,解: 令,所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:,切平面方程,即,法線方程,法向量,,,即,(可見(jiàn)法線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即球心),例7. 確定正數(shù)? 使曲面,在點(diǎn),解: 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為,二曲面在點(diǎn) M 相切, 故,又點(diǎn) M 在球面上,,于是有,相切.,與球面,,,, 因此有,1. 空間曲線的切線與法平面,切線

10、方程,法平面方程,1) 參數(shù)式情況.,空間光滑曲線,切向量,內(nèi)容小結(jié),,切線方程,法平面方程,空間光滑曲線,切向量,2) 一般式情況.,,空間光滑曲面,曲面 ? 在點(diǎn),法線方程,1) 隱式情況 .,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面與法線,,空間光滑曲面,切平面方程,法線方程,2) 顯式情況.,法線的方向余弦,法向量,,思考與練習(xí),1. 如果平面,與橢球面,相切,,提示: 設(shè)切點(diǎn)為,則,,,(二法向量平行),(切點(diǎn)在平面上),(

11、切點(diǎn)在橢球面上),證明 曲面,上任一點(diǎn)處的,切平面都通過(guò)原點(diǎn).,提示: 在曲面上任意取一點(diǎn),則通過(guò)此,作業(yè) P99 2，4，6，7，10，11，12,2. 設(shè) f ( u ) 可微,,第七節(jié),證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .,點(diǎn)的切平面為,備用題1. 證明曲面,與定直線平行,,證: 曲面上任一點(diǎn)的法向量,取定直線的方向向量為,則,(定向量),故結(jié)論成立 .,的所有切平面恒,,,2. 求曲線,在點(diǎn)(1,1,1) 的切線,解