特征根公式證明與應(yīng)用1

1、特征根求解通特征根求解通項公式第公式第1頁共5頁特征方程法求解特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通推關(guān)系中的數(shù)列通項考慮一個簡單的線性遞推問題考慮一個簡單的線性遞推問題.設(shè)已知數(shù)列設(shè)已知數(shù)列的項滿足的項滿足，其中，其中求這個數(shù)列的通項公式求這個數(shù)列的通項公式.na11nnabacad???????10??cc采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，

2、而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法：針對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方特征方程法：針對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方程稱之為特征方程；借助這個特征方程的根快速求解通項公式稱之為特征方程；借助這個特征方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進下面以定理形式進dcxx??行闡述行闡述.定理定理1.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當，則當

3、時，時，為常數(shù)列，即為常數(shù)列，即0x10ax?na，其中，其中是以是以為公比的等比數(shù)列，即為公比的等比數(shù)列，即0101xbaaxaannn????時當nbc.01111xabcbbnn????證明：因為證明：因為由特征方程得由特征方程得作換元作換元10?c.10cdx??0xabnn??則.)(110011nnnnnncbxacccdcacddcaxab??????????????當時，時，，數(shù)列，數(shù)列是以是以為公比的等比數(shù)列，故為公比

4、的等比數(shù)列，故10ax?01?bnbc11??nncbb當時，時，，為0數(shù)列，故數(shù)列，故（證畢）（證畢）10ax?01?bnb.N1??naan下面列舉兩例，說明定理下面列舉兩例，說明定理1的應(yīng)用的應(yīng)用.例1已知數(shù)列已知數(shù)列滿足：滿足：求na4N23111??????anaann.na解：作方程解：作方程.232310?????xxx則當時，時，數(shù)列數(shù)列是以是以為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列.于是于是41?a.211231101???

5、?abxanb31?.N)31(2112323)31(211)31(1111???????????????nbabbnnnnnn例2已知數(shù)列已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：滿足遞推關(guān)系：其中其中為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位.naN)32(1????niaanni當取何值時，數(shù)列取何值時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？是常數(shù)數(shù)列？1ana解：作方程解：作方程則)32(ixx??.5360ix???要使要使為常數(shù)，即則必須為常數(shù)，即則必須na.53601ixa????現(xiàn)在

6、考慮一個分式遞推問題（現(xiàn)在考慮一個分式遞推問題（）.例3已知數(shù)列已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式的通項公式.na324N1?????nnnaaan31?ana將這問題一般化，應(yīng)用特征方程法求解，有下述結(jié)果將這問題一般化，應(yīng)用特征方程法求解，有下述結(jié)果.特征根求解通特征根求解通項公式第公式第3頁共5頁由是方程是方程的兩個相同的根可以求得的兩個相同的根可以求得?hrxqpxx???.2rhp???∴122?????????

7、??hpphrrhpprrhphrprh??將此式代入將此式代入④式得式得.N111?????nrprddnn?令則故數(shù)列故數(shù)列是以是以為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列..N1??ndbnn.N1?????nrprbbnn?nbrpr??∴.N)1(1??????nrprnbbn?其中其中.11111????adb當時，時，0N??nbn.N1?????nbdannn??當存在當存在使時，時，無意義無意義.故此時，無窮數(shù)列故此時，無窮數(shù)

8、列是不存在的是不存在的.N0?n00?nb??????0001nnnbdana再證明定理的第（再證明定理的第（2）部分如下：）部分如下：∵特征方程有兩個相異的根特征方程有兩個相異的根、，∴其中必有一個特征根不等于其中必有一個特征根不等于，不妨令，不妨令于是于是1?2?1a.12a??可作變換可作變換.N21????naacnnn??故，將，將代入再整理得代入再整理得21111????????nnnaachraqpaannn????1⑤N

9、)()(22111?????????nhqrpahqrpacnnn????由第（由第（1）部分的證明過程知）部分的證明過程知不是特征方程的根，故不是特征方程的根，故rpx?.21rprp????故所以由所以由⑤式可得：式可得：.0021????rprp??⑥N2211211????????????nrphqarphqarprpcnnn??????∵特征方程特征方程有兩個相異根有兩個相異根、方程方程有兩個相異根有兩個相異根、hrxqpxx