⑨競賽中的復(fù)數(shù)問題

1、Y.P.M數(shù)學數(shù)學競賽講競賽講座1競賽競賽中的復(fù)數(shù)中的復(fù)數(shù)問題問題復(fù)數(shù)不僅具有自身知識體系的豐富性而且還與代數(shù)、三角、幾何之間存在內(nèi)在的緊密聯(lián)系.復(fù)數(shù)的演繹獨具特色饒于技巧復(fù)數(shù)是競賽數(shù)學的內(nèi)容之一.一、知一、知識結(jié)識結(jié)構(gòu)1.1.概念與運算概念與運算:⑴表達形式表達形式:①代數(shù)式:z=abi(ab∈R)②三角式:z=r(cosθisinθ)(r≥0θ∈R)③指數(shù)式:z=reiθ(r≥0θ∈R)④歐拉公式:eiθ=cosθisinθθ∈R.

2、⑵共軛與模與模:①===②||z1||z2||≤|z1z2|≤|z1||z2||z1z2|=|z1||z2|||=21zz?21zz?21zz?21zz?)(21zz21zz21zz③z=|z|2=||2④z=z∈R|z|=|Re(z)|z∈R.||||21zzzzz??⑶運算法運算法則:①乘法:r1(cosθ1isinθ2)r2(cosθ2isinθ2)=r1r2(cos(θ1θ2)isin(θ1θ2))②除法:)sin(cos)si

3、n(cos222121????irir??=(cos(θ1θ2)isin(θ1θ2))③乘方:[r(cosθisinθ)]n=rn(cosnθisinnθ)④開方:zn=r(cosθisinθ)z21rr?=(cosisin)(k=012…n1).nrnk??2?nk??2?2.2.輻角與三角輻角與三角:⑴輻角性角性質(zhì):①定義:若z=r(cosθisinθ)(r≥0θ∈R)則θ稱為復(fù)數(shù)z的輻角記為Argz特別地當θ∈[02π)時則θ稱為

4、復(fù)數(shù)z的輻角主值記為argz②運算:Argz1Argz2=Arg(z1z2)Argz1Argz2=Arg()=Arg(z1)nArgz=21zz2zArgzn③性質(zhì):若z=cosθisinθ則1z=2cos(cosisin)1z=2sin(cosisin).2?2?2?2?2?2?⑵單位根位根:①定義:方程xn=1的n個根叫做n次單位根分別記為ωk(k=012…n1)ωk=(cosisin)(k=0nk?2nk?212…n1)②性質(zhì):ω

5、0=1ωk=ω1kωkωj=ωkj單位根的積仍是單位根n次單位根的全部為:1ω1ω12…ω1n1③1ω1ω12…ω1n1=0(x1)(xω1)(xω12)…(xω1n1)=xn1.⑶基本基本結(jié)論結(jié)論:①實系數(shù)n次方程的虛根α與其共軛復(fù)數(shù)成對出現(xiàn)②若|z1|=|z2|=…=|zn|且z1z2…zn=0則z1z2?…zn對應(yīng)的點是正n邊形的頂點且正n邊形的中心在坐標原點③若復(fù)數(shù)z1z2對應(yīng)的點分別為Z1Z2且z1=z0z2則∠Z1OZ2=a

6、rgz0或argz0π.3.3.復(fù)數(shù)與幾何復(fù)數(shù)與幾何:⑴基本原理基本原理:①點的對應(yīng):復(fù)數(shù)z=xyi與點Z(xy)成一一對應(yīng)②向量對應(yīng):復(fù)數(shù)z=xyi與向量=(xy)成一一對應(yīng)OZ③距離公式:復(fù)數(shù)z1z2對應(yīng)的點分別為Z1Z2則|Z1Z2|=|z1z2|④旋轉(zhuǎn)公式:復(fù)數(shù)z1z2對應(yīng)的點分別為Z1Z2向量繞點21zzZ1逆時針旋轉(zhuǎn)θ角再伸長r(r0)倍則所得向量中的Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=z1r(z2z1)(cosθisinθ).zz1⑵線性結(jié)論

7、結(jié)論:①定比分點:若復(fù)數(shù)zz1z2對應(yīng)的點分別為ZZ1Z2點Z分有向線段的比為λ(λ≠1)則z=②三21zz????121zz點共線:若復(fù)數(shù)zz1z2對應(yīng)的點分別為ZZ1Z2則三點ZZ1Z2共線的充要條件是:Z=λZ1(1λ)Z2③平行條件:若復(fù)數(shù)z1z2z3z4對應(yīng)的點分別為Z1Z2Z3Z4則Z1Z2∥Z3Z4的充要條件是:z1z2=λ(z3z4)④垂直條件:若復(fù)數(shù)z1z2z3z4對應(yīng)的點分別為Z1Z2Z3Z4則Z1Z2⊥Z3Z4的充

8、要條件是:z1z2=λ(z3z4)i.3.三角形式三角形式[例3]:3]:(1999年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)給定實數(shù)abc已知復(fù)數(shù)z1z2z3滿足:求|az1bz2cz3|的值.???????????11||||||133221321zzzzzzzzz[解析解析]:]:[類題類題]:]:1.(1992年全國高中數(shù)學聯(lián)賽上海初賽試題)設(shè)A、B、C為△ABC的三內(nèi)角則復(fù)數(shù)的AiACiCBiB2sin2cos1)2sin2cos1)(2sin

9、2cos1(??????虛部是.2.(1992年湖南高中數(shù)學夏令營試題)已知復(fù)數(shù)z1z2滿足|z1|=|z2|=1z1z2=cos150isin150則=.21zz3.(2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽河北初賽試題)設(shè)|z1|=|z2|=a(a≠0)且z1z2=mmi其中m為非零實數(shù).則z13z23的值是.4.(1985年全國高中數(shù)學聯(lián)賽上海初賽試題)設(shè)|z|=1則|z2z2|的最小值為.5.(2006年全國高中數(shù)學聯(lián)賽遼寧初賽試題)已知復(fù)數(shù)

10、集合D復(fù)數(shù)z∈D當且僅當存在模為1的復(fù)數(shù)z1使得|z20052006i|=|z1412z12|.則D中實部和虛部都為整數(shù)的復(fù)數(shù)的個數(shù)是.4.共軛運算運算[例4]:4]:(2001年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)若復(fù)數(shù)z1z2滿足|z1|=2|z2|=33z12z2=i則z1z2=.23[解析解析]:]:[類題類題]:]:1.(1986年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)為z為復(fù)數(shù)M=z|(z1)2=|z1|2那么()(A)M=純虛數(shù)(B)M=實數(shù)(C)實數(shù)

11、M復(fù)數(shù)(D)M=復(fù)數(shù)??2.(1985年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)設(shè)zwλ為復(fù)數(shù)|λ|≠1關(guān)于z的方程λz=w下面有四個結(jié)論:①z=是這z2||1????ww個方程的解②這個方程只有一個解③這個方程有兩個解④這個方程有無窮多解.則()(A)只有①和②是正確的(B)只有①和③是正確的(C)只有①和④是正確的(D)以上(A)、(B)、(C)都不正確3.(2006年全國高中數(shù)學聯(lián)賽甘肅初賽試題)如果復(fù)數(shù)z1z2滿足|z1|=|z2|且z1z2=2

12、i則的值為.||2121zzzz4.(1996年湖南高中數(shù)學夏令營試題)z1z2是已知的兩個任復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z滿足z≠0zz2≠0z1zz1=0則z2z2zarg=.21zzzz??5.(1991年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)設(shè)復(fù)數(shù)z1z2滿足|z1|=|z1z2|=3|z1z2|=3則log3|(z1)2000(z2)2000|=.32z1z5.模的運算模的運算[例5]:5]:(2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽新疆初賽試題)復(fù)數(shù)z1和z2滿足:|z2|

13、=44z122z1z2z22=0則|(z11)2(z12)|的最大值為.[解析解析]:]:[類題類題]:]:1.(1983年全國高中數(shù)學聯(lián)賽上海初賽試題)||=.)52)(32()35)(25)(23(2iiiii?????2.(2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽天津初賽試題)復(fù)數(shù)z滿足|z|(3z2i)=2(iz?6)則|z|等于.3.(2004年全國高中數(shù)學聯(lián)賽吉林初賽試題)設(shè)zn是一個復(fù)數(shù)數(shù)列定義zn=(1i)(1)…(1)則=.2ini