數(shù)學(xué)競賽教案講義（15）——復(fù)數(shù)

1、高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。1第十五章復(fù)數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)1復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如abi（ab∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2復(fù)數(shù)的幾種形式。對任意復(fù)數(shù)z=abi（ab∈R），a稱實(shí)部記作Re(z)b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部

2、兩部分構(gòu)成；若將(ab)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(ab)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見圖151，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ|OZ|

3、=r，則a=rcosθb=rsinθ所以z=r(cosθisinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθisinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=22ba?.如果用eiθ表示cosθisinθ，則z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。3共軛與模，若z=abi，（ab∈R）則?zabi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）2121zzzz

4、???；（2）2121zzzz???；（3）2||zzz??；（4）2121zzzz?????????；（5）||||||2121zzzz???；（6）||||||2121zzzz?；（7）||z1||z2||≤|z1z2|≤|z1||z2|；（8）|z1z2|2|z1z2|2=2|z1|22|z2|2；（9）若|z|=1，則zz1?。4復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過乘以共軛

5、復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1isinθ1)z2=r2(cosθ2isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1θ2)isin(θ1θ2)]；若212120rrzzz??[cos(θ1θ2)高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。3例2設(shè)f(z)=z2azbab為復(fù)數(shù)，對一切|z|=1，有|f(z)|=1，求ab的值。2