柯西--黎曼方程的應用 - 華北電力大學繼續(xù)教育學院

1、柯西柯西黎曼方程的應用黎曼方程的應用劉兵軍在復變函數(shù)中，柯西黎曼方程具有很強的應用性。利用柯西黎曼方程判斷一個復變函數(shù)的解析性，是非常簡單的。而利用解析性的定義來判斷一個復變函數(shù)的解析性就非常麻煩。已知一解析函數(shù)的實部（或虛部），利用柯西黎曼方程還可以還可以求出此函數(shù)的虛部（或?qū)嵅浚?，從而得到函?shù)的表達式。定理一設函數(shù)定義在區(qū)域內(nèi)，則在內(nèi)一點可)()()(yxivyxuzf??D)(zfDiyx?導的充要條件是和在點可微，并且在該點滿足

2、柯西黎曼方程)(yxu)(yxv)(yx，。yvxu?????xvyu??????定理二設函數(shù)定義在區(qū)域內(nèi)，則在內(nèi)解析的充要條)()()(yxivyxuzf??D)(zfD件是：和在內(nèi)可微，并且滿足柯西黎曼方程)(yxu)(yxvD，。yvxu?????xvyu??????利用定理一可以判斷函數(shù)在一點的可導性，而利用定理二可以判斷函數(shù)在一個區(qū)域內(nèi)的可導性，即解析性。定義一如果實二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)滿足，則稱為在區(qū))(yx?D02222???

3、???yx??)(yx?域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。D定理三任何在區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)，其實部和虛部均為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西DD黎曼方程，。yvxu?????xvyu??????以下通過例題講述柯西黎曼方程的應用方法。例1判斷下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：（1）；（2）；（3）。zw?)sin(cos)(yiyezfx??)Re(zzw?解（1），，，，，xu?yv??1???xu0???yu0???xv1????yv，柯西黎曼方程不滿足，故在復

4、平面內(nèi)處處不可導且處處不解析。yvxu?????zw?，再由得，其中)(32xyxyv????)(22xyxvyyu????????????cx?)(?為常數(shù)。故。ccyxyv???32例4已知函數(shù)，求函數(shù)，使得解析。22)(yxyyxv??)(yxu)()()(yxivyxuzf??解由于解析，和滿足柯西黎曼方程。)()()(yxivyxuzf??uv，，222)(2yxxyxv?????22222)(yxyxyv?????由得xvy

5、u??????222)(2yxxy??，????dyyxxyyxu222)(2)(????22222)()(yxyxdx)(22xgyxx???再由得，yvxu?????)()(22222xgyxyxxu??????22222)(yxyx???故，，。0)(?xgcxg?)(???ivuzf)(????cyxx22zcyxyi122???以上例題展示了柯西黎曼方程的各種應用方法，類似例題很多，但通過對這些例題解的學習，有助于我們掌握柯西