[武漢科技大學]武漢科技大學_信號與系統(tǒng)習題精解第2章

1、28第2章時域連續(xù)信號的頻域分析時域連續(xù)信號的頻域分析2.1本章要點信號具有時域特性和頻域特性，本章討論信號的頻域特性，其目的一是掌握信號頻域特性的分析，二是為系統(tǒng)的頻域分析方法作準備。從本章開始由時域轉入變換域分析，頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調制和頻分復用等重要概念。1、信號的正交分解若個函數構成一個函數集，當這些函數在區(qū)間

2、內滿足n)()()(21tgtgtgn?)(21tt(21)?????????2100)()(ttijijikjidttgtg式中，為一常數。則稱此函數集為在區(qū)間上的正交函數集。在區(qū)間內ik)(21tt)(21tt相互正交的n個函數構成正交信號空間。當時，上述函數集就稱為是歸一化正交的。1?ik如果在正交函數集之外，不存在任何函數滿足??)()()(21tgtgtgn?)0)((??t(22)???210)()(ttidtt

3、tg?)21(ni??則稱此函數集為完備正交函數集。也就是說，如能找到一個函數使得式(26)成立，()t?即與函數集的每一個函數都正交，那么它本身就應屬于此函數集。顯然不包含()t?()igt的集是不完備的。()t?設有個函數在區(qū)間上構成一個正交函數集，將任一函n)()()(21tgtgtgn?)(21tt數用這個正交函數的線性組合來近似，可以表示為：)(tfn(23)?????????niiinniitgctgctgctgctgctf

4、12211)()()()()()(??應選取系數使得實際函數與近似函數之間誤差在區(qū)間內最小。這里“誤差最ic)(21tt小”不是指平均誤差最小，因為平均誤差很小甚至等于零時，也可能出現(xiàn)較大的正誤差與較大的負誤差在平均過程中相互抵消，以致不能正確反映兩函數的近似程度。通常選擇誤差的均方值最小。誤差的均方值也稱為均方誤差，用符號表示：2?30(214)0000002()cosd1232()sind123tTnttTntaftnttnTbft

5、nttnT???????????????????(215)000FAa??以各諧波的振幅或虛指數信號的幅度||為縱坐標，畫出的圖形，稱之為幅度(或振nAnF幅)頻譜，簡稱幅度譜。畫出各諧波初角與頻率(或角頻率)的線圖，稱之為相位頻譜。如n?果是實的，則可以用的正負來表示為或，這時將幅度譜和相位譜畫在一個圖nFnFn?0?上。3、非周期信號的頻譜分析——傅里葉變換(216)()()1()()2jtjtFjftedtftFjed??????

6、????????????????前者是由信號的時間函數變換為頻率函數，稱為傅里葉正變換式；后者是由信號的頻率函數變換為時間函數，稱為傅里葉反變換式。也可簡記為?()Fj??()ft?(()ft?1()Fj??217)或(218)()()ftFj??非周期信號的傅里葉變換也應該滿足一定的條件才能存在。這種條件類似于傅里葉級數的狄里赫利條件，不同之處僅僅在于時間范圍從一個周期擴展為無限區(qū)間，條件，即要求信號f(t)在無限區(qū)間內絕對可積。但這

7、僅是充分條件，而不是必要條件，自從引入了廣義函數的概念以后，對于許多并不滿足絕對可積條件的函數(如階躍信號、符號函數及周期信號等)，其傅里葉變換可以有確定的表示式。一般情況下，頻譜函數是一個復函數，它可以寫成(219)()()|()|jFjFje?????亦稱為幅度頻譜，它是頻率的函數，它代表信號中各頻率分量的相對大小，|()|Fj?而各頻率分量的實際幅度是，它是一無窮小量。稱為相位頻譜，它也()2Fjd???()??是頻率的函數，它代