§76直線與圓的位置關系

1、澄海中學數(shù)學組 制作：黃偉,高中數(shù)學第二冊(上),高中數(shù)學第七章 直線與圓的方程課件,2024年3月25日,,書 山 有 路 勤 為 徑，學 海 無 崖 苦 作 舟,少 小 不 學 習，老 來 徒 傷 悲,成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話,天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！,天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！,直線與圓的位置

2、關系,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,知識回顧,,直線方程的一般式為:____________________________,2.圓的標準方程為：______________,3.圓的一般方程：__________________________________,圓心為________,半徑為______,Ax+By+C=0(A,B不同時為零),(x-a)2+(y-b)2=r2,x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-

3、4F>0)圓心為 半徑為,（a，b),r,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,,圓和圓的位置關系,,,外離,內(nèi)切,外切,內(nèi)含,相交,2,4,3,0,1,d>R+r,d=R+r,R-r<d<R+r,d=R-r,0≤d<R-r,公切線長,知識點撥,,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,,問題1：你知道直線和圓的位置關系有幾種？,知識點撥,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,,知識點

4、撥,直線與圓的位置關系的判斷方法:,一般地,已知直線Ax+By+C=0(A,B不同時為零)和圓(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心(a,b)到此直線的距離為,則,例1 如圖4.2-2，已知直線L：3x+y-6=0和圓心為C的圓 ，判斷直線L與圓的位置關系；如果相交，求它們交點的坐標。,分析：方法一，判斷直線L與圓的位置關系，就是看由它們的方程組成的方程有無實數(shù)解

5、；方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關系，判斷直線與圓的位置關系。,,,,,0,x,y,A,B,●,C,L,圖4.2-2,,解法一：由直線L與圓的方程，得 ① ②

6、 消去y ，得 因為 ⊿=所以，直線L與圓相交，有兩個公共點。,,,,,,解法二：圓

7、 可化為 ，其圓心C的坐標為（0，1），半徑長為 ，點C（0，1）到直線L的距離d＝ ＝ = =所以，直線L與圓相交，有兩個公共點．由 ，解得 =2 ， ＝１．把

8、 =2代入方程①，得 ＝０；把 ＝１代入方程①，得 ＝３．所以，直線L圓相交，它們的坐標分別是Ａ（２，０），Ｂ（１，３）．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,＜,鞏固練習：①判斷直線４x－３y=50與圓 的位置關系．如果相交，求出交點坐標．,解：因為圓心O（0，0）到直線４x－３y=50的距離d=

9、 = 10而圓的半徑長是10，所以直線與圓相切。圓心與切點連線所得直線的方程為3x+4y=0解方程組 ， 得 切點坐標是（８，－６）,,,,,,②判斷直線３x＋４y＋２＝０與圓 的位置關系．,解：方程 經(jīng)過配方，得 　 圓心坐標是（１，０），半徑長

10、r=`1． 圓心到直線３x＋４y＋２＝０的距離是 因為d=r，所以直線３x＋４y＋２＝０與圓相切．,,,,③已知直線L：y＝x+6,圓Ｃ: 試判斷直線L與圓Ｃ有無公共點，有幾個公共點．,解：圓Ｃ的圓心坐標是（０，１），半徑長r= ，圓心到直線y＝x+6的距離 所以直

11、線L與圓Ｃ無公共點．,,,,,④試解本節(jié)引言中的問題．,解：以臺風中心為原點，東西方向為x 軸，建立如圖所示的直角坐標系，其中，取１０km為單位長度，這樣，受臺風影響的圓形區(qū)域所對應的圓Ｏ方程為輪船航線所在直線L的方程為4x+7y-28=0 問題歸結(jié)為圓Ｏ與直線L有無公共點。點Ｏ到直線L的距離　圓Ｏ的半徑長r=3因為３.５＞３，所以，這艘輪船不必改變航線，不會受到臺風的影響．,,,,,,x,y,0,,A,B,歸納小

12、結(jié)：直線與圓的位置關系的判斷方法有兩種：,①代數(shù)法：通過直線方程與圓的方程所組成的方程組成的方程組，根據(jù)解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即⊿＞０，則相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即⊿＝０，則相切；若無實數(shù)解，即⊿＜０，則相離．,②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷：當dr時，直線與圓相離．,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,,將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組,利用消元法消去一個元后,得到關于另一個元的一元二次方程

13、,求出其Δ的值，然后比較判別式Δ與0的大小關系,,判斷直線與圓的位置關系的方法2 (代數(shù)法):,若Δ>0 則直線與圓相交,若Δ=0 則直線與圓相切,若Δ<0 則直線與圓相離,反之成立,知識點撥,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,,直線與圓的位置關系判斷方法：,一、幾何方法。主要步驟：,利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離,作判斷: 當d>r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切;當d<r時，直線與圓

14、相交,把直線方程化為一般式,利用圓的方程求出圓心和半徑,,,知識點撥,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,,把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組,求出其Δ的值,比較Δ與0的大小:當Δ0時,直線與圓相交。,二、代數(shù)方法。主要步驟：,利用消元法，得到關于另一個元的一元二次方程,,,,知識點撥,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,典型例題,,,已知直線l：kx-y+3=0和圓C: x2+y2=1,試問：k為何值時，直線l與圓C相交？,腦

15、筋轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn),問題：你還能用什么方法求解呢?,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,,一只小老鼠在圓(x-5)2+(y-3)2=9上環(huán)行，它走到哪個位置時與直線l ：3x+4y-2=0的距離最短，請你幫小老鼠找到這個點并計算這個點到直線l的距離。,請你來幫忙,知識反饋,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一頁,典型例題,,例1：直線l過點(2,2)且與圓x2+y2-2x=0相切,求直線l的方程.,直線與圓的位置關系,返回,結(jié)束,下一

16、頁,典型例題,,例2:一圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，在y=x上截得弦長為 ，求此圓的方程。,解：設該圓的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2，,圓心(3b,b)到直線x-y=0的距離是,故所求圓的方程是(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9。,r=|3b|,,比較：幾何法比代數(shù)法運算量少，簡便。,例1：過點P（1，-1）的直線L與圓M:(x-3)2+(y-4)2=4 （1）當

17、直線和圓相切時，求切線方程和切線長; （2）若直線的斜率為2，求直線被圓截得的弦AB的長; （3）若圓的方程加上條件x≥3，直線與圓有且只有一個交點，求直線的斜率的取值范圍.,演示,培養(yǎng)學生用數(shù)形結(jié)合的思想優(yōu)化解題程序，用運動變化的觀點分析解決問題的能力。,例2: 在圓（x+1）2+(y+2)2＝8上到直線ｘ+ｙ+１=０的距離為 的點有_____個.,演示,運用點到直線的距離解決直線與圓的關系問題，將學

18、生思維引向更高層次。,在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圓上是否存在四個點到直線AB：3x-4y-3=0的距離等于１。,開放性問題:,,演示,給出這個問題的用意是開拓學生的思維，讓學生從多角度思考問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。,直線與圓部分練習題,1、從點P(x.3)向圓（x+2)2+(y+2)2=1作切線，則切線長度的最小值是（ ）,A. 4 B.,C.5 D. 5.5,2、M(3.0)是圓x

19、2+y2-8x-2y+10=0內(nèi)一點，則過點M最長的弦所在的直線方程是( )A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0,3、直線l: x sina+y cosa=1與圓x2+y2=1的關系是（ ）A.相交 B.相切 C. 相離 D.不能確定,4、設點P(3,2)是圓(x-2)2+(y-1)2=4內(nèi)部一點

20、，則以P為中點的弦所在的直線方程是________________________,B,C,B,x+y-5=0,5、直線 x+y+a=0與 y= 有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（ ）A. [1, ) B.[1, ] C.[ , -1] D ( , -1],D,6、一圓與y軸相切，圓心在直線x-3

21、y=0上，且在直線y=x上截得的弦長為 ，求此圓方程。,答： (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9,高考薈萃,①（2000年全國理）過原點的直線與圓 相切，若切點在第三象限，則該直線的方程是（ ）,Ａ.　 Ｂ．　 Ｃ．　 Ｄ．,,,,,,,,,,C,,,④（2002

22、 年全國文）若直線（１+a）x+y+1=0與圓相切，則a的值為（ ）,Ａ．１，－１　?。拢?，－２　?。茫薄　。模?D,,例2. 已知圓的方程是 ，求經(jīng)過圓上一點 的切線的方程。,,,,所求的切線方程是,因為點M在圓上,所以,經(jīng)過點M 的切線方程是,解:當M不在坐標軸上時，設切線的斜率為k

23、,則k =,當點M在坐標軸上時，可以驗證，上面方程同樣適用.,整理得,,例2. 已知圓的方程是 ，求經(jīng)過圓上一點 的切線的方程。,,,,解法二：①當點 M 不在坐標軸上時，,②當點 M 在坐標軸上時，同解法一一樣可以驗證.,設切線方程為,y-y0=k(x-x0),整理成一般式，利用點到直線的距離公式求k,代入所設方程即可.,,例2 已知圓的方程是

24、 ，求經(jīng)過圓上一點 的切線的方程。,,P(x,y),,,,由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2,解法三：利用平面幾何知識，按求曲線方程的一般 步驟求解.,如圖，在Rt△OMP中,,,x0x +y0 y = r2,,小結(jié):,1:過圓x2＋y2＝r2上一點(xo,yo)的切線方程為xox+yoy=r2 2:過圓(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一點(xo

25、,yo)的切線方程為 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r23:過圓x2＋y2＝r2外一點(xo,yo)的作圓的切線，兩切點的連線的直線方程為xox+yoy=r24:過圓(x-a)2＋(y-b)2＝r2外一點(xo,yo)的作圓的切線， 兩切點的連線的直線方程為 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2,1.已知點P(x,y)是圓x2+y2=4上任意一點，求(1)2x+3 (2)(x

26、-2)2+(y-3)2 (3)y/(x+4)的取值范圍,2.已知一個圓C與y軸相切，圓心C在直線l1:x-3=0上，且 在直線l2:x-y=0上截得的弦長為 ,求圓C的方程,3.已知圓C: x2+(y+4)2=4，求在兩坐標軸上截距相等的圓 的切線方程,4.已知點P是圓x2+y2=4上一動點，點Q(4,0),求線段PQ中點 的軌跡,5.直線l過點P(0,2)且被圓x2+y2=4截得弦長為2，求l的斜率,與y

27、軸交于A，B兩點，與x軸,的一個交點為P，求∠APB的大小,2.已知圓(x-3)2+(y+4)2=4與直線y=kx相交于P,Q兩點，則 |OP|·|OQ|= .,3.已知A(1,2)是圓(x-2)2+(y-4)2=10內(nèi)的一個點，求過點A 且被A平分的圓的弦所在直線l的方程,4. 已知圓C滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段 圓弧，其弧長之比為3:1;③圓心到直線l:x-2y=

28、0的距離 為 ，求這個圓的方程,1.若實數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值,2.已知P(2,0),Q(8,0)，點M到點P的距離是它到點Q的距離的1/5，求M的軌跡方程，并求軌跡上的點到直線l:8x-y-1=0的最小距離,3.已知P(x,y)為圓x2+y2-6x-4y+12=0上的點(1)求 的最小值(2)求x2+y2的最大值與最小值,4.已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0

29、,問：是否存在斜率為1的直線使l被圓C截得得弦AB為直徑的圓過原點，若存在，寫出直線方程,二.例題講解,例1．過點P(-2，-3)作圓C：(x-4)2+(y-2)2=9的兩條 切線，切點分別為A、B.求： (1)經(jīng)過圓心C，切點A、B這三點的圓的方程； (2)直線AB的方程； (3)線段AB的長.,3. 過兩圓x2 + y2 + 6x –4 = 0 和

30、x2 + y2 + 6y –28 = 0 的交點且圓心在直線x-y-4=0上的圓方程是( ) (A) x2+y2+x-5y+2=0 (B) x2+y2-x-5y-2=0 (C) x2+y2-x+7y-32=0 (D) x2+y2+x+7y+32=0,4.已知圓C：(x-a)2+(y-2)2=4(a＞0)及直線l：x-y+3=0當直線l 被C截得的弦長為

31、 時，則a=( )(A) (B) (C) (D),C,C,例2.己知圓C: x2+y2－2x－4y－20=0, 直線l: (2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R) (1)證明: 無論m取何值 直線l與圓C恒相交. (2)求直線l被圓C截得的最短弦長,及此時