[教育]揚州大學線性代數11行列式定義

1、2024/3/27,第一章 行列式,1,上課,緒 論,線性代數是是中學代數的繼續(xù)和發(fā)展。,一、課程內容,“線性”即一次，一次函數、方程、不等式均稱為線性的。本課程一重要內容——解含n個未知數、m個方程的任一線性方程組。課程給出了一套有關線性方程組的理論，其中用到一些新知識，如矩陣(Ch2) 、向量(Ch3)及相關概念。,行列式(Ch1)與矩陣概念是人們從求解線性方程組的需要中建立起來的，又遠遠越出求解線性方程組的范圍，成為重要

2、的數學工具。矩陣在眾多數學分支以及自然科學、現代經濟學、,2024/3/27,第一章 行列式,3,工程技術等方面也有廣泛應用。教材在Ch4進一步研究矩陣的有關問題， Ch5也以矩陣為工具。,二、課程應用,線性問題廣泛存在于自然科學、管理科學和技術科學的各個領域，某些非線性問題在一定條件下也可以線性化，在線性問題中一次不等式又可以通過引進新變量轉化為等式(“線性規(guī)劃”課程)——即線性方程。,因此線性代數的概念和方法應用廣泛，尤其計算機的應

3、用使得復雜的線性模型得以迅速、準確求解。,2024/3/27,第一章 行列式,4,三、課程特點,,學習方法,五、參考書目,1.《練習卷》,2.《線性代數學習指導》,代數繁且抽象。只有一步步穩(wěn)打穩(wěn)扎，才能學好.,四、作業(yè)要求: 及時、獨立完成; 格式; 上交時間.,2024/3/27,第一章 行列式,5,第一章 行列式,2024/3/27,第一章 行列式,6,來源: 解線性方程組,考慮用消元法解,為了求x1 ,需先消去x2 ,

4、于是,當 時,,1.1 行列式的定義,一. 二、三階行列式,1. 二階行列式,2024/3/27,第一章 行列式,7,類似有:,這就是兩個未知量兩個方程的線性方程組在條件,下的公式解.,公式解的缺點:,不便于記憶,改進方法:,引入新記號,定義一:,令,并把此式叫做一個二階行列式.,(結果是個數),等式左端是記號,,右端是行列式的算法.,(兩行兩列四元素組成),(兩項

5、的代數和),2024/3/27,第一章 行列式,8,公式解的便于記憶形式,記法:,(2) x1、x2分子不同, 其行列式分別是把系數行列式中x1、x2的系數列換成常數項列(保持原有的上下相對位置)所得行列式.,(1)x1 , x2分母的行列式由方程中未知數系數按其原有的相對位置排成——“系數行列式”,2024/3/27,第一章 行列式,9,定義二:,令,并把此式叫做一個三階行列式.,等式左端是記號,,右端是行列式的展式.,aij: 第i

6、行第j列的元素,它可以由一個很簡單的規(guī)則來說明——即三階行列式的對角線規(guī)則.,(三行三列九元素組成),(六項的代數和),2. 三階行列式,2024/3/27,第一章 行列式,10,,,可以驗證，三元線性方程組,的解當D ≠0時可以表示為:,2024/3/27,第一章 行列式,11,其中:,例1 解方程組,D＝,D1＝,D2＝,D3＝,2024/3/27,第一章 行列式,12,解,所以:,D＝,D1=,D2=,D3=,3×(

7、-1)×(-1),=,＋1×2×1,＋(-1)×2×1,－(-1)×(-1)×1,－ 1×2×(-1),－3×2×1,＝－2,=2－2－1＋2,=1,=－12,=－9,2024/3/27,第一章 行列式,13,小結:引入二(三)階行列式使二(三)元線性方程組的公式解具有同樣的規(guī)律. 人們自然想把這一規(guī)律推廣到n(n>3)

8、個未知量的線性方程組的解法上. 顯然,,能否推廣關鍵在于怎樣恰當地定義——,二. n階行列式,1. 二、三階行列式的推廣,四階行列式：4 2 個元素組成,n階行列式：,n 2 個元素組成,——n階行列式的形式,n階行列式的實質?,表示代數和——每項組成?共多少項?各項符號?,觀察三階行列式展開式的特點思考上述問題：,(1) 每項組成:,(2)多少項:,四階行列式共4! ＝24項，對角線僅8條，,(3)各項符號:,四階以上是否適用？,

9、取自不同行不同列的三元之積.,由排列組合知識，共3! ＝6項.,有多少不同行、不同列的三元之積?,對角線法則.,對角線法則對四階以上行列式不適用。,為確定行列式展式中各項符號,先介紹排列理論,(1)排列:,自然數1,2,…, n組成的一個有序數組,i1i2…in稱為一個n級(元)排列.,例 123、231、312、…,自然排列:,(2)逆序: 大數碼排在小數碼前面, 稱兩者構成一個逆序.,排列中的逆序總數稱作逆序數, 記,2.排列的

10、逆序數,51243、41352、,…五級排列.,不是排列.,1242,三級排列,共,3!＝6種；,一般排列：不按自然數順序排列.,,例2,2+,1+,1,=4;,=0;,=5;,按自然數順序排列(左數碼<右數碼),= n-1+n-2+…+2+1 =,,,(3) 奇排列：逆序數為奇數的排列 偶排列：逆序數為偶數的排列,,上例③逆序數為0,是偶排列.,n=4k或4k＋1,,偶排列;,n=4k＋2或4k＋3,奇排

11、列.,(4)排列的對換:,排列經對換后逆序數改變. 奇偶性是否改變?,定理1 對換改變排列的奇偶性。,證 ①對換相鄰數碼： ，,②一般對換： ，對換(i, j)可看成:,i 經s+1次相鄰對換得,j再經s次相鄰對換得,奇偶性共改變2s+1次。,逆序數增加或減少1,④,對換,(is , it),定理2 全體n(n>1)級排列的集合中，奇、偶排列各占一半。,證:,設n!個排列中奇、偶排列分別有p、

12、q個.,將p個奇排列經同一對換如(1，2)可得p個偶排列,,故p≤q；,同理可得q ≤ p .,所以 p＝q,推論 奇(偶)排列可經奇(偶)數次對換變成自然排列,利用排列的逆序數可確定行列式中各項的符號.,先看三階行列式中各項符號有何規(guī)律.,各項正負號與列標排列:,正號:123,231,312,負號:321,213,132,(偶排列),(奇排列),定義：用符號,表示的n階行列式指的是——,n!項的代數和;,這些項是一切可能的取自表(

13、1)的不同行與不同列的n個元素的乘積 ；,項 的符號為,故,3. n階行列式,記作：,determinant,簡記作,易證：,(也可),特別: n=1,一階行列式,(與絕對值的區(qū)別!),|a|＝a,20,上三角形行列式,下三角形行列式,對角形行列式,例3,4.  特殊行列式,＝a11a22…ann,＝,＝,＝

14、a1n a2n-1… an1,2024/3/27,第一章 行列式,21,例4.用行列式定義計算：,＝ 2005 !,＝(－1) 2005 !,＝2005 !,例5. 設,問dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2是否D中項？符號?,, 求 f (x) 的最高次項.,例6.,dx3y2z1,列4321,,＋.,by3x1z4,

15、行1234,,列2314.,－.,行1324,,ax1y3z2,列1132,,不是D中項.,行1234,,＝－90x 4,,,,,(或:行1234,,列2134),2024/3/27,第一章 行列式,23,解: 根據定義,,D是一個4!＝24項的代數和.,這24項中除了acfh, adeh, bdeg, bcfg四項外,,其余項都至少含一個因子0,,因而等于零.,acfh對應列排列是,1234,adeh對應列排列是,1324,bdeg