[教育]揚(yáng)州大學(xué)線性代數(shù)11行列式定義

1、2024/3/27,第一章 行列式,1,上課,緒 論,線性代數(shù)是是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和發(fā)展。,一、課程內(nèi)容,“線性”即一次，一次函數(shù)、方程、不等式均稱為線性的。本課程一重要內(nèi)容——解含n個(gè)未知數(shù)、m個(gè)方程的任一線性方程組。課程給出了一套有關(guān)線性方程組的理論，其中用到一些新知識(shí)，如矩陣(Ch2) 、向量(Ch3)及相關(guān)概念。,行列式(Ch1)與矩陣概念是人們從求解線性方程組的需要中建立起來的，又遠(yuǎn)遠(yuǎn)越出求解線性方程組的范圍，成為重要

2、的數(shù)學(xué)工具。矩陣在眾多數(shù)學(xué)分支以及自然科學(xué)、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)、,2024/3/27,第一章 行列式,3,工程技術(shù)等方面也有廣泛應(yīng)用。教材在Ch4進(jìn)一步研究矩陣的有關(guān)問題， Ch5也以矩陣為工具。,二、課程應(yīng)用,線性問題廣泛存在于自然科學(xué)、管理科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，某些非線性問題在一定條件下也可以線性化，在線性問題中一次不等式又可以通過引進(jìn)新變量轉(zhuǎn)化為等式(“線性規(guī)劃”課程)——即線性方程。,因此線性代數(shù)的概念和方法應(yīng)用廣泛，尤其計(jì)算機(jī)的應(yīng)

3、用使得復(fù)雜的線性模型得以迅速、準(zhǔn)確求解。,2024/3/27,第一章 行列式,4,三、課程特點(diǎn),,學(xué)習(xí)方法,五、參考書目,1.《練習(xí)卷》,2.《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》,代數(shù)繁且抽象。只有一步步穩(wěn)打穩(wěn)扎，才能學(xué)好.,四、作業(yè)要求: 及時(shí)、獨(dú)立完成; 格式; 上交時(shí)間.,2024/3/27,第一章 行列式,5,第一章 行列式,2024/3/27,第一章 行列式,6,來源: 解線性方程組,考慮用消元法解,為了求x1 ,需先消去x2 ,

4、于是,當(dāng) 時(shí),,1.1 行列式的定義,一. 二、三階行列式,1. 二階行列式,2024/3/27,第一章 行列式,7,類似有:,這就是兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程的線性方程組在條件,下的公式解.,公式解的缺點(diǎn):,不便于記憶,改進(jìn)方法:,引入新記號(hào),定義一:,令,并把此式叫做一個(gè)二階行列式.,(結(jié)果是個(gè)數(shù)),等式左端是記號(hào),,右端是行列式的算法.,(兩行兩列四元素組成),(兩項(xiàng)

5、的代數(shù)和),2024/3/27,第一章 行列式,8,公式解的便于記憶形式,記法:,(2) x1、x2分子不同, 其行列式分別是把系數(shù)行列式中x1、x2的系數(shù)列換成常數(shù)項(xiàng)列(保持原有的上下相對(duì)位置)所得行列式.,(1)x1 , x2分母的行列式由方程中未知數(shù)系數(shù)按其原有的相對(duì)位置排成——“系數(shù)行列式”,2024/3/27,第一章 行列式,9,定義二:,令,并把此式叫做一個(gè)三階行列式.,等式左端是記號(hào),,右端是行列式的展式.,aij: 第i

6、行第j列的元素,它可以由一個(gè)很簡(jiǎn)單的規(guī)則來說明——即三階行列式的對(duì)角線規(guī)則.,(三行三列九元素組成),(六項(xiàng)的代數(shù)和),2. 三階行列式,2024/3/27,第一章 行列式,10,,,可以驗(yàn)證，三元線性方程組,的解當(dāng)D ≠0時(shí)可以表示為:,2024/3/27,第一章 行列式,11,其中:,例1 解方程組,D＝,D1＝,D2＝,D3＝,2024/3/27,第一章 行列式,12,解,所以:,D＝,D1=,D2=,D3=,3×(

7、-1)×(-1),=,＋1×2×1,＋(-1)×2×1,－(-1)×(-1)×1,－ 1×2×(-1),－3×2×1,＝－2,=2－2－1＋2,=1,=－12,=－9,2024/3/27,第一章 行列式,13,小結(jié):引入二(三)階行列式使二(三)元線性方程組的公式解具有同樣的規(guī)律. 人們自然想把這一規(guī)律推廣到n(n>3)

8、個(gè)未知量的線性方程組的解法上. 顯然,,能否推廣關(guān)鍵在于怎樣恰當(dāng)?shù)囟x——,二. n階行列式,1. 二、三階行列式的推廣,四階行列式：4 2 個(gè)元素組成,n階行列式：,n 2 個(gè)元素組成,——n階行列式的形式,n階行列式的實(shí)質(zhì)?,表示代數(shù)和——每項(xiàng)組成?共多少項(xiàng)?各項(xiàng)符號(hào)?,觀察三階行列式展開式的特點(diǎn)思考上述問題：,(1) 每項(xiàng)組成:,(2)多少項(xiàng):,四階行列式共4! ＝24項(xiàng)，對(duì)角線僅8條，,(3)各項(xiàng)符號(hào):,四階以上是否適用？,

9、取自不同行不同列的三元之積.,由排列組合知識(shí)，共3! ＝6項(xiàng).,有多少不同行、不同列的三元之積?,對(duì)角線法則.,對(duì)角線法則對(duì)四階以上行列式不適用。,為確定行列式展式中各項(xiàng)符號(hào),先介紹排列理論,(1)排列:,自然數(shù)1,2,…, n組成的一個(gè)有序數(shù)組,i1i2…in稱為一個(gè)n級(jí)(元)排列.,例 123、231、312、…,自然排列:,(2)逆序: 大數(shù)碼排在小數(shù)碼前面, 稱兩者構(gòu)成一個(gè)逆序.,排列中的逆序總數(shù)稱作逆序數(shù), 記,2.排列的

10、逆序數(shù),51243、41352、,…五級(jí)排列.,不是排列.,1242,三級(jí)排列,共,3!＝6種；,一般排列：不按自然數(shù)順序排列.,,例2,2+,1+,1,=4;,=0;,=5;,按自然數(shù)順序排列(左數(shù)碼<右數(shù)碼),= n-1+n-2+…+2+1 =,,,(3) 奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列 偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列,,上例③逆序數(shù)為0,是偶排列.,n=4k或4k＋1,,偶排列;,n=4k＋2或4k＋3,奇排

11、列.,(4)排列的對(duì)換:,排列經(jīng)對(duì)換后逆序數(shù)改變. 奇偶性是否改變?,定理1 對(duì)換改變排列的奇偶性。,證 ①對(duì)換相鄰數(shù)碼： ，,②一般對(duì)換： ，對(duì)換(i, j)可看成:,i 經(jīng)s+1次相鄰對(duì)換得,j再經(jīng)s次相鄰對(duì)換得,奇偶性共改變2s+1次。,逆序數(shù)增加或減少1,④,對(duì)換,(is , it),定理2 全體n(n>1)級(jí)排列的集合中，奇、偶排列各占一半。,證:,設(shè)n!個(gè)排列中奇、偶排列分別有p、

12、q個(gè).,將p個(gè)奇排列經(jīng)同一對(duì)換如(1，2)可得p個(gè)偶排列,,故p≤q；,同理可得q ≤ p .,所以 p＝q,推論 奇(偶)排列可經(jīng)奇(偶)數(shù)次對(duì)換變成自然排列,利用排列的逆序數(shù)可確定行列式中各項(xiàng)的符號(hào).,先看三階行列式中各項(xiàng)符號(hào)有何規(guī)律.,各項(xiàng)正負(fù)號(hào)與列標(biāo)排列:,正號(hào):123,231,312,負(fù)號(hào):321,213,132,(偶排列),(奇排列),定義：用符號(hào),表示的n階行列式指的是——,n!項(xiàng)的代數(shù)和;,這些項(xiàng)是一切可能的取自表(

13、1)的不同行與不同列的n個(gè)元素的乘積 ；,項(xiàng) 的符號(hào)為,故,3. n階行列式,記作：,determinant,簡(jiǎn)記作,易證：,(也可),特別: n=1,一階行列式,(與絕對(duì)值的區(qū)別!),|a|＝a,20,上三角形行列式,下三角形行列式,對(duì)角形行列式,例3,4.  特殊行列式,＝a11a22…ann,＝,＝,＝

14、a1n a2n-1… an1,2024/3/27,第一章 行列式,21,例4.用行列式定義計(jì)算：,＝ 2005 !,＝(－1) 2005 !,＝2005 !,例5. 設(shè),問dx3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2是否D中項(xiàng)？符號(hào)?,, 求 f (x) 的最高次項(xiàng).,例6.,dx3y2z1,列4321,,＋.,by3x1z4,

15、行1234,,列2314.,－.,行1324,,ax1y3z2,列1132,,不是D中項(xiàng).,行1234,,＝－90x 4,,,,,(或:行1234,,列2134),2024/3/27,第一章 行列式,23,解: 根據(jù)定義,,D是一個(gè)4!＝24項(xiàng)的代數(shù)和.,這24項(xiàng)中除了acfh, adeh, bdeg, bcfg四項(xiàng)外,,其余項(xiàng)都至少含一個(gè)因子0,,因而等于零.,acfh對(duì)應(yīng)列排列是,1234,adeh對(duì)應(yīng)列排列是,1324,bdeg