化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法探討

1、1化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法探討劉墨德劉墨德（三明學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，福建三明365004）摘要：文章提供了四種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，即配方法、正交變換法、合同變換法、Jacobi方法.關(guān)鍵詞：對(duì)稱矩陣二次型正交變換合同變換SomeDiscussesofTurnQuadraticFmIntoStardFmLIUMode（DepartmentofMathematics&ComputerScinceSanmingCollegeSanmin

2、g365004China）AbstractAbstract：Thispaperprovidesfourkindsofmethodsfthetransfmingquadraticfmintostardfm，namelythemethodofcompletingsquare，thogonaltransfmationmethodcontragradienttransfmationmethodJacobimethod.Keywds:symmet

3、rymatrix；quadraticfm；thogonaltransfmation；contragradienttransfmation任何一個(gè)二次型都可以通過非退化的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形這個(gè)問題不僅在數(shù)學(xué)上而且在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中都是一個(gè)重要的問題.本文將探討化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法.1預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)定義定義1.11.1[1]設(shè)是數(shù)域系數(shù)屬于的個(gè)未知量的二次齊次多項(xiàng)式PPn12nxxx?22212111121211222

4、22()222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxxax?????????????稱為數(shù)域上的元二次型.1nijijijaxx???()ijjiaa?Pn任何一個(gè)二次型121()nnijijijfxxxaxx????()ijjiaa?(11)?都可以寫成如下形式1211111221()()nnnfxxxxaxaxax???????22112222()nnxaxaxax????，的系數(shù)可以確定一個(gè)階矩陣???1122()nnn

5、nnnxaxaxax????fn311111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy????????????????????????????????(13)?叫做由未知量到的一個(gè)線性變換.系數(shù)矩陣12nxxx?12nyyy?稱為變換的矩陣.如果那么稱式為非退化線111212122212nnnnnnccccccCccc????????????????????(13)?0C?(13)?性變

6、換.利用矩陣相乘與相等的概念變換可寫作(13)?或12nxxx??????????????111212122212nnnnnnccccccccc???????????????????12nyyy?????????????XCY?其中X12nxxx??????????????Y?12nyyy?????????????C?111212122212nnnnnnccccccccc???????????????????研究如何通過非退化線性變換將

7、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形XCY?12()nfxxx?是本文主旨.2221122nnyyy???????引理引理1.11.1[16]設(shè)是數(shù)域上一個(gè)元二次型.那么二次12()nfxxx?TXAX?Pn型經(jīng)非退化線性變換后可化為關(guān)于的二次型12()nfxxx?(13)?12nyyy?并且12()TngyyyYBY??TBCAC?定義定義1.51.5[1]設(shè)是數(shù)域上兩個(gè)階方陣如果存在上一個(gè)階可逆矩陣ABPnPnC使那么稱合同于.B?TCACAB引理引理