§5 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型

1、§5. 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型,在解析幾何中，為了便于研究二次曲線 的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換： 把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形,(1)的左邊是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，化標(biāo)準(zhǔn)型的過(guò)程就是通過(guò)變量的線性變換化簡(jiǎn)一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，使它只有平方項(xiàng)。這樣的問(wèn)題，在許多理論問(wèn)題或是實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到。,現(xiàn)在我們把這類問(wèn)題一般化，討論n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。,一、二次型概念,定義1：含有n個(gè)變量x1

2、 , x2 ,…xn的二次齊次函數(shù),其中,二次型的矩陣形式,其中,1）稱A為二次型 f 的矩陣，顯然 A=AT;2）A=(aij), 若 aij 為復(fù)數(shù)，稱 f 為復(fù)二次型；3) A=(aij), 若 aij 為實(shí)數(shù)，稱 f 為實(shí)二次型；4）稱為R(A)為二次型 f 的秩。,例 1. 把下面的二次型寫成矩陣形式；,二、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,定義9. 稱只含有平方項(xiàng)的二次型,為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型（或法式）。,所謂一般二次

3、型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，就是尋找一個(gè)可逆的線性變換：,定理9 任給可逆矩陣 C ，令 B=C TAC，若 A 為對(duì)稱矩陣，則 B 亦為對(duì)稱矩陣，且 R(B)=R(A)。,證： A為對(duì)稱矩陣，即有 A T=A，于是， B T =(C TAC) T=C TAT(C T) T=C TAC=B .故 B 為對(duì)稱矩陣. 再證 R(B)=R(A).因 B=C TAC, 故 R(B)

4、 ≤R(AC) ≤R(A).又因 A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)于是 R(B)=R(A).,這定理說(shuō)明：經(jīng)可逆變換 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ，C TAC 仍為對(duì)稱矩陣，且二次型的秩不變。要使二次型 f 經(jīng)過(guò)可逆變換 x=C y化成標(biāo)準(zhǔn)形，即使 f = x TAx,也就是要使 C TAC 成為對(duì)角陣，即， C TAC=∧，