高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間

1、６０第六章第六章線性空間線性空間11集合映射集合映射一授課內(nèi)容授課內(nèi)容:1集合映射二教學(xué)目的教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí)掌握集合映射的有關(guān)定義、運(yùn)算求和號(hào)與乘積號(hào)的定義.三教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):集合映射的有關(guān)定義.四教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn):集合映射的有關(guān)定義.五教學(xué)過程教學(xué)過程:1.1.集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算集合的映射集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射像與原像、單射、滿射、雙射)的概念的概念定義定義:(集合的交、并、差)設(shè)是集合與的公共元素所組成S

2、AB的集合成為與的交集交集記作；把和B中的元素合并在一起組ABBA?A成的集合成為與的并集并集記做；從集合中去掉屬于的那些ABBA?AB元素之后剩下的元素組成的集合成為與B的差集差集記做.ABA定義定義:(集合的映射)設(shè)、為集合.如果存在法則使得中任ABfA意元素在法則下對(duì)應(yīng)中唯一確定的元素(記做)則稱是到afB)(affA的一個(gè)映射映射記為B).(:afaBAf??如果則稱為在下的像稱為在下的原像原像.Bbaf??)(bafabfA的

3、所有元素在下的像構(gòu)成的的子集稱為在下的像記做即fBAf)(Af.??AaafAf??|)()(若都有則稱為單射單射.若都存在Aaa???)()(afaf?fBb??使得則稱為滿射滿射.如果既是單射又是滿射則稱為Aa?baf?)(fff雙射雙射或稱一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng).2.2.求和號(hào)與求積號(hào)求和號(hào)與求積號(hào)(1)(1)求和號(hào)與乘積號(hào)的定義求和號(hào)與乘積號(hào)的定義為了把加法和乘法表達(dá)得更簡(jiǎn)練我們引進(jìn)求和號(hào)和乘積號(hào).設(shè)給定某個(gè)數(shù)域上個(gè)數(shù)我們使用如下記號(hào)

4、:Knnaaa21?６２乘法“”且“”與“”滿足如下性質(zhì):?()KVV???1、加法交換律有；V???????????2、加法結(jié)合律有；V?????()()???????????3、存在“零元”即存在使得；0V?0V???????4、存在負(fù)元即存在使得；V???V??0????5、“1律”；1????6、數(shù)乘結(jié)合律都有；klKV????()()()klkllk?????7、分配律都有；klKV????()klkl??????8、分配律都

5、有kKV?????()kkk???????則稱V為K上的一個(gè)線性空間線性空間我們把線性空間中的元素稱為向量向量.注意:線性空間依賴于“”和“”的定義不光與集合V有關(guān).?(2)(2)零向量和負(fù)向量的唯一性零向量和負(fù)向量的唯一性向量減法的定義向量減法的定義線性空間的加法和數(shù)線性空間的加法和數(shù)乘運(yùn)算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)乘運(yùn)算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)命題命題4.14.1零元素唯一任意元素的負(fù)元素唯一.證明:設(shè)與均是零元素則由零元素的

6、性質(zhì)有；000000???設(shè)都是的負(fù)向量則V??????0()()0?????????????????????于是命題得證.由于負(fù)向量唯一我們用代表的負(fù)向量.???定義定義4.24.2(減法)我們定義二元運(yùn)算減法“”如下:定義為.???()????命題命題4.24.2線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質(zhì):1、加法滿足消去律；???????????2、可移項(xiàng)；???????????3、可以消因子且則；k???0k?1k???4、.00???