高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間

1、６０第六章第六章線性空間線性空間11集合映射集合映射一授課內(nèi)容授課內(nèi)容:1集合映射二教學目的教學目的:通過本節(jié)的學習掌握集合映射的有關定義、運算求和號與乘積號的定義.三教學重點教學重點:集合映射的有關定義.四教學難點教學難點:集合映射的有關定義.五教學過程教學過程:1.1.集合的運算集合的運算集合的映射集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射像與原像、單射、滿射、雙射)的概念的概念定義定義:(集合的交、并、差)設是集合與的公共元素所組成S

2、AB的集合成為與的交集交集記作；把和B中的元素合并在一起組ABBA?A成的集合成為與的并集并集記做；從集合中去掉屬于的那些ABBA?AB元素之后剩下的元素組成的集合成為與B的差集差集記做.ABA定義定義:(集合的映射)設、為集合.如果存在法則使得中任ABfA意元素在法則下對應中唯一確定的元素(記做)則稱是到afB)(affA的一個映射映射記為B).(:afaBAf??如果則稱為在下的像稱為在下的原像原像.Bbaf??)(bafabfA的

3、所有元素在下的像構成的的子集稱為在下的像記做即fBAf)(Af.??AaafAf??|)()(若都有則稱為單射單射.若都存在Aaa???)()(afaf?fBb??使得則稱為滿射滿射.如果既是單射又是滿射則稱為Aa?baf?)(fff雙射雙射或稱一一對應一一對應.2.2.求和號與求積號求和號與求積號(1)(1)求和號與乘積號的定義求和號與乘積號的定義為了把加法和乘法表達得更簡練我們引進求和號和乘積號.設給定某個數(shù)域上個數(shù)我們使用如下記號

4、:Knnaaa21?６２乘法“”且“”與“”滿足如下性質:?()KVV???1、加法交換律有；V???????????2、加法結合律有；V?????()()???????????3、存在“零元”即存在使得；0V?0V???????4、存在負元即存在使得；V???V??0????5、“1律”；1????6、數(shù)乘結合律都有；klKV????()()()klkllk?????7、分配律都有；klKV????()klkl??????8、分配律都

5、有kKV?????()kkk???????則稱V為K上的一個線性空間線性空間我們把線性空間中的元素稱為向量向量.注意:線性空間依賴于“”和“”的定義不光與集合V有關.?(2)(2)零向量和負向量的唯一性零向量和負向量的唯一性向量減法的定義向量減法的定義線性空間的加法和數(shù)線性空間的加法和數(shù)乘運算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質乘運算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質命題命題4.14.1零元素唯一任意元素的負元素唯一.證明:設與均是零元素則由零元素的

6、性質有；000000???設都是的負向量則V??????0()()0?????????????????????于是命題得證.由于負向量唯一我們用代表的負向量.???定義定義4.24.2(減法)我們定義二元運算減法“”如下:定義為.???()????命題命題4.24.2線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質:1、加法滿足消去律；???????????2、可移項；???????????3、可以消因子且則；k???0k?1k???4、.00???