第8章 向量代數與空間解析幾何

1、1第7章常微分方程常微分方程教學重點：教學重點：1.1.理解常微分方程的基本概念；理解常微分方程的基本概念；2.2.理解微分方程的解的概念，包括解、通解、初始條件和特解；理解微分方程的解的概念，包括解、通解、初始條件和特解；3.3.熟練掌握幾類一階微分方程的解法；熟練掌握幾類一階微分方程的解法；4.4.熟練掌握高階微分方程的降階法；熟練掌握高階微分方程的降階法；5.5.了解線性微分方程解的性質及解的結構定理；了解線性微分方程解的性質及解

2、的結構定理；6.6.熟練掌握二階常系數線性微分方程的解法熟練掌握二階常系數線性微分方程的解法7.7.能利用微分方程解決實際應用問題。能利用微分方程解決實際應用問題。教學難點：教學難點：1.1.能正確判斷判斷微分方程的類型；能正確判斷判斷微分方程的類型；2.2.用換元法求解微分方程；用換元法求解微分方程；3.3.微分方程的應用。微分方程的應用。說明：歐拉方程不作要求。說明：歐拉方程不作要求。7.17.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念

3、我們先看兩個實際問題.例7.17.1已知一曲線通過點且在該曲線上任一點處的切線斜率為(12)()Mxy2x求該曲線方程.解設所求曲線的方程為根據導數的幾何意義可知未知函數應()yfx?()yfx?滿足關系（7—1）d2dyxx?將上式的兩端積分得2dyxx??即（7—2）2yxC??其中是任意常數.此外未知函數還滿足C當時（7—3）1x?2y?將（7—3）代入（7—2）得即所求曲線方程為1C?（7—4）21yx??例7.27.2（自由落

4、體運動）一質量為的質點在重力作用下從高處由靜止開始下落m求質點在時刻的位移.t()st解根據牛頓第二定律未知函數應滿足關系式()st()mstmg???3定義定義7.37.3如果微分方程的解中含有任意常數且獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同這樣的解稱為微分方程的通解微分方程的通解.如果微分方程的通解中的任意常數被確定這種不含任意常數的解稱為微分方程的特解微分方程的特解用來確定微分方程通解中任意常數的條件稱為初始條件初始條件.例如例

5、7.1中式（7—2）和式（7—4）是微分方程（7—1）的解其中式（7—2）是微分方程（7—1）通解（7—4）是微分方程（7—1）的特解式（7—3）是微分方程方程（7—1）的初始條件.通常一階微分方程的初始條件為或()0Fxyy??00()yxy?寫成其中為已知數；二階微分方程的初始條件為00xxyy??00xy()0Fxyyy????或寫成0000()()yxyyxy???????0000()ddxxyxyyyx?????????其中為

6、已知數.000xyy?求微分方程滿足初始條件的特解的問題稱為初值問題.例7.7.3驗證函數（為常數）是方程2()sinyxCx??Cdcot2sin0dyyxxxx???的通解并求滿足初始條件的特解.π02y???????解要驗證一個函數是否為已知微分方程的解只需將函數代入微分方程看是否成為恒等式而2()sinyxCx??2d2sin()cosdyxxxCxx???把和代入方程得yddyx????22dcot2sin2sincossin