高等數學復旦大學出版社習題答案九

1、194習題九習題九1.求下曲線在給定點的切線和法平面方程：(1)x=asin2ty=bsintcostz=ccos2t點π4t?(2)x2y2z2=6xyz=0點M0(121)(3)y2=2mxz2=mx點M0(x0y0z0).解：2sincoscos22cossinxattybtzctt???????曲線在點的切向量為π4t???πππ0444Txyzac??????????????????????????????當時，π4t?222

2、abcxyz???切線方程為.2220abcxyzac??????法平面方程為0()0.222abcacxyz?????????????????????????即.22022acaxcz????（2）聯立方程組22260xyzxyz?????????它確定了函數y=y(x)z=z(x)，方程組兩邊對x求導，得dd2220dddd10ddyzxyzxxyzxx???????????????解得ddddyzxzxyxyzxyz??????1

3、96故切線方程為π11222.112xyz??????法平面方程為π112(22)02xyz???????即.π2042xyz???????????3.證明：螺旋線x=acosty=asintz=bt的切線與z軸形成定角。證明：sincos.xatyatzb???????螺旋線的切向量為.sincosTatatb????與z軸同向的單位向量為001k??兩向量的夾角余弦為22222cos.(sin)(cos)bbatatbab?????

4、??為一定值。故螺旋線的切線與z軸形成定角。4.指出曲面z=xy上何處的法線垂直于平面x2yz=6并求出該點的法線方程與切平面方程。解：zx=yzy=x.曲面法向量為.??11nyx????已知平面法向量為.??2121n?????且∥，故有1n??2n???112yx????解得x=2y=1此時，z=2.即（212）處曲面的法線垂直于平面，且在該點處的法線方程為.212121xyz???????切平面方程為1(x2)2(y1)(z2)