第十章 統(tǒng)計(jì)與概率10-6排列與組合(理

1、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的理解和應(yīng)用．2．排列與組合的定義、計(jì)算公式，組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)．難點(diǎn)：1.如何區(qū)分實(shí)際問題中的“類”與“步”．2．組合數(shù)的性質(zhì)和有限制條件的排列組合問題．,知識(shí)歸納1．分類加法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理

2、做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．,(2)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)①Cnm＝Cnn－m；?、贑n＋1m＝Cnm＋Cnm－1.誤區(qū)警示1．正確區(qū)分“分類”與“分步”，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，使分類后不重、不漏．2．正確區(qū)分是組合問題還是排列問題，要把“定序”和“有序”區(qū)分

3、開來．3．正確區(qū)分分堆問題和分配問題,一、“分類”與“分步”，應(yīng)該如何理解與區(qū)分(1)分類：“做一件事，完成它可以有n類辦法”．每一類辦法中的每一種方法都能將這件事完成．分類時(shí)，首先據(jù)問題特點(diǎn)確定一個(gè)合理的分類標(biāo)準(zhǔn)，在這個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”下分類能夠做到：①完成這件事的任何一種方法必須屬于其中的某一類．(不漏)②分別在不同兩類中的兩種方法不能相同．(不重復(fù)),(2)分步：“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟”，這是說完成這件事的任何一種方法

4、，都要分成n個(gè)步驟．必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算最終完成．所以區(qū)分一種分法是分類還是分步就看這種分法中的一種方法能否完成這件事情．,二、排列、組合問題的類型及解答策略排列、組合問題，通常都是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在試卷上，它聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)有趣；但題型多樣，解法靈活．實(shí)踐證明，備考有效的方法是將題型與解法歸類，識(shí)別模式、熟練運(yùn)用．下面介紹常見排列組合問題的解答策略．(1)相鄰元素捆綁法．在解決某幾個(gè)元素必須相鄰問

5、題時(shí)，可整體考慮將相鄰元素視為一個(gè)元素參與排列．,[例1]　(2010·重慶理，9)某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有(　　)A．504種　　　　　　　B．960種C．1008種 D．1108種分析：甲、乙相鄰看作一個(gè)元素與其它元素一塊排，由于丙不排在第1天丁不排在第7天，因此按甲乙的排位

6、進(jìn)行分類．,解析：甲、乙相鄰的所有方案有A22A66＝1440種；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一樣多，各有：A22A55＝240種，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有A22A44＝48種，故符合題設(shè)要求的不同安排方案有：1440－2×240＋48＝1008種，故選C.答案：C,(2)相離問題插空法．相離問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它隔開，此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元

7、素插入到它們的空隙及兩端位置，故稱“插空法”．[例2]　(2010·北京理，4)8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為(　　)A．A88A92 B．A88C92C．A88A72 D．A88C72,解析：將所有學(xué)生先排列，有A88種排法，然后將兩位老師插入9個(gè)空中，共有A92種排法，因此一共有A88A92種排法．答案：A,(3)定序問題屬組合．排列時(shí)，如果限定某些元素或所有元素保持一定順序

8、稱為定序問題，定序的元素屬組合問題．[例3]　信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是________．,解法2：定序問題屬組合．五面旗占五個(gè)位置，從中選取兩個(gè)位置掛白旗，其余位置則掛紅旗．有C52＝10種方法．答案：10(4)定元、定位優(yōu)先排．在有限制條件的排列、組合問題中，有時(shí)限定某元素必須排在某位置，某元素不能排在某位置；有時(shí)限定某位置只能排(或不能排)

9、某元素．這種特殊元素(位置)解題時(shí)要優(yōu)先考慮．,[例4]　(2010·山東理)某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　)A．36種 B．42種C．48種 D．54種分析：丙占最后一位不必考慮．“甲在前兩位，乙不在第一位”，故應(yīng)以甲為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類．,解析：若甲在第一位有A44＝24種方法；若甲在第

10、二位有C31A33＝18種方法，故共有18＋24＝42種方法．答案：B(5)至多、至少間接法．含“至多”、“至少”的排列組合問題，是需要分類問題．可用間接法，即排除法，但僅適用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況．,[例5]　(09·湖南)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為(　　)A．85　　 　B．56　　 　C．49　　 　D．28解析：甲、乙、丙都沒

11、入選有C73＝35種，丙沒有入選的有C93＝84種，故甲、乙至少有1人入選而丙沒有入選的不同選法種數(shù)有84－35＝49(種)．答案：C,(6)選排問題先選后排法．對于排列組合的混合應(yīng)用題，一般解法是先選(組合)后排(排列)．[例6]　四個(gè)不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有________種(用數(shù)字作答)．解析：先從四個(gè)小球中取兩個(gè)放在一起，有C42種不同的取法，再把取出的兩個(gè)小球與另外兩個(gè)小

12、球看作三堆，并分別放入四個(gè)盒子中的三個(gè)盒子中，有A43種不同的放法，據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有C42·A43＝144種不同的放法．答案：144,(7)部分符合條件淘汰法．在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求．[例7]　過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有(　　)A．18對 B．24對 C．30對 D．36對解析：三棱柱共6個(gè)頂點(diǎn)，由此6個(gè)頂點(diǎn)可組成C64－3＝1

13、2個(gè)不同四面體，而每個(gè)四面體有三對異面直線則共有12×3＝36對．答案：D,(8)數(shù)字問題首位不能為0[例8]　(09·陜西)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A．300 B．216 C．180 D．162解析：分兩類：①選0.從其余2個(gè)偶數(shù)中選1個(gè)，從3個(gè)奇數(shù)中選2個(gè)，首位不排0，故有C21C32C31A33＝108(種)；,②

14、不選0.從3個(gè)奇數(shù)中選2個(gè)與另2個(gè)偶數(shù)，排成四位數(shù)，共有排法C32A44＝72(種)．∴共有108＋72＝180(種)，故選C.答案：C,三、建模思想[例9]　一只電子螞蟻在如圖所示的網(wǎng)格線上由原點(diǎn)O(0,0)出發(fā)，沿向上或向右方向爬至點(diǎn)(m，n)，(m，n∈N*)，記可能的爬行方法總數(shù)為f(m，n)，則f(m，n)＝________.,解析：從原點(diǎn)O出發(fā)，只能向上或向右方向爬行，記向上為1，向右為0，則爬到點(diǎn)(m，n)需m個(gè)0和

15、n個(gè)1.這樣爬行方法總數(shù)f(m，n)是m個(gè)0和n個(gè)1的不同排列方法數(shù)．m個(gè)0和n個(gè)1共占m＋n個(gè)位置，只要從中選取m個(gè)放0即可．∴f(m，n)＝Cm＋nm.答案：Cm＋nm點(diǎn)評：①例如f(3,4)＝C73其中0010111表示從原點(diǎn)出發(fā)后，沿右右上右上上上的路徑爬行．②抽象建模后就是一個(gè)含相同數(shù)字的純粹排列組合問題．,[例10]　方程x＋y＋z＝8的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為________．解析：把x、y、z分別看作是x個(gè)1，y個(gè)1和

16、z個(gè)1，則共有8個(gè)1，問題抽象為8個(gè)1和兩個(gè)十號的一個(gè)排列問題．由于x、y、z非負(fù)，故允許十號相鄰，如11＋＋111111表示x＝2，y＝0，z＝6，＋11111111＋表示x＝0，y＝8，z＝0等等，∴不同排法總數(shù)為從10個(gè)位置中選取2個(gè)放十號，∴方程的非負(fù)整數(shù)解共有C102＝45個(gè)．答案：45,[例11]　一條街道上共有12盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，決定每天晚上十點(diǎn)熄滅其中的4盞，并且不能熄滅相鄰兩盞也不能熄滅兩頭兩盞，

17、問不同熄燈方法有多少種．解析：記熄滅的燈為0，亮燈為1，則問題是4個(gè)0和8個(gè)1的一個(gè)排列，并且要求0不相鄰，且不排在兩端，故先將1排好，在8個(gè)1形成的7個(gè)空中，選取4個(gè)插入0，共有方法數(shù)C74＝35種．點(diǎn)評：實(shí)際解題中，先找出符合題設(shè)條件的一種情形，然后選取一種替代方案，注意是否相鄰、相間等受限條件，然后確定有無順序是排列還是組合，再去求解．,[例12]　如圖，從上往下讀(不能跳讀)構(gòu)成句子“構(gòu)建和諧社會(huì)，創(chuàng)美好未來”的不同讀法種數(shù)

18、是(　　)構(gòu)建　建和　和　和諧　諧　諧　諧社　社　社　社　社會(huì)　會(huì)　會(huì)　會(huì)　會(huì)　會(huì)創(chuàng)　創(chuàng)　創(chuàng)　創(chuàng)　創(chuàng)美　美　美　美好　好　好未　未來,A．250 B．240 C．252 D．300解析：要組成題設(shè)中的句子，則每行讀一字，不能跳讀．每一種讀法須10步完成(從上一個(gè)字到下一個(gè)字為一步)，其中5步是從左上角到右下角方向讀的，故共有不同讀法C105＝252種．答案：C,四、枚舉法[例13]　如果直線a與b

19、異面，則稱a與b為一對異面直線，六棱錐的側(cè)棱與底邊共12條棱所在的直線中，異面直線共有________對．解析：六棱錐的側(cè)棱都相交，底面六條邊所在直線都共面，故異面直線只可能是側(cè)棱與底面上的邊．,考察PA與底面六條邊所在直線可用枚舉法列出所有異面直線(PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE)，(PA，EF)共四對．同理與其它側(cè)棱異面的底邊也各有4條，故共有4×6＝24對．答案：24,[例1]　若直線方程ax＋by＝0中

20、的a、b可以從0,1,2,3,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線一共有________條．分析：∵方程ax＋by＝0表示直線，∴a與b至多有一個(gè)為0，故按a、b中是否含0進(jìn)行分類．,解析：分兩類：第一類，a、b均不為零，a、b的取值共有A42＝12種方法．第二類：a、b中有一個(gè)為0，則不同的直線僅有兩條x＝0和y＝0.∴共有不同直線14條．答案：14,(2010·重慶一中)高三某學(xué)生計(jì)劃報(bào)名參加某

21、7所高校中的4所學(xué)校的自主招生考試，其中僅甲、乙兩所學(xué)校的考試時(shí)間相同，因此該學(xué)生不能同時(shí)報(bào)考這兩所學(xué)校，那么該學(xué)生不同的報(bào)考方法有(　　)種．(　　)A．20 B．25 C．30 D．35分析：按該學(xué)生報(bào)考的學(xué)校中是否含有甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行分類．,解析：報(bào)考學(xué)校甲的方法有C53，報(bào)考學(xué)校乙的方法有C53，甲、乙都不報(bào)的方法有C54，∴共有2C53＋C54＝25種．答案：B,[例2]　如圖所示，用五種不同的顏色

22、分別給A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有(　　)A．180種 B．120種C．96種 D．60種,分析：完成涂色任務(wù)可以分成四個(gè)步驟，第一步給A區(qū)域涂色，第二、三、四步依次給B、C、D區(qū)域涂色，四個(gè)步驟全完成，涂色任務(wù)才完成．解析：按區(qū)域分四步：第一步A區(qū)域有5種顏色可選；第二步B區(qū)域有4種顏色可選；第三步C區(qū)域有3種顏色可選；第四步D區(qū)域也有3種顏色可

23、選．由分步計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3×3＝180(種)．答案：A,點(diǎn)評：相鄰區(qū)域必須涂不同色，不相鄰區(qū)域可以涂同色，故四個(gè)區(qū)域只有A與D可涂相同顏色，因此可按使用的顏色種類進(jìn)行分類，用四色(A54種)和用三色(A53種)．,(2010·山東日照模考)某校園有一橢圓型花壇，分成如圖四塊種花，現(xiàn)有4種不同顏色的花可供選擇，要求每塊地只能種一種顏色，且有公共邊界的兩塊不能種同一種顏色，則不同的種植方法共

24、有(　　),A．48種 B．36種 C．30種 D．24種解析：解法1：由于相鄰兩塊不能種同一種顏色，故至少應(yīng)當(dāng)用三種顏色，故分兩類．第一類，用4色有A44種，第二類，用3色有C43A33種，故共有A44＋C43A33＝48種．解法2：1處有4種顏色可選，2處有3種顏色可選，3處有2種顏色可選，4種也有2種顏色可選，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×3×2×2＝48種．答案：A,[例3]　

25、(09·全國Ⅰ)甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)．若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有(　　)A．150種 B．180種 C．300種 D．345種分析：選出的4人中恰有1名女同學(xué)，我們就圍繞這名女同學(xué)是哪個(gè)組來的展開討論．解析：若這名女同學(xué)是甲組的，則選法有C31C51C62種，,若這名女同學(xué)是乙組的，則選法有C52C21C61種，∴符

26、合條件的選法共有C31C51C62＋C52C21C61＝345種．∴選D.答案：D,(2010·全國卷Ⅰ理，6)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(　　)A．30種 B．35種 C．42種 D．48種解析：可分以下2種情況：(1)A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C31C42種不同的選法；(2)A類選修課選2門，B類選修課選1門，

27、有C32C41種不同的選法．所以不同的選法共有C31C42＋C32C41＝18＋12＝30種．答案：A,點(diǎn)評：解答排列組合問題，審題時(shí)一定要抓住其關(guān)鍵語句(即題眼)，本題中“兩類課程中各至少一門”就是題眼，對此語句的分析，產(chǎn)生分類標(biāo)準(zhǔn)．請?jiān)僮鱿骂}，注意先找出題眼：(2010·湖南考試院調(diào)研)從5位男生，4位女生中選派4位代表參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中至少有兩位男生，且至少有1位女生的選法共有(　　)A．80種 B．100種

28、 C．120種 D．240種,解析：包括兩種情形：一是2男2女有C52·C42種方法，二是3男1女有C53C41種方法，∴共有C52C42＋C53C41＝100種方法，故答案為B.,[例4]　從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有(　　)A．300種 B．240種 C．144種 D．

29、96種,解析：解法1：分類計(jì)數(shù)．①不選甲、乙，則N1＝A44＝24.②只選甲，則N2＝C43C31A33＝72.③只選乙，則N3＝C43C31A33＝72.④選甲、乙，則N4＝C42A32A22＝72.∴N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240.解法2：一類無甲、乙有A44種，二類甲、乙有一人參加有C21C31A43，三類甲乙都參加有C42C21A33，共有240種，選B,解法3：甲、乙兩人不去巴黎，從另外四人中選一人有C41種，

30、剩余5人選3人分別去三個(gè)城市有A53種，共C41A53＝240種．解法4：無限制條件下共有方案C64A44種，其中甲或乙一定去巴黎的方案有2C53A33，∴甲、乙不去巴黎的方案有C64A44－2C53A33＝240種．解法5：間接法．從6人中選4人去四個(gè)城市的方案有A64其中甲去巴黎的方案有A53種，乙去巴黎的方案有A53種，共有：A64－A53－A53＝240種．答案：B,總結(jié)評述：顯然當(dāng)所求事件的分類數(shù)過多時(shí)，用間接法較簡捷

31、．對于排列、組合這個(gè)考點(diǎn)，重點(diǎn)是要分清是排列還是組合，是分類還是分步．應(yīng)重點(diǎn)訓(xùn)練發(fā)散思維，對同一道題從不同角度尋求解法．,一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有(　　)A．24種 B．36種 C．48種 D．72種,解析：①甲照看第一道工序，則第四道工序只能安

32、排丙，不同安排方法有A42種．②甲照看第四道工序，則同上可得有A42種．③甲不照看第一和第四道工序，則第一道工序只能由乙，第四道只能由丙照看，共有不同照看方法A42種，∴共有3A42＝36種．∴選B.答案：B,[例5]　有6本不同的書．(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？(2)分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？(4)分給甲、乙、

33、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分配方法？(5)分成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多 少種不同的分堆方法？,(6)擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？解析：(1)在6本書中，先取2本給甲，再從剩下4本書中取2本給乙，最后2本給丙，共有C62C42C22＝90(種)．(3)從6本書中，先取1本作一堆，再在剩下的5本中取2本作一堆，最后3本作一堆，共有C61C52＝60(種)．,某企業(yè)要從其下屬

34、6個(gè)工廠中抽調(diào)8名工程技術(shù)人員組成課題攻關(guān)小組，每廠至少調(diào)1人，則這8個(gè)名額的分配方案共有(　　)A．15種 B．21種 C．30種 D．36種,解析：由題意本題分兩類辦法完成．第一類從6個(gè)工廠中選一個(gè)工廠抽調(diào)3名工程技術(shù)人員，其它5個(gè)工廠各抽1人，有C61種方法；第二類從6個(gè)工廠中選兩個(gè)工廠各抽調(diào)2名，其他4個(gè)工廠各抽1人，有C62種方法，8個(gè)名額的分配方案共有C61＋C62＝21種．答案：B點(diǎn)評：可用建模法解

35、．8個(gè)名額可視作8個(gè)0,6個(gè)廠每廠至少調(diào)1人可看作將這8個(gè)0分成6堆，每堆至少1個(gè)，故從7個(gè)空中選5個(gè)插入1，將它們分開，∴有分配方案C75＝21種.,[例6]　(09·天津)用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答)．分析：數(shù)字問題首先看是否有0,0不能在首位，其次看有無其它限制條件(如奇數(shù)，偶數(shù)，能被某數(shù)整除的數(shù)等)，本題

36、中要求“個(gè)位、十位、百位上數(shù)字之和為偶數(shù)”，因此解決本題應(yīng)從這兒著手．,解析：要使個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)，可以分為兩種情況：(1)個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字均為偶數(shù)，此時(shí)一種情形是四個(gè)數(shù)字全為偶數(shù)，有A31·A33(或A44－A33)個(gè)；另一種情形是首位為奇數(shù)，其余三位為偶數(shù)，有A31·A43個(gè)，∴共有A31A33＋A31A43＝90個(gè)；(2)個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字有兩個(gè)是奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)，此時(shí)包括兩種情況

37、．一種情況是只含一個(gè)偶數(shù)，有C41A31A33個(gè)，另一種情況是有兩個(gè)偶數(shù)，不含0時(shí)，有C32·A32·A32個(gè)，含0時(shí)，有C32A32A32個(gè)，∴共有C41A31A33＋C32A32A32＋C32A32A31＝234個(gè)，∴總共有90＋234＝324個(gè)．答案：324,(09·北京)用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A．324 B．328 C．360 D．6

38、48解析：利用分類計(jì)數(shù)原理，共分兩類：(1)0作個(gè)位，共A92＝72個(gè)偶數(shù)；(2)0不作個(gè)位，共A41·A81·A81＝256個(gè)偶數(shù)，共計(jì)72＋256＝328個(gè)偶數(shù)，故選B.答案：B,解析：由題意知：當(dāng)m＝1時(shí)，n可等于2,3，…，8共對應(yīng)7個(gè)不同的橢圓；當(dāng)m＝2時(shí)，n可等于1,3，…，8共對應(yīng)7個(gè)不同的橢圓．同理可得：當(dāng)m＝3,4,5,6,7,8時(shí)各分別對應(yīng)7個(gè)不同的橢圓．當(dāng)m＝9時(shí)，n可等于1,2,3，

39、…，8共對應(yīng)8個(gè)不同的橢圓，同理，當(dāng)m＝10時(shí)，對應(yīng)8個(gè)不同的橢圓．綜上所述，共7×8＋8×2＝72個(gè)．故選B.答案：B,一、選擇題1．(2010·湖北黃岡)從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人必須既有男生又有女生，則不同的選法共有(　　)A．34種 B．35種 C．120種 D．140種[答案]　A[解析]　4人中既有男生又有女生包括：3男1女，2男2女和1男3

40、女三種情形，∴共有不同選法C43C31＋C42C32＋C41C33＝34種．,[點(diǎn)評]　可運(yùn)用間接法求解，7人中有4男3女，選取的4人除去4個(gè)全部為男生外，其余選法都是既有男生，也有女生，∴共有不同選法，C74－C44＝35－1＝34種．,2．(2010·北京順義一中模考)一次演出，原計(jì)劃要排4個(gè)節(jié)目，因臨時(shí)有變化，擬再添加2個(gè)小品節(jié)目，若保持原有4個(gè)節(jié)目的相對順序不變，則這6個(gè)節(jié)目不同的排列方法有(　　)A．30種

41、B．25種 C．24種 D．20種[答案]　A,[解析]　原來4個(gè)節(jié)目的相對順序不變，故4個(gè)節(jié)目形成5個(gè)空檔，將這兩個(gè)節(jié)目插入．(一)當(dāng)兩節(jié)目不相鄰時(shí)，有A52＝20種選法，(二)當(dāng)兩節(jié)目相鄰時(shí)，有A22·C51＝10種排法，∴共有20＋10＝30種不同排法．,[答案]　B,二、填空題4．從－3、－2、－1、0、1、2、3、4這8個(gè)數(shù)中任選3個(gè)不同的數(shù)組成二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a、b、c，則所確定的

42、拋物線中，坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物線弧內(nèi)部的概率為________．,[答案]　C[解析]　如圖，由于每行每列都有一塊試驗(yàn)田種植水稻，∴當(dāng)1處種植水稻時(shí)，只能是(1,5,9)或(1,6,8)，依此可列出所有可能種植方法為：(1,5,9)，(1,6,8)，(2,6,7)，(2,4,9)，(3,5,7)，(3,4,8)，共6種，又從9塊試驗(yàn)田中選3塊的選法為C93，,2．(2010·河北邯鄲市?？?在冬奧會(huì)比賽中，要從4名男運(yùn)動(dòng)員和5名女

43、運(yùn)動(dòng)員中，任選3人參加某項(xiàng)比賽，其中男女運(yùn)動(dòng)員至少各有一名的不同選法共有(　　)A．140種 B．80種C．70種 D．35種[答案]　C[解析]　選出的3人中包括1男2女和1女2男兩種情形，故不同選法共有C41·C52＋C42C51＝40＋30＝70種．,3．(2010·廣西柳州市?？?將甲乙兩人在內(nèi)的7名醫(yī)生分成三個(gè)醫(yī)療小組，一組3人，另兩組每組各2人，則甲乙不分在同一組的分法有(　　)A．

44、80種 B．90種 C．25種 D．120種[答案]　A,4．顯示屏有一排7個(gè)小孔，每個(gè)小孔可顯示0或1，若每次顯示其中3個(gè)孔，但相鄰兩孔不能同時(shí)顯示，則該顯示屏能顯示信號的種數(shù)共有(　　)A．10種 B．48種 C．60種 D．80種[答案]　D[解析]　注意到顯示的兩孔不能相鄰，故采用“插空法”：先把不顯示的4個(gè)孔排好，元素相同，只有一種排法，再將顯示的3個(gè)孔插入，有5個(gè)位置可以選擇，

45、共有C53＝10種不同排法，又因?yàn)轱@示的每個(gè)小孔可以產(chǎn)生兩種不同信號，所以共產(chǎn)生10×23＝80種信號．,5．(2010·全國Ⅱ)將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有(　　)A．12種 B．18種 C．36種 D．54種[答案]　B[解析]　先從三個(gè)信封中選取一個(gè)放數(shù)字1,2，有C31種選法，再從3,

46、4,5,6中選取兩個(gè)放入一個(gè)信封中，則剩下的兩個(gè)數(shù)字在另一個(gè)信封中，有放法C42種，∴共有不同放法，C31·C42＝18種．,[答案]　C,7．定義整數(shù)集合A與B的運(yùn)算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B，且x＋y為偶數(shù)}，若A＝{－1,0,1}，B＝{1,2,3,4}，則集合A*B中的元素個(gè)數(shù)為(　　)A．12 B．6 C．4 D．2[答案]　B[解析]　x＝－1時(shí)，y＝1,3；x＝0時(shí)

47、，y＝2,4；x＝1時(shí)，y＝1,3.故選B.,8．(2010·延邊州、河北唐山質(zhì)檢)將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場館參加接待工作，每個(gè)場館至少分配一名志愿者的方案數(shù)為(　　)A．540　　　B．300　　　C．180　　　D．150[答案]　D,9．(2010·北京市西城區(qū)抽檢)從3名男同學(xué)1名女同學(xué)中選出3人，分別擔(dān)任班長、體委、宣委職務(wù)，其中女同學(xué)不能擔(dān)任體委職務(wù)，那么不同的任職方案共有____

48、____種．(用數(shù)字作答)[答案]　18[解析]　按選出的3人中有無女同學(xué)分類：第一類，3名全是男同學(xué)，有A33＝6種，第二類，三人中包括這位女同學(xué)，有2×A32＝12種，∴共有6＋12＝18種．,10．(2010·天津南開區(qū)模擬)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被3整除的四位數(shù)有________個(gè)．[答案]　96[解析]　能被3整數(shù)的數(shù)的各位數(shù)字的和能被3整除，∴四個(gè)數(shù)字的組成分

49、別有以下幾種情形需考慮，1＋2,1＋5,2＋4,4＋5，故在四個(gè)數(shù)字中必含有1,2,4,5中的兩個(gè)或四個(gè)，第一類：四個(gè)數(shù)字為1,2,4,5，共有A44＝24個(gè)，,第二類：四個(gè)數(shù)字1,2,4,5中有一對，其余兩個(gè)為0和3，共有4×3×A33＝72個(gè)，∴共有72＋24＝96個(gè)．11．(2010·甘肅省質(zhì)檢)有3輛汽車、6名售票員、3名司機(jī)，每輛汽車配1名司機(jī)2名售票員就可以工作，那么所有不同的安排方法種數(shù)是

50、________(用數(shù)字作答)．[答案]　540[解析]　由題意知，安排司機(jī)有A33種方法，安排售票員有C62C42種方法，由乘法原理知，共有不同安排方法A33C62C42＝540種．,12．某班由21名女生和39名男生組成現(xiàn)要組織20名學(xué)生外出參觀，若這20名學(xué)生按性別分層抽樣產(chǎn)生，則參觀團(tuán)的組成方法共有________種．[答案]　C277·C3913[解析]　抽樣比20(21＋39)＝13，故女生抽7人，男

51、生抽13人參加，∴共有方法C217·C3913種．,13．四面體ABCD的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)．(1)設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它9點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有______種？(2)在這10點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有______種？,[答案]　(1)33　(2)141[解析]　(1)如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的三個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面，共有3C53種取

52、法．含頂點(diǎn)A的棱有三條，每條棱上有3個(gè)點(diǎn)，它們與所對棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法．,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知，和點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法共有3C53＋3＝33(種)．(2)取出的4點(diǎn)不共面比取出的4點(diǎn)共面的情形要復(fù)雜，故采用間接法：先不加限制任取4點(diǎn)有C104種取法．若取出的4點(diǎn)共面有三類：第1類：從四面體的同一個(gè)面上的6點(diǎn)取出4點(diǎn)共面，有4C64種取法；第2類：每條棱上的3個(gè)點(diǎn)與所對棱的中點(diǎn)共面，共6種取法；,第3類：從6條棱的中點(diǎn)中取4