2018山東科技大學(xué)研究生入學(xué)考試849概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)真題

1、一、（20分）若每蠶產(chǎn)卵的數(shù)量?服從參數(shù)為?的泊松分布，每只卵變?yōu)槌上x(chóng)的概率為p，且各卵是否變?yōu)槌上x(chóng)是相互獨(dú)立的，記?為每蠶養(yǎng)出成蟲(chóng)的數(shù)量。1.求?的概率分布；2.求=(01)kk???的條件下?的條件概率分布。二、（20分）設(shè)隨機(jī)變量~(01)U?，在給定(01)xx????時(shí)，?的條件密度函數(shù)為：|01(|)0xyxfyxelse????????1.求()??的聯(lián)合密度函數(shù)；2.求?的密度函數(shù)；3.求P???；4.求數(shù)學(xué)期望12(2

2、)E???。三、（30分）設(shè)二維隨機(jī)變量()XY的概率密度為(1)||1||1()0kxyyxfxy???????其它1.求常數(shù)k；2.求(0)PXY??；3.問(wèn)XY與是否獨(dú)立？為什么？4.求2X的密度函數(shù)；5.求XY與的相關(guān)系數(shù)()XY?；四、（20分）1.設(shè)隨機(jī)變量序列n?同分布于參數(shù)為?的泊松分布，且當(dāng)||1ij??時(shí)有cov()0ij???，試證明序列n?服從大數(shù)定律。2.某城市出租車(chē)公司有2000輛的士參加保險(xiǎn)，每一輛的士在一

3、年里出事故的概率為0.005，參加保險(xiǎn)的的士每年交500元的保險(xiǎn)費(fèi)若出事故，保險(xiǎn)公司最多賠償50000元，試?yán)弥行臉O限定理近似計(jì)算保險(xiǎn)公司一年賺錢(qián)不小于500000元的概率。五、（20分）設(shè)12345?????是來(lái)自總體2(0)N?的樣本。1.212??服從什么分布？求出212??的密度函數(shù)；2.統(tǒng)計(jì)量2121212()()T???????服從什么分布？為什么？3.12212||T???????服從什么分布？為什么？4.求常數(shù)c使得1

4、2222345()c????????服從t分布，并確定其自由度。六、（20分）設(shè)總體X服從區(qū)間[1]?上的均勻分布，1??未知，12nXXX?是來(lái)自X的樣本。1.求?的矩估計(jì)1??和極大似然估計(jì)2??；2.上述兩個(gè)估計(jì)量是否為無(wú)偏估計(jì)，若不是請(qǐng)修正為無(wú)偏估計(jì)；3.證明1??為?的相合（一致）估計(jì)；4.試問(wèn)2中的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量哪一個(gè)更有效？七、（20分）設(shè)某次考試的考生成績(jī)服從正態(tài)分布2()N??，從中隨機(jī)地抽取36位考生的成績(jī)1236(

5、)xxxL，算得平均成績(jī)66.5x?分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差??362111535iiSxx?????分。1問(wèn)在顯著性水平0.05下，是否可認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)不高于65分？并給出檢驗(yàn)過(guò)程；2在置信水平95.01???下，求2?的置信區(qū)間及單側(cè)置信下限。附注（下側(cè)分位數(shù)）：0.950.950.9750.975(16)1.746(15)1.753(15)2.132(16)2.120tttt????22220.950.950.9750.97