matlab學習 第5章 matlab數(shù)值計算

1、第5章　MATLAB數(shù)值計算,,目錄,,在科學和工程應用中，往往要進行大量的數(shù)學計算。這些運算一般來說難以用手工精確和快捷地進行，而要借助計算機編制相應的程序做近似計算并不斷更新和擴充。MATLAB的數(shù)值分析功能十分強大中，本章主要講述MAYLAB在函數(shù)、插值和曲線似合分析、微積分和線性方程系統(tǒng)方面的應用。,5.1 特殊矩陣5.2 矩陣分析5.3 矩陣分解與線性方程組求解5.4 數(shù)據(jù)處理與多項式計算5.5 傅立葉分析5.6 數(shù)

2、值微積分5.7 常微分方程的數(shù)值求解5.8 非線性方程的數(shù)值求解5.9 稀疏矩陣,5.1 特殊矩陣,5.1.1對角陣與三角陣1. 矩陣的對角元素(1)提取矩陣的對角線元素 設A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。 diag(A)函數(shù)還有更進一步的形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對角線的元素。,,目錄,,>>A=[1

3、7,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]A = 17 0 1 0 15 23 5 7 14 16 4 0 13 0 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2

4、 19>> diag(A)ans = 17 5 13 21 19,>> diag(A,3)ans = 0 16,(2)構(gòu)造對角矩陣 設V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個m×m對角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素。 diag(V)函數(shù)也有更進一步的形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個n×

5、n(n=m+)對角陣，其第k條對角線的元素即為向量V的元素。,>> V=[1 2 3 4 5];>> diag(V)ans = 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0

6、 0 5,diag(V,2)ans = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0

7、0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,,例5.1 先建立5×5矩陣A，然后將A的第1行元素乘以1，第2行乘以2，…，第5行乘以5。,,目錄,,ans = 17 0 1 0 15 46 10

8、 14 28 32 12 0 39 0 66 40 48 76 84 12 55 90 125 10 95,命令如下：A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];D=diag([1,2,3,4,5]);D*A,,2. 矩陣的三

9、角陣 (1)下三角矩陣 求矩陣A的下三角陣的MATLAB函數(shù)是tril(A) tril(A)函數(shù)也有更進一步的一種形式tril(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對角線以下的元素。 (2)上三角矩陣 在MATLAB中，提取矩陣A的上三角矩陣的函數(shù)是triu(A)和triu(A,k)，其用法與提取下三角矩陣的函數(shù)tril(A)和tril(A,k)完全相同。,,目錄,,>> tri

10、l(A)ans = 17 0 0 0 0 23 5 0 0 0 4 0 13 0 0 10 12 19 21 0 11 18 25 2 19>> triu(A)ans = 17 0 1 0

11、 15 0 5 7 14 16 0 0 13 0 22 0 0 0 21 3 0 0 0 0 19,A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]A = 17

12、 0 1 0 15 23 5 7 14 16 4 0 13 0 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 19,>> tril(A,1)ans = 17 0 0 0 0 23

13、5 7 0 0 4 0 13 0 0 10 12 19 21 3 11 18 25 2 19,,5.1.2 特殊矩陣的生成 1. 魔方矩陣　魔方矩陣是n*n元素所構(gòu)成的方陣，其每個元素由不同的1~n2的整數(shù)所組成，它的每行、每列以及對角線元素之和均相等，并等于n(1+n2)/2.函數(shù)格式為

14、　　　　　　　　magic(n),例5.2 將101~125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。 命令如下： B=100+magic(5),>> B=100+magic(5)B = 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 104 106 113 120 122 11

15、0 112 119 121 103 111 118 125 102 109,>> sum(B(1,:))ans = 565>> sum(B(2,:))ans = 565>> sum(B(:,4))ans = 565>> B(1,1)+B(2,2)+B(3,3)+B(4,4)+B(5,5)ans = 565,2. 范

16、得蒙矩陣 函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎向量的范得蒙矩陣。,VANDER Vandermonde matrix. A = VANDER(V) returns the Vandermonde matrix whose columns are powers of the vector V, that is A(i,j) = v(i)^(n-j).,>> p=[1 2 3 4 5]p =

17、 1 2 3 4 5>> A = VANDER(p),A = 1 1 1 1 1 16 8 4 2 1 81 27 9 3 1 256 64 16 4 1 625 125 25 5 1

18、,,3. 希爾伯特矩陣 Hilbert矩陣的每個元素的值，由行數(shù)i和列數(shù)j決定，等于1/(i+j-1)，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。,>> hilb(4)ans = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333

19、 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429,>> I=invhilb(4)I = 16 -120 240 -140 -120 1200 -2700

20、 1680 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800,4. 托普利茲矩陣 生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個以x為第1列，y為第1行的托普利茲矩陣。這里x, y均為向量，二者不必等長。當x和y的第一個元素不同時，系統(tǒng)將給出提示信息并以x中的

21、元素為準．,,>> c=[1 2 3 4 5];>> r=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5];>> toeplitz(c,r)Warning: First element of input column does not match first element of input row. Column wins diagonal conflict.(Type &qu

22、ot;warning off MATLAB:toeplitz:DiagonalConflict" to suppress this warning.)> In E:\matlabanzhuang\toolbox\matlab\elmat\toeplitz.m at line 18ans = 1.0000 2.5000 3.5000 4.5000 5.5000 2.0000

23、 1.0000 2.5000 3.5000 4.5000 3.0000 2.0000 1.0000 2.5000 3.5000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000 2.5000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000,5. 友矩陣 Compan矩陣生成多項式系數(shù)向量P

24、的伴隨矩陣，其中（A(1,:)=-P(2:n)/P(1)）,友矩陣的函數(shù)是：compan(P) 。P是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。,例5.3求x3-7x+6的根。,>> u=[1 0 -7 6]u = 1 0 -7 6>> A=compan(u)A = 0 7 -6 1 0 0 0

25、1 0>> eig(compan(u))ans = -3.0000 2.0000 1.0000該多項式的根是-3,2,1,友矩陣的特征根正好是多項式的根,6. 帕斯卡矩陣 Pascal矩陣是一個實對稱的正定矩陣，它由Pascal三角形組成， Pascal三角形是由0到2n-1階的二項式系數(shù)組成，把二項式系數(shù)依次填寫在矩陣的左側(cè)對角線上，提取左側(cè)的n行n 列即為Pascal矩陣。

26、函數(shù)pascal(n)生成一個n階的帕斯卡矩陣。,,,例5.4求(x+y)5的展開式。在MATLAB命令窗口，輸入命令：pascal(6),ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56

27、 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252其次對角線上的元素1，5，10，10，5，1即為展開式的系數(shù)。,5.2 矩陣分析,5.2.1 矩陣結(jié)構(gòu)變換1. 矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運算符是單撇號(')。2. 矩陣的旋轉(zhuǎn) 矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)rot90(A,k)，功能是將矩陣A旋轉(zhuǎn)90º的k倍，當k為1時可省略。3. 矩陣的左

28、右翻轉(zhuǎn)對矩陣A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。4. 矩陣的上下翻轉(zhuǎn)對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。,,目錄,,A=magic(3)A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2>> fliplr(A) %將矩陣的列左右翻轉(zhuǎn)ans = 6 1 8 7 5

29、 3 2 9 4,>> flipud(A)　　%將矩陣A的行上、　下翻轉(zhuǎn)ans = 4 9 2 3 5 7 8 1 6>> rot90(A)　　%將矩陣A逆時針旋轉(zhuǎn)90度ans = 6 7 2 1 5 9 8 3 4,

30、,5.2.2 矩陣的逆與偽逆1. 矩陣的逆 求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆可調(diào)用函數(shù)inv(A)。例5.4 用求逆矩陣的方法解線性方程組。命令如下：一般情況下，用左除比求矩陣的逆的方法更有效，即x=A\b。,,目錄,,>> A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];>> b=[5,-2,6]';>> x=inv(A)*bx = 23.0000

31、 -14.5000 3.6667,>> x=A\bx = 23.0000 -14.5000 3.6667,,2. 矩陣的偽逆MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。例5.5 求A的偽逆，并將結(jié)果送B。命令如下：A=[3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1];B=pinv(A)例5.6 求矩陣A的偽逆。在MATLAB命令窗口，輸入命令：A=[0,0,0;0,

32、1,0;0,0,1];pinv(A),,目錄,,B = 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 0.0357 0.0357 0.0357,ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 1,,5

33、.2.3 方陣的行列式求方陣A所對應的行列式的值的函數(shù)是det(A)。例5.7用克萊姆(Cramer)方法求解線性方程組。程序如下：D=[2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2]; %定義系數(shù)矩陣b=[4;6;12;6]; %定義常數(shù)項向量D1=[b,D(:,2:4)]; %用方程組的右端向量置換D

34、的第1列D2=[D(:,1:1),b,D(:,3:4)]; %用方程組的右端向量置換D的第2列D3=[D(:,1:2),b,D(:,4:4)]; %用方程組的右端向量置換D的第3列D4=[D(:,1:3),b]; %用方程組的右端向量置換D的第4列DD=det(D);x1=det(D1)/DD;x2=det(D2)/DD;x3

35、=det(D3)/DD;x4=det(D4)/DD;[x1,x2,x3,x4],,目錄,,ans = 1 1 -1 -1,,5.2.4 矩陣的秩MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。例如，求例5.7中方程組系數(shù)矩陣D的秩，命令是：說明D是一個滿秩矩陣。,,目錄,,>> D=[2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2];r=rank(D)

36、r = 4,,5.2.5 向量和矩陣的范數(shù)(不講)1. 計算向量3種常用范數(shù)的函數(shù)(1)norm(V)或norm(V,2) 計算向量V的2—范數(shù)=sum(abs(V).^2)^(1/2)(2)norm(V,1)=sum(abs(V)) 計算向量V的1—范數(shù)(3)norm(V,inf) 計算向量V的∞—范數(shù)= max(abs(V)),,目錄,,例5.8 已知V，求V的3種范數(shù)。,>> v1=norm(

37、V,1) %求V的1—范數(shù)sum(abs(V)) v1 = 5/2,>> v2=norm(V) %求V的2—范數(shù)sum(abs(V).^2)^(1/2)v2 = 3/2,>> v3=norm(V,inf) %求V的∞—范數(shù)max(abs(V))v3 = 1,,2. 矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù)MATLAB中提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)

38、，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同,NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)).,NORM(X,2) is the same as NORM(X).NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum, = max(sum(abs(X))).NORM(X,inf

39、) is the infinity norm of X, the largest row sum, = max(sum(abs(X'))).,A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];a1=norm(A,1) %求A的1—范數(shù)a2=norm(A)

40、 %求A的2—范數(shù)ainf=norm(A,inf) %求A的∞—范數(shù),例5.9 求矩陣A的三種范數(shù)。命令如下：,a1 = 75,a2 = 2790/47,ainf = 75,,5.2.6 矩陣的條件數(shù)和跡1. 的條件數(shù)MATLAB中，計算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：(1)cond(A,1) 計算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)(2)cond(A)或cond(A,2) 計算A的2—

41、范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)(3)cond(A,inf) 計算A的 ∞—范數(shù)下的條件數(shù),,目錄,,例5.10 求矩陣X的三種條件數(shù)。命令如下：A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9];C1=cond(A,1)C2=cond(A)C3=cond(A,inf),C1 = 1044/7 C2 = 7126/81 C3 = 144,,2. 矩陣的跡MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是tra

42、ce(A)。例如，X=[2 2 3;4 5 -6;7 8 9];trace(X)ans = 16,,目錄,,5.2.7 矩陣的特征值與特征向量MATLAB中，計算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：(1)E=eig(A) 求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。(2)[V,D]=eig(A) 求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。(3)[V,D]=eig(

43、A,'nobalance') 與第2種格式類似，但第2種格式中先對A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。,例5.11 用3種不同的格式求A的特征值和特征向量。命令如下：A=[1,2,2;1,-1,1;4,-12,1];E=eig(A)[V,D]=eig(A)[V,D]=eig(A,'nobalance'),,目錄,,例5.12用求特征值的方法解方程3

44、x5-7x4+5x2+2x-18。命令如下：p=[3,-7,0,5,2,-18];A=compan(p); %A的友矩陣x1=eig(A) %求A的特征值x2=roots(p) %直接求多項式p的零點兩種方法求得的方程的根是完全一致的，實際上，roots函數(shù)正是應用求友矩陣的特征值的方法來求方程的根。,x1 = 2.1837 1.000

45、0 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i,x2 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i,5.2.8 MATLAB在三維向量中的應用1. 向量共線或共面的判斷例5.13

46、 設X=(1，1，1)，Y=(-1，2，1)，Z=(2，2，2)，判斷這三個向量的共線共面問題。命令如下：X=[1,1,1];Y=[-1,2,1];Z=[2,2,2];XY=[X;Y];YZ=[Y;Z];ZX=[Z;X];XYZ=[X;Y;Z];rank(XY)rank(YZ)rank(ZX)rank(XYZ),,目錄,,ans = 2ans = 2ans = 1ans =

47、2,,2. 向量方向余弦的計算例5.14設向量V=(5，-3，2)，求V的方向余弦。建立一個函數(shù)文件direct.m：function f=f(v)r=norm(v);if r==0 f=0else f=[v(1)/r,v(2)/r,v(3)/r];endreturn在MATLAB命令窗口，輸入命令：v=[5,-3,2];f=direct(v),,目錄,,f = 2220/2737 -1

48、332/2737 888/2737,,3. 向量的夾角例5.15 設U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U,V間的夾角θ.命令如下：U=[1,0,0];V=[0,1,0];r1=norm(U);r2=norm(V);UV=U*V';cosd=UV/r1/r2;D=acos(cosd)4. 兩點間的距離例5.16 設 U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U、V兩點間的距離。命令如下：U=

49、[1,0,0];V=[0,1,0];UV=U-V;D=norm(UV),,目錄,,,5. 向量的向量積例5.17設U=(2，-3，1)，V=(3，0，4)，求U×V。命令如下：U=[2,-3,1];V=[3,0,4];W=eye(3);A1=[W(1,:);U;V];A2=[W(2,:);U;V];A3=[W(3,:);U;V];UV=[det(A1),det(A2),det(A3)]UV= -12

50、-5 96. 向量的混合積例5.18 設U=(0，0，2)，V=(3，0，5)，W=(1，1，0)，求以這三個向量構(gòu)成的六面體的體積。命令如下：U=[0,0,2];V=[3,0,5];W=[1,1,0];A=[U;V;W];det(A)ans = 6,,目錄,,7. 點到平面的距離例5.19求原點到平面X+Y+Z=1的距離。命令如下：u=[0,0,0];v=[1,1,1]; % A=B=C=1,u1

51、=u2=u3=0,D=-1r=abs(u*v'-1)/norm(v,2)r =0.5774,,目錄,,5.3 矩陣分解與線性方程組求解,5.3.1矩陣分解1. 實對稱矩陣的QDQ分解例5.20設對稱矩陣A，對A進行QDQ分解。命令如下：A=[2,1,4,6;1,2,1,5;4,1,3,4;6,5,4,2];[Q,D]=eig(A)Q*D*Q'ans = 2.0000 1.0000

52、4.0000 6.0000 1.0000 2.0000 1.0000 5.0000 4.0000 1.0000 3.0000 4.0000 6.0000 5.0000 4.0000 2.0000結(jié)果與A相等，說明確實將A分解為了QDQ'的乘積。,,目錄,,,例5.21求下列二次型的標準形式及變換矩陣。命令如下：A=[1,2,1;2,1,1;

53、1,1,3;];[Q,D]=eig(A)進一步作線性變換即得關(guān)于u,v,w的標準二次型：2. 矩陣的LU分解MATLAB中，完成LU分解的函數(shù)是：(1)[L,U]=lu(A) 將方陣A分解為交換下三角矩陣L和上三角矩陣U，使 A=LU。(2)[L,U,P]=lu(A) 將方陣A分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U，使 PA=LU。LU分解常用于求行列式以及解線性方程組。,,目錄,,3. 矩陣的QR分解（正交分解）對矩陣

54、A進行QR分解的函數(shù)是[Q,R]=qr(A)，根據(jù)方陣A，求一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，使A=Q*R。例如，對矩陣A進行QR分解的命令是：A=[2,1,-2;1,2,1;2,5,3];[Q,R]=qr(A),,目錄,,,5.3.2 線性方程組求解1. 線性方程組解的一般討論解線性方程組的一般函數(shù)文件如下：function [x,y]=line_solution(A,b) [m,n]=size(A);y=[];

55、 if norm(b)>0 %非齊次方程組 if rank(A)==rank([A,b]) %方程組相容 if rank(A)==m %有唯一解 x=A\b; else %方程組有無窮多個解,基礎解系 disp('原方程組有有無窮個解

56、，其齊次方程組的基礎解系為y，特解為x'); y=null(A,'r'); x=A\b; end else %方程組不相容，給出最小二乘法解 disp('方程組的最小二乘法解是：'); x=A\b;,,目錄,,end else

57、 %齊次方程組 if rank(A)>=n %列滿秩 x=zero(m,1) %0解 else %非0解 disp('方程組有無窮個解，基礎解系為x'); x=null(A,'r');

58、 end endreturn,2. 應用舉例例5.23求線性方程組的解。在MATLAB命令窗口，輸入命令：A=[2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2];b=[4,6,12,6]';[x,y]=line_solution(A,b) %調(diào)用自定義函數(shù),,目錄,,x = 1 1 -1 -

59、1 y = [],例5.24求下列線性方程組的解。在MATLAB命令窗口，輸入命令：A=[2,7,3,1;3,5,2,2;9,4,1,7];b=[6,4,2]';[x,y]=line_solution(A,b),原方程組有有無窮個解，其齊次方程組的基礎解系為y，特解為xWarning: Rank deficient, rank = 2 tol = 8.6112e-015.> In E

60、:\matlabanzhuang\work\line_solution.m at line 10x = -2/11 10/11 0 0 y = 1/11 -9/11 -5/11 1/11 1 0 0 1,5.4 數(shù)

61、據(jù)處理與多項式計算,5.4.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析1. 求矩陣最大和最小元素(1)求向量的最大最小元素①y=max(X) 返回向量X的最大元素存入y。②[y,I]=max(X) 返回向量X的最元素存入y，最大元素的序號存入I。(2)求矩陣的最大和最小元素①max(A) 返回一個行向量，向量的第i個元素是A矩陣的第i列上的最大元素。②[Y,U]=max(A) 返回兩個行向量，Y向量記錄A的每列的最大元素，U向量記錄每列最

62、大元素的行號。③max(A,[],dim) dim取1或2。dim取1時，該函數(shù)和max(A)完全相同。dim取2時，該函數(shù)返回一個列向量，其第i個元素是A矩陣的第i行上的最大元素。,,目錄,,(3)兩個向量或矩陣對應元素的比較①U=max(A,B) A,B是兩個同型的向量或矩陣。結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A,B對應元素的較大者。②U=max(A,n) n是一個標量。結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U

63、的每個元素等于A對應元素和n中的較大者。min函數(shù)的用法和max完全相同。,,目錄,,例5.25 求矩陣A的每行及每列的最大和最小元素，并求整個矩陣的最大和最小元。命令如下：A=[13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1];max(A,[],2) %求每行最大元素min(A,[],2) %求每行最小元素max(A) %求每列最大元素

64、min(A) %求每列最小元素max(max(A)) %求整個矩陣的最大元素min(min(A)) %求整個矩陣的最小元素,,目錄,,ans = 78 63 563 1 ans = -56 -235 25

65、 -1,ans = 78 63 563 ans = 1 -56 -235 ans = 563 ans = -235,2. 求矩陣的平均值和中值 求矩陣和向量元素的平均值的函數(shù)是mean，求中值的函數(shù)是median。它們的調(diào)用方法和max函數(shù)完全相同。3. 矩陣元素求和

66、與求積矩陣和向量求和與求積的基本函數(shù)是sum和prod，其使用方法和max類似。,,目錄,,例5.26求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。命令如下：A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];S=prod(A,2)prod(S) %求A的全部元素的乘積,,目錄,,4. 矩陣元素累加和與累乘積MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量

67、，函數(shù)的用法和sum及prod相同例5.27求向量X=(1！，2！，3！，…，10！)。命令如下：Format long;X=cumprod(1:10),X = 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800,5. 標準方差 MA

68、TLAB中，提供了計算數(shù)據(jù)序列的標準方差的函數(shù)std。對于向量X，std(X)返回一個標準方差。對于矩陣A，std(A)返回一個行向量，它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標準方差。std函數(shù)的一般調(diào)用格式為：std(A,FLAG,dim) 其中dim取1或2。 當dim=1時，求各列元素的標準方差； 當dim=2時，則求各行元素的標準方差。 FLAG取0或1。,,目錄,,6. 元素排序 MATLAB中

69、對向量X是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。 sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列(或行)重新排序，其調(diào)用格式為：[Y,I]=sort(A,dim) 其中dim指明對A的列還是行進行排序，若dim=1，則按列排，若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。,,目錄,,例5.28對矩陣做各種排序。命令如下：A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];

70、sort(A) %對A的每列按升序排序-sort(-A,2) %對A的每行按降序排序[X,I]=sort(A) %對A按列排序，并將每個元素所在行號送矩陣I,,目錄,,ans = 1 -8 -13 4 7 5 13 12 6ans = 5 1 -8 12 6 4 13 7 -13