第3章-matlab符號計算

1、第3章 MATLAB符號計算,,,,,3 . 1 符號表達式的建立,3 . 2 符號表達式的代數(shù)運算,3 . 3 符號表達式的操作和轉(zhuǎn)換,3 . 4 符號極限、微積分和級數(shù)求和,,3 . 5 符號積分變換,,3 . 6 符號方程的求解,,3 . 7 符號函數(shù)的可視化,,3 . 8 MuPAD的使用,,3 . 1 符號表達式的建立,3.1.1 創(chuàng)建符號常量符號常量是不含變量的符號表達式，用sym命令創(chuàng)建符號常量。語

2、法：sym（'常量'） %創(chuàng)建符號常量 例如，創(chuàng)建符號常量，這種用sym命令的方式可以表示絕對準(zhǔn)確的符號數(shù)值：>> a=sym('sin(2)')a =sin(2)sym命令也可以把數(shù)值轉(zhuǎn)換成為某種格式的符號常量。語法：sym（常量,參數(shù)）%把常量按某種格式轉(zhuǎn)換為符號常量,3.1.1 創(chuàng)建符號常量,說明：參數(shù)可以選擇為'd'、'f

3、9;、'e'或'r' 4種格式，也可省略，其作用如表3.1所示。,,3.1.1 創(chuàng)建符號常量,【例3.1】 創(chuàng)建數(shù)值常量和符號常量。>> a1=2*sqrt(5)+pi %創(chuàng)建數(shù)值常量a1 = 7.6137>> a2=sym('2*sqrt(5)+pi') %創(chuàng)建符號常量a2 =pi + 2*5^(1/2)>> a3

4、=sym(2*sqrt(5)+pi) %按最接近的有理數(shù)型表示符號常量a3 =2143074082783949/281474976710656>> a4=sym(2*sqrt(5)+pi,'d') %按最接近的十進制浮點數(shù)表示符號常量a4 =7.6137286085893727261009189533070>> a31=a3?a1 %數(shù)值常量和符號常量的計算a31

5、 =0>> a5='2*sqrt(5)+pi' %字符串常量a5 =2*sqrt(5)+pi,3.1.1 創(chuàng)建符號常量,可以通過工作空間查看各變量的數(shù)據(jù)類型和存儲空間，工作空間窗口如圖3.1所示。,,3.1.2 創(chuàng)建符號變量和符號表達式,1．使用sym命令創(chuàng)建符號變量和表達式語法：sym（'變量',參數(shù)） %把變量定義為符號對象【例3.2】 創(chuàng)建符號變量，

6、用參數(shù)設(shè)置其特性。>> syms x y real %創(chuàng)建實數(shù)符號變量>> z=x+i*y; %創(chuàng)建z為復(fù)數(shù)符號變量>> real(z) %復(fù)數(shù)z的實部是實數(shù)xans =x>> sym('x','unreal'); %清除符號變量的實數(shù)特性>> real(z) %復(fù)數(shù)z的實部ans =

7、x/2 + conj(x)/2,,3.1.2 創(chuàng)建符號變量和符號表達式,程序分析：設(shè)置x、y為實數(shù)型變量，可以確定z的實部和虛部。語法：sym（'表達式'） %創(chuàng)建符號表達式【例3.2續(xù)】 創(chuàng)建符號表達式。>> f1=sym('a*x^2+b*x+c') f1 =a*x^2+b*x+c,,3.1.2 創(chuàng)建符號變量和符號表達式,2．使用syms命令創(chuàng)建符號變量和

8、符號表達式語法：syms（'arg1', ' arg2',…,參數(shù)） %把字符變量定義為符號變量syms arg1 arg2 …,參數(shù)　%把字符變量定義為符號變量的簡潔形式【例3.2續(xù)】 使用syms命令創(chuàng)建符號變量和符號表達式。>> syms a b c x %創(chuàng)建多個符號變量>> f2=a*x^2+b*x+c %創(chuàng)建符號表達式f2 =a

9、*x^2+b*x+c>> syms('a','b','c','x') >> f3=a*x^2+b*x+c; %創(chuàng)建符號表達式,,,3.1.3 符號矩陣,例如，使用sym命令創(chuàng)建的符號矩陣。>> A=sym('[a,b;c,d]')A =[ a, b][ c, d]例如，使用syms命令創(chuàng)建相同的符

10、號矩陣。>> syms a b c d>> A=[a b;c d]A =[ a, b][ c, d],,3.1.3 符號矩陣,【例3.3】 比較符號矩陣與字符串矩陣的不同。>> A=sym('[a,b;c,d]') %創(chuàng)建符號矩陣A =[ a, b][ c, d]>> B='[a,b;c,d]' %創(chuàng)建字符串矩陣B

11、=[a,b;c,d]>> C=[a,b;c,d] %創(chuàng)建數(shù)值矩陣??? Undefined function or variable 'a'.,,3.1.3 符號矩陣,程序分析：由于數(shù)值變量a、b、c、d未事先賦值，MATLAB給出錯誤信息。>> C=sym(B) %轉(zhuǎn)換為符號矩陣C =[ a, b][ c, d]>> whos Name

12、 Size Byte Class A 2x2 60 sym B 1x9 18 char C 2x2 60 sym Grand total is 25 elements using 642

13、 Byte,3 . 2 符號表達式的代數(shù)運算,3.2.1 符號表達式的代數(shù)運算1．符號運算中的運算符符號運算中的運算符有以下2種。（1）基本運算符。（2）關(guān)系運算符。2．函數(shù)運算（1）三角函數(shù)和雙曲函數(shù)。（2）指數(shù)和對數(shù)函數(shù)。（3）復(fù)數(shù)函數(shù)。（4）矩陣代數(shù)命令。,,,3.2.1 符號表達式的代數(shù)運算,【例3.4】 求矩陣 的行列式值、非共軛轉(zhuǎn)置和特征值。>

14、;> syms a11 a12 a21 a22>> A=[a11 a12;a21 a22] %創(chuàng)建符號矩陣A =[ a11, a12][ a21, a22]>> det(A) %計算行列式ans =a11*a22?a12*a21>> A.' %計算非共軛轉(zhuǎn)置ans =[ a11, a21][ a12, a22]>> ei

15、g(A) %計算特征值ans =[ 1/2*a22+1/2*a11+1/2*(a22^2?2*a11*a22+a11^2+4*a12*a21)^(1/2)][ 1/2*a22+1/2*a11?1/2*(a22^2?2*a11*a22+a11^2+4*a12*a21)^(1/2)],,,3.2.1 符號表達式的代數(shù)運算,【例3.5】 符號表達式f=2x2+3x+4與g=5x+6的代數(shù)運算。>> f=sy

16、m('2*x^2+3*x+4')f =2*x^2+3*x+4>> g=sym('5*x+6')g =5*x+6>> f+g %符號表達式相加ans =2*x^2+8*x+10>> f*g %符號表達式相乘ans =(5*x+6)*(2*x^2+3*x+4),3.2.2 符號數(shù)值任意精度控制和運算,1．Symbolic

17、 Math Toolbox中的算術(shù)運算方式在Symbolic Math Toolbox中有3種不同的算術(shù)運算。（1）數(shù)值型：MATLAB的浮點運算。（2）有理數(shù)型：精確符號運算。（3）VPA型：任意精度運算。2．任意精度控制任意精度的VPA型運算可以使用digits和vpa命令來實現(xiàn)。語法：digits(n) %設(shè)定默認的精度語法：S=vpa(s,n) %將s表示為n位有效位數(shù)的符號對象,,3.2.2

18、 符號數(shù)值任意精度控制和運算,【例3.6】 對表達式 進行任意精度控制的比較。>> a=sym('2*sqrt(5)+pi')a =pi + 2*5^(1/2)>> digits %顯示默認的有效位數(shù) Digits = 32 >> vpa(a) %用默認的位數(shù)計算并顯示ans =7.6137286085893726312809907207421

19、>> vpa(a,20) %按指定的精度計算并顯示ans =7.6137286085893726313>> digits(15) %改變默認的有效位數(shù)>> vpa(a) %按digits指定的精度計算并顯示ans =7.61372860858937,,3.2.2 符號數(shù)值任意精度控制和運算,3．Symbolic Math Toolbox中的3種運算方式的比

20、較【例3.6續(xù)】 用3種運算方式表達式比較2/3的結(jié)果。>>a1 =2/3 %數(shù)值型a1 = 0.6667>>a2 = sym(2/3) %有理數(shù)型a2 =2/3>> digits Digits = 32>> a3 =vpa('2/3',32) %VPA型a3 =.666666666666666666666

21、66666666667,,3.2.2 符號數(shù)值任意精度控制和運算,程序分析：（1）3種運算方式中數(shù)值型運算的速度最快。（2）有理數(shù)型符號運算的計算時間最長和占用內(nèi)存最大，產(chǎn)生的結(jié)果非常準(zhǔn)確。（3）VPA型的任意精度符號運算比較靈活，可以設(shè)置任意有效精度，當(dāng)保留的有效位數(shù)增加時，每次運算的時間和使用的內(nèi)存也會增加。（4）數(shù)值型變量a1結(jié)果顯示的有效位數(shù)并不是存儲的有效位數(shù)，在本書第1章中曾介紹顯示的有效位數(shù)由“format”命令

22、控制，如下面修改的format命令就改變了顯示的有效位數(shù)：>> format long>> a1a1 = 0.66666666666667,3.2.3 符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換,1．將數(shù)值對象轉(zhuǎn)換為符號對象前面已經(jīng)介紹了sym命令可以把數(shù)值型對象轉(zhuǎn)換成為有理數(shù)型符號對象，vpa命令可以將數(shù)值型對象轉(zhuǎn)換為任意精度的VPA型符號對象。2．將符號對象轉(zhuǎn)換為數(shù)值對象使用double函數(shù)可以將有理數(shù)型和

23、VPA型符號對象轉(zhuǎn)換成為數(shù)值對象。語法：N=double(S) %將符號變量S轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量N,,3.2.3 符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換,【例3.7】 將符號變量 與數(shù)值變量進行轉(zhuǎn)換。>> a1=sym('2*sqrt(5)+pi')a =pi + 2*5^(1/2)>> b1=double(a1) %轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量b1 = 7.6137>>

24、a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)a2 = 7.6137286085893726312809907207421 >> b2=double(a2) %轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量b2 = 7.6137,,,3.2.3 符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換,【例3.7續(xù)】 由符號變量得出數(shù)值結(jié)果。>> b3=eval(a1)b3 = 7.6137用“whos”命

25、令查看變量的類型，可以看到b1、b2、b3都可以轉(zhuǎn)換為雙精度型。>> whos Name Size Byte Class a1 1x1 60 sym a2 1x1 60 sym b1 1x1

26、 8 double b2 1x1 8 double b3 1x1 8 double,,3 . 3 符號表達式的操作和轉(zhuǎn)換,3.3.1 符號表達式中自由變量的確定1．自由變量的確定原則（1）小寫字母i和j不能作為自由變量。（2）符號表達式中如果

27、有多個符號變量，則按照以下順序選擇自由變量：首先選擇x作為自由變量；如果沒有x，則選擇在字母順序中最接近x的字符變量；如果與x相同距離，則在x后面的優(yōu)先。（3）大寫字母比所有小寫字母都靠后。例如：x^2+a*x+b的自由符號變量是x；a*(sin(t)+b*cos(w*t))的自由符號變量是w；a*theta的自由符號變量是theta；i+a*j的自由符號變量是a。,,3.3.1 符號表達式中自由變量的確定,2．symva

28、r函數(shù)symvar函數(shù)用來決定表達式中的符號變量。語法：symvar（EXPR）%確定自由符號變量【例3.8】 得出符號表達式中的符號變量。>> f=sym('a*x^2+b*x+c')f =a*x^2+b*x+c>> s=symvar(f) %得出所有的符號變量s =[ a, b, c, x]>>s1=symvar(f,1)%得出第1

29、個符號變量s1 =x>>symvar 'cos(pi*x - beta1)'ans = 'beta1''x',,3.3.1 符號表達式中自由變量的確定,3．findsym函數(shù)如果不確定符號表達式中的自由符號變量，則可以用findsym函數(shù)自動確定。語法：findsym(EXPR,n)說明：EXPR可以是符號表達式或符號矩陣；n為按順序得出符號變量的

30、個數(shù)，當(dāng)n省略時，則不按順序得出EXPR中所有的符號變量。>> g=sym('sin(z)+cos(v)');>> findsym(g,1) %得出第1個符號變量ans =z,,3.3.2 符號表達式的化簡,（1）多項式形式的表達方式：f(x)=x3+6x2+11x?6 （2）因式形式的表達方式：f(x)=(x?1)(x?2)(x?3) （3）嵌套形式的表達方式：f

31、(x)=x(x(x?6)+11) ?6 【例3.9】 3種形式的符號表達式的表示。>> f=sym('x^3?6*x^2+11*x?6')%多項式形式f =x^3?6*x^2+11*x?6>> g= sym('(x?1)*(x?2)*(x?3)') %因式形式g =(x?1)*(x?2)*(x?3)>> h= sym(' x*

32、(x*(x?6)+11) ?6') %嵌套形式h =x*(x*(x?6)+11) ?6,3.3.2 符號表達式的化簡,MATLIB提供了pretty 、collect、expand、horner和factor函數(shù)，可以對符號表達式進行化簡，如表3.2所示。,,3.3.2 符號表達式的化簡,1．simplify函數(shù)simplify函數(shù)功能強大，利用各種形式的代數(shù)恒等式對符號表達式進行化簡，包括求和、分解、積分、冪、

33、三角、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)等?！纠?.9】 利用三角函數(shù)簡化符號表達式cos2x?sin2x。>> y=sym('cos(x)^2?sin(x)^2')y =cos(x)^2?sin(x)^2>> simplify(y)ans =2*cos(x)^2?1,3.3.2 符號表達式的化簡,2．simple函數(shù)simple 函數(shù)給出多種簡化形式，給出除了pretty 、collect、ex

34、pand、factor、simplify簡化形式之外的radsimp、combine、combine(trig)、convert形式，并尋求包含最少數(shù)目字符的表達式簡化形式?！纠?.9續(xù)】 利用simple簡化符號表達式cos2x?sin2x。,3.3.3 符號表達式的替換,1．subexpr函數(shù)符號表達式有時因為子表達式多次出現(xiàn)而顯得煩冗，可以通過使用subexpr函數(shù)替換子表達式來化簡。語法：subexpr(s,s1)

35、 %用符號變量s1置換s中的子表達式2．subs函數(shù)subs函數(shù)可用來進行對符號表達式中符號變量的替換。語法：subs(s)%用給定值替換符號表達式s中的所有變量subs(s,new)%用new替換符號表達式s中的自由變量subs(s,old,new) %用new替換符號表達式s中的old變量,,3.3.3 符號表達式的替換,【例3.10】 用subs函數(shù)對符號表達式(x+y)2+3(x+y)+5進

36、行替換。>> syms a b c d x>> f=sym('(x+y)^2+3*(x+y)+5') %創(chuàng)建符號表達式f =3*x + 3*y + (x + y)^2 + 5>> x=5;>> f1=subs(f) %用5替換xf1 =3*y + (y + 5)^2 + 20>> f2=subs(f,'x+y',&#

37、39;s') %用s替換x+yf2 =s^2 + 3*x + 3*y + 5>> f3=subs(f,'x+y',5) %用常數(shù)5替換x+yf3 =3*x + 3*y + 30>> f4=subs(f,'x','z') %用z替換xf4 =3*y + 3*z + (y + z)^2 + 5,,3.3.4 求反函數(shù)和復(fù)合

38、函數(shù),1．求反函數(shù)對于函數(shù)f(x)，若存在另一個函數(shù)g(.)，使得g(f(x))＝x成立，則函數(shù)g(.)稱為函數(shù)f(x)的反函數(shù)。在MATLAB中，finverse函數(shù)可以求得符號函數(shù)的反函數(shù)。語法：finverse(f,v) %對指定自變量v的函數(shù)f(v)求反函數(shù)【例3.11】 求tex的反函數(shù)。>> f=sym('t*e^x') %原函數(shù)f = t*e^x>>

39、 g=finverse(f) %對默認自由變量求反函數(shù)g =log(x/t)/log(e)>> g=finverse(f,'t') %對t求反函數(shù)g =t/(e^x)程序分析：如果先定義t為符號變量，則參數(shù)'t'的單引號可去掉。>> syms t>> g=finverse(f,t),,3.3.4 求反函數(shù)和復(fù)合函數(shù),2．求復(fù)合函數(shù)運用

40、函數(shù)compose可以求符號函數(shù)f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)。語法：compose(f,g) %求f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)f(g(y))compose(f,g,z) %求f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)f(g(z))【例3.11續(xù)】 計算tex與ay2+by+c的復(fù)合函數(shù)。>> f=sym('t*e^x'); %創(chuàng)建符號表達式>> g=sym('a

41、*y^2+b*y+c'); %創(chuàng)建符號表達式>> h1=compose(f,g) %計算f(g(x))h1 =t*e^(a*y^2+b*y+c)>> h2=compose(g,f) %計算g(f(x))h2 =a*t^2*(e^x)^2+b*e^x+c>> h3=compose(f,g,'z') %計算f(g(z))h3 =t*

42、e^(a*z^2+b*z+c)語法：compose(f,g,x,z) %以x為自變量構(gòu)成復(fù)合函數(shù)f(g(z))compose(f,g,x,y,z) %以x為自變量構(gòu)成復(fù)合函數(shù)f(g(z))，并用z替換y,,3.3.4 求反函數(shù)和復(fù)合函數(shù),【例3.11續(xù)】 計算得出tex與y2的復(fù)合函數(shù)。>> f1=sym('t*e^x');>> g1=sym('y^2');&

43、gt;> h1=compose(f1,g1)h1 =t*e^(y^2)>> h2=compose(f1,g1,'z') %計算f(g(z))h2 =t*e^(z^2)>> h3=compose(f1,g1,'t','y') %以t為自變量計算f(g(z))h3 =y^2*e^x>> h4=compose(f1,g1

44、,'t','y','z') %以t為自變量計算f(g(z))，并用z替換yh4 =z^2*e^x>> h5=subs(h3,'y','z') %用替換的方法實現(xiàn)h5與h4有相同結(jié)果h5 =(z)^2*e^x,,3.3.5 符號表達式的轉(zhuǎn)換,1．符號表達式與多項式的轉(zhuǎn)換（1）sym2poly函數(shù)。sym2poly函數(shù)用來將構(gòu)成多

45、項式的符號表達式轉(zhuǎn)換為按降冪排列的行向量?！纠?.12】 將符號表達式2x+3x2+1轉(zhuǎn)換為行向量。>> f=sym('2*x+3*x^2+1')f =2*x+3*x^2+1>> sym2poly(f) %轉(zhuǎn)換為按降冪排列的行向量ans = 3 2 1>> f1=sym('a*x^2+b*x+c')f1 =a*x^2

46、+b*x+c>> sym2poly(f1)??? Error using ==> sym/sym2polyInput has more than one symbolic variable.,,3.3.5 符號表達式的轉(zhuǎn)換,（2）poly2sym函數(shù)。poly2sym函數(shù)與sym2poly函數(shù)相反，用來將按降冪排列的行向量轉(zhuǎn)換為符號表達式?！纠?.12續(xù)】 將行向量轉(zhuǎn)換為符號表達式。>> g=

47、poly2sym([1 3 2]) %默認x為符號變量的符號表達式g =x^2+3*x+2>> g=poly2sym([1 3 2],sym('y')) %y為符號變量的符號表達式g =y^2+3*y+2,3.3.5 符號表達式的轉(zhuǎn)換,2．提取分子和分母如果符號表達式是1個有理分式（兩個多項式之比），可以利用numden函數(shù)提取分子或分母，還可以進行通分。語法：[n,d]=numde

48、n(f),,,,3.3.5 符號表達式的轉(zhuǎn)換,【例3.13】 用numden函數(shù)提取符號表達式 和 的分子、分母。>> f1=sym('1/(s^2+3*s+2)')f1 =1/(s^2+3*s+2)>> f2=sym('1/s^2+3*s+2')f2 =1/s^2+3*s+2>> [n1,d

49、1]=numden(f1)n1 =1d1 =s^2+3*s+2>> [n2,d2]=numden(f2)n2 =1+3*s^3+2*s^2d2 =s^2,,,3 . 4 符號極限、微積分和級數(shù)求和,3.4.1 符號極限假定符號表達式的極限存在，Symbolic Math Toolbox提供了直接求表達式極限的函數(shù)limit，函數(shù)limit的基本用法如表3.3所示。,,3.4.1 符號極限,【例3.1

50、4】 分別求1/x在0處從兩邊趨近、從左邊趨近和從右邊趨近的3個極限值。>> f=sym('1/x')f =1/x>> limit(f) %對x求趨近于0的極限ans =NaN>> limit(f,'x',0) %對x求趨近于0的極限ans =NaN>> limit(f,'x',0,'lef

51、t') %左趨近于0ans =?inf>> limit(f,'x',0,'right') %右趨近于0ans =inf,,,3.4.1 符號極限,采用極限方法也可以求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 。【例3.14續(xù)】 求函數(shù)cos(x)的導(dǎo)數(shù)。>> syms t x

52、>> limit((cos(x+t) ?cos(x))/t,t,0)ans =?sin(x),,,3.4.2 符號微分,函數(shù)diff是用來求符號表達式的微分。語法：diff(f)%求f對自由變量的一階微分diff(f,t)%求f對符號變量t的一階微分diff(f,n)%求f對自由變量的n階微分diff(f,t,n) %求f對符號變量t的n階微分,,3.4.2 符號微分,【例3.1

53、5】 已知f(x)＝ax2+bx+c，求f(x)的微分。>> f=sym('a*x^2+b*x+c')f =a*x^2+b*x+c>> diff(f) %對默認自由變量x求一階微分ans =2*a*x+b>> diff(f,'a') %對符號變量a求一階微分ans =x^2>> diff(f,'x',2)

54、 %對符號變量x求二階微分ans =2*a>> diff(f,3) %對默認自由變量x求三階微分ans =0,,,3.4.2 符號微分,【例3.15續(xù)】 對符號矩陣 求微分。>> syms t x>> g=[2*x t^2;t*sin(x) exp(x)] %創(chuàng)建符號矩陣g =[ 2*x, t^2

55、][ t*sin(x), exp(x)]>> diff(g) %對默認自由變量x求一階微分ans =[ 2, 0][ t*cos(x), exp(x)]>> diff(g,'t') %對符號變量t求一階微分ans =[ 0, 2*t][ sin(x), 0]>> diff(g,2)

56、%對默認自由變量x求二階微分ans =[ 0, 0][?t*sin(x), exp(x)],,,3.4.2 符號微分,【例3.15續(xù)】 可以使用diff計算向量間元素的差值。>> x1=0:0.5:2;>> y1=sin(x1)y1 = 0 0.4794 0.8415 0.9975 0.9093>> dif

57、f(y1) %計算元素差ans = 0.4794 0.3620 0.1560 ?0.0882,,3.4.3 符號積分,積分分為定積分和不定積分。運用函數(shù)int可以求得符號表達式的積分，即找出一個符號表達式F，使得diff(F)=f，也可以說是求微分的逆運算。語法：int(f, 't') %求符號變量t的不定積分int(f, 't',a,b)

58、%求符號變量t的積分int(f, 't', 'm', 'n') %求符號變量t的積分,,,,3.4.3 符號積分,【例3.16】 求 和 的積分。>> f=sym('cos(x)');>> int(f) %求不定積分ans =sin(x)>> int(f,0

59、,pi/3) %求定積分ans =1/2*3^(1/2)>> int(f,'a','b') %求定積分ans =sin(b) ?sin(a)>> int(int(f)) %求多重積分ans =?cos(x)diff和int命令也可以直接對字符串f進行運算。>> f='cos(x)';,,,,,3.4.3

60、 符號積分,【例3.16續(xù)】 求符號矩陣 的積分。>> syms t x>> g=[2*x t^2;t*sin(x) exp(x)] %創(chuàng)建符號矩陣g =[ 2*x, t^2][ t*sin(x), exp(x)]>> int(g) %對x求不定積分ans =[ x^2,

61、 t^2*x][?t*cos(x), exp(x)]>> int(g,'t') %對t求不定積分ans =[ 2*x*t, 1/3*t^3][ 1/2*t^2*sin(x), exp(x)*t]>> int(g,sym('a'),sym('b')) %對x求定積分ans =[

62、 b^2 - a^2, -t^2*(a - b)][ t*(cos(a) - cos(b)), exp(b) - exp(a)],,,,3.4.4 符號級數(shù),1．symsum函數(shù)語法：symsum(s,x,a,b)%計算表達式s的級數(shù)和【例3.17】 求級數(shù) 和1+x+x2+…+xk+…的和。>&

63、gt; syms x k>> s1=symsum(1/k^2,1,10) %計算級數(shù)的前10項和s1 =1968329/1270080>> s2=symsum(1/k^2,1,inf) %計算級數(shù)和s2 =1/6*pi^2>> s3=symsum(x^k,'k',0,inf) %計算對k為自變量的級數(shù)和s3 =?1/(x?1),,,,3.4.4 符

64、號級數(shù),2．taylor函數(shù)泰勒級數(shù)的計算使用taylor函數(shù) 。語法：taylor (F,x,n) %求泰勒級數(shù)展開【例3.17續(xù)】 求ex的泰勒展開式為： 。>> syms x

65、>> s1=taylor(exp(x),8) %展開前8項s1 =1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5+1/720*x^6+1/5040*x^7>> s2=taylor(exp(x)) %默認展開前5項s2 =1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5,,3.4.4 符號級數(shù),泰勒級數(shù)還可以使用可視化的泰勒級

66、數(shù)計算器，在命令窗口中輸入命令“taylortool”，就會出現(xiàn)泰勒級數(shù)計算器窗口，如圖3.2所示。,,3 . 5 符號積分變換,3.5.1 傅里葉變換及其反變換時域中的f(t)與頻域中的Fourier變換F(?)之間的關(guān)系如下：,,,3.5.1 傅里葉變換及其反變換,1．Fourier變換語法：F＝fourier(f,t ,?) %求時域函數(shù)f(t)的Fourier變換F2．Fourier反變換語法：f=if

67、ourier (F,? ,t) %求頻域函數(shù)F的Fourier反變換f(t),,,,3.5.1 傅里葉變換及其反變換,【例3.18】 計算f(t) = 的Fourier變換F及F的Fourier反變換。>> syms t w>> F=fourier(1/t,t,w) %Fourier變換F =pi*(2*heaviside(-w) - 1)*i>> f=ifouri

68、er(F,t) %Fourier反變換f =1/t>> f=ifourier(F) %Fourier反變換默認x為自變量f =1/x程序分析： Heaviside(t)是單位階躍函數(shù) ，函數(shù)名為數(shù)學(xué)家Heaviside的名字。,,,,,3.5.1 傅里葉變換及其反變換,【例3.18續(xù)】 單位階躍函數(shù)的Fourier變換。>> fourier(sym(

69、'1'))ans =2*pi*dirac(-w),,3.5.2 拉普拉斯變換及其反變換,Laplace變換和反變換的定義為：,,,,3.5.2 拉普拉斯變換及其反變換,1．Laplace變換語法：F=laplace(f,t,s) %求時域函數(shù)f的Laplace變換F【例3.19】 求sin(at)和階躍函數(shù)的Laplace變換。>> syms a t s>> F1=la

70、place(sin(a*t),t,s) %求sin(at)的Laplace變換F1 =a/(s^2+a^2)>> F2=laplace(sym(1)) %求階躍函數(shù)的Laplace變換F2 =1/s,,3.5.2 拉普拉斯變換及其反變換,2．Laplace反變換語法：f＝ilaplace(F,s,t)%求F的Laplace反變換f【例3.20】 輸入信號r(t)=1，系統(tǒng)傳遞函數(shù)

71、 ，C(s)=R(s)*G(s)，求輸出波形c(t)，輸出波形如圖3.3所示。,,,3.5.2 拉普拉斯變換及其反變換,首先計算C(s)，然后經(jīng)過Laplace反變換得出輸出c(t)。>>syms t s y G R c;>>R=laplace(sym(1))%寫出r(t)Laplace變換R =1/s>>G=1/(s+1)

72、+2/(s+3);>>C=R*G;>>c=ilaplace(C)%Laplace反變換得出c(t)的表達式c =5/3 - 2/(3*exp(3*t)) - 1/exp(t)>>t=1:0.1:10;>>y=subs(c,t);%得出t對應(yīng)的y值>>plot(t,y),,3.5.3 Z變換及其反變換,1個離散信號的Z變換和Z反變換的定義為：,,,3.

73、5.3 Z變換及其反變換,1．ztrans函數(shù)語法：F＝ztrans(f,n, z) %求時域序列f的Z變換F【例3.21】 求階躍函數(shù)、脈沖函數(shù)和e?at的Z變換。>> syms a n z t>> Fz1=ztrans(sym('1'),n,z) %求階躍函數(shù)的Z變換Fz1 =z/(z?1)>> Fz2=ztrans(sym('a^n&#

74、39;),n,z) Fz2 =-z/(a - z)>> Fz3=ztrans(exp(?a*t),n,z) %求e?at的Z變換Fz3 =z/(exp(a*t)*(z - 1)),,,3.5.3 Z變換及其反變換,2．iztrans函數(shù)語法：f＝iztrans(F,z,n) %求F的Z反變換f【例3.21續(xù)】 用Z反變換驗算階躍函數(shù)、 和e?at的Z變換。&

75、gt;> syms n z t>> f1=iztrans(Fz1,z,n)f1 =1>> f2=iztrans(2*z/(z-2)^2)f2 =2^n + 2^n*(n - 1)>> f3=iztrans(Fz3,z,n)f3 =exp(?a*t),,,3 . 6 符號方程的求解,3.6.1 代數(shù)方程當(dāng)方程不存在解析解又無其他自由參數(shù)時，MATLAB可以用solve命令給

76、出方程的數(shù)值解。語法：solve('eq', 'v') %求方程關(guān)于指定變量的解solve('eq1', 'eq2', 'v1', 'v2',…) %求方程組關(guān)于指定變量的解 【例3.22】 求方程ax2+bx+c=0和sinx=0的解。>> f1=sym('a*x^2+b*x+c')