測量誤差的合成和分配

1、2.4 測量誤差的合成和分配,誤差合成理論研究在間接測量中，如何根據(jù)若干個直接測量量的誤差求總測量誤差的問題；誤差分配理論則研究在給定系統(tǒng)總誤差的條件下，如何將總誤差分配給各測量分項，即如何對各分項誤差提出要求，以達到系統(tǒng)測量精度要求。,1．誤差傳遞公式 設(shè)一個被測量 由兩個分項 、 ，其函數(shù)表達式為

2、 則絕對誤差傳遞公式為 式中 ——被測量 的絕對誤差； ——直接測量量 的絕對誤差； ——直接測量量 的絕對誤差

3、。,,,,,,,,2.4.1 測量誤差的合成,(2-18),(2-19),相對誤差傳遞公式為 式中 ——被測量 的相對誤差； ——直接測量 的絕對誤

4、差； ——直接測量 的絕對誤差。,,,,,,,(2-20),同理，當被測量 由m個分項合成時,誤差傳遞公式為 式中 ——第i個測量分項的測量值；

5、 ——直接測量量 的絕對誤差。一般，若 的函數(shù)關(guān)系為和、差關(guān)系時，常先求總合的絕對誤差，若函數(shù)關(guān)系為積、商或乘方、開方關(guān)系時，常先求總合的相對誤差比較方便。,,,,,(2-21),(2-22),,,例1：用間接測量法測量電阻消耗的功率，若電阻、電壓和電流測量相對誤差分別為 、 和 ，問所求功率的相對誤差為多少？例2：用伏安法測電阻時，若測量電壓和電流的相對誤差為

6、 、 ，試問所求電阻的相對誤差為多少？若 為±4%， 為±3%， 為多少？,2．系統(tǒng)誤差的合成 若測量中各種隨機誤差可以忽略，則總和的系統(tǒng)誤差可由各分項系統(tǒng)誤差合成。 式中 ——系統(tǒng)誤差的總和； ——直接測量各分項的系統(tǒng)誤差。,(2-23),3．隨機

7、誤差的合成 若各分項的系統(tǒng)誤差為零，則同理可求總合的隨機誤差 式中 ——隨機誤差的總和； ——直接測量各分項的隨機誤差。,,

8、,,(2-24),已知各分項方差，求總合方差的公式為 標準差的計算公式為,,,(2-25),(2-26),1．等準確度分配 當總誤差中各分項性質(zhì)相同（量綱相同）、大小相

9、近時，采用等準確度分法，即分配給各分項的誤差彼此相同。 若總誤差為 ，各分項的誤差為 ；標準差為 ，令 ； ，則分配給各項的誤差為,,,,,,2.4.2 測量誤差的分配,(2-27),(2-28),例：有一個電源變壓器，已知初級線圈與兩個次級線圈的匝數(shù)比N12:N34:N45=1:2:2，用最大量程為500

10、V的交流電壓表測量次級線圈的總電壓，要求相對誤差小于±2%，問應(yīng)該選用哪個級別的電壓表？,2．等作用分配 當分項誤差性質(zhì)不同時，采用等作用分配方法。在這種分配方式中，分配給各分項的誤差在數(shù)值上不一定相等，但它們對測量誤差總和的作用是相同的。 對于系統(tǒng)誤差，在式（2-23）中，令 。則分配給各分項的誤差為,,(2-29),對于隨機誤差，在式（2-25）中，令

11、 ，則分配給各分項的誤差為,,,(2-30),例：間接測量電阻上消耗的功率，已測出電流為100mA，電壓為3V，算出功率為300mW，若要求功率測量的系統(tǒng)誤差不大于5%，隨機誤差的標準差不大于5mW，問電壓和電流的測量誤差應(yīng)在多大范圍內(nèi)，才能保證上述功率誤差的要求。,3．抓住主要誤差項進行分配 當分項誤差中某項誤

12、差特別大時，就可以不考慮次要分項的誤差，或酌情分給次要分項少量誤差比例，確保主要項的誤差小于總合的誤差。 若主要誤差項有若干項，這時可把誤差在這幾個主要誤差項中分配，考慮采用等準確度或等作用分配原則。,2.5 測量結(jié)果的描述與處理,對測量結(jié)果可采用正確度，精密度和準確度三種評價方法。1．正確度 表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小程度。系統(tǒng)誤差愈大，正確度愈低；系統(tǒng)誤差愈小，正確度愈高。,,,,2.5.1 測量結(jié)果的評價,

13、2．精密度 表示測量結(jié)果中隨機誤差的大小程度，也簡稱為精度。隨機誤差的大小可用測量值的標準偏差 來衡量, 越小，測量值越集中，測量的精密度越高；反之，標準確偏差 越大，測量值越分散，測量精密度越低。,3．準確度 是測量結(jié)果系統(tǒng)誤差與隨機誤差的綜合，表示測量結(jié)果與真值的一致程度。在一定的測量條件下，總是力求測量結(jié)果盡量接近真值，即力求準確度高。,圖2.3 測量結(jié)果的圖形評價,（a）正確度高

14、、精密度低,©精密度、正確度均高,（b）精密度高、正確度低,1.誤差位對齊法 誤差位對齊法采用的方法是測量誤差的小數(shù)點后面有幾位，則測量數(shù)據(jù)的小數(shù)點后面也取幾位。,2.5.2 測量數(shù)據(jù)的整理,例：用一塊0.5級的電壓表測量電壓，當量程為10V時，指針落在大于8.5V的附近區(qū)域，這時測量數(shù)據(jù)應(yīng)取幾位？例：用一塊0.5級電壓表的100V量程進行測量，指示值為85.35V，試確定有效數(shù)字位數(shù)。,2．有效數(shù)字表示法（

15、1）有效數(shù)字 所謂有效數(shù)字，是指在測量數(shù)值中，從最左邊一位非零數(shù)字算起到含有存疑數(shù)字為止的各位數(shù)字。一般數(shù)據(jù)的最后一位是欠準確度的估計字，稱為存疑數(shù)字。,（2）數(shù)字的舍入規(guī)則（1） 小于5舍去——舍去部分的數(shù)值小于所保留末位的0.5個單位時，末位不變。（2） 大于5進1——舍去部分的數(shù)值大于所保留末位的0.5個單位時，末位增1。（3） 等于5時，取偶數(shù)——舍去部分的數(shù)值恰好等于所保留末位的0.5個單位時，則當末位是偶數(shù)

16、，末位不變；末位是奇數(shù)，末位增1（將末位湊成偶數(shù)）。,例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.69 25.3250→25.3217.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69 ，錯誤做法是： 0.694

17、99→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負誤差的概率近似相等。,常用被測量的量值和它的不確定度共同表示測量結(jié)果，表達式為

18、 式中 ——測量值的算術(shù)平均值； ——被測量的不確定度，一般為 在實際應(yīng)用中，常以絕對誤差的形式表示。,,,,,2.5.3 測量結(jié)果的表示方法,(2-31),(2-32),1．將測量數(shù)據(jù)按先后次序列表。2．用公式 求算術(shù)平均值。3．用公式 求每一次測量值的 剩余誤差

19、。4．用公式 計算標準差的估計 值 。,,,,2.5.4 等精度測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理,5.按萊特準則判斷粗大誤差，即根據(jù) 剔除壞值。6.重新計算 和 ，再判別有無粗大誤差。7.用公式 求算術(shù)平均值的標準 差估計值。8.用公式 求算術(shù)平均值的不確定度。9.寫出測量

20、結(jié)果的表達式 。,實驗曲線的繪制，通常采用平滑法和分組平均法。1．平滑法作圖 如圖2.4（a）所示，先將實驗數(shù)據(jù) 標在直角坐標上，再將 各點用折線依次相連，然后從起點到終點作一條平滑曲線，使其滿足以下等量關(guān)系

21、 式中 ——曲線以下的面積和； ——曲線以上的面積和。,,,2.5.5 實驗曲線的繪制,(2-33),平滑法作圖示意,,,,,,,如圖2.4(b)，將所有實驗數(shù)據(jù) 標在坐標上，先標出相鄰的兩個數(shù)據(jù)點連線的中點，再將所有中點連成一條光滑的曲線；或用3個數(shù)據(jù)點連線的重心點連成一條光滑曲線。由于取中點（或重心點）的過程就是取平均值的過程，所

22、以減小了隨機誤差的影響。,,,,2．分組平均法,分組平均法作圖示意,,2.6 最佳測量方案選擇,最佳測量方案是使總誤差為最小的測量方案，是使系統(tǒng)誤差和隨機誤差都減少到最小的測量方案。即做到即上述和式中每一項都達到最小時，總誤差就會最小。,,例：測量電阻R消耗的功率時，可間接測量電阻值R，電阻上的壓降U，流過電阻的電流I，設(shè)電阻、電壓、電流測量的相對誤差分別為γR=±2%，γU=±2%， γI=

23、7;3%，試確定測量的最佳方案。,本章小結(jié),由于儀器誤差、人身誤差、方法誤差和環(huán)境誤差的原因，所有的測量結(jié)果與真值都會有誤差。 誤差有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。 絕對誤差僅能說明測量結(jié)果偏離實際值的情況；相對誤差可以說明測量的準確度，可分為實際相對誤差、示值相對誤差、滿度相對誤差。,根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。 在實際測量時應(yīng)根據(jù)誤差性質(zhì)進行判斷和處理。 粗大誤差明顯偏離