分式方程的增根與無解 (教師版)

1、1分式方程的增根與無解分式方程的增根與無解分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個(gè)概念，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)分式方程后，常常會(huì)對(duì)這兩個(gè)概念混淆不清，認(rèn)為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事，事實(shí)上并非如此分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等它包含兩種情形

2、：（一）原方程化去分母后的整式方程無解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解現(xiàn)舉例說明如下：例1解方程①2344222?????xxxx解：方程兩邊都乘以（x2）（x2），得2（x2）4x=3（x2）②解這個(gè)方程，得x=2經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，原方程無意義，所以x=２是原方程的增根所以原方程無解【說明】顯然，方程①中未知數(shù)x的取值范圍是x≠2且x≠2而在去分母化為方程②后，此

3、時(shí)未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù)所以當(dāng)求得的x值恰好使最簡(jiǎn)公分母為零時(shí)，x的值就是增根本題中方程②的解是x＝2，恰好使公分母為零，所以x＝2是原方程的增根，原方程無解例2解方程22321??????xxxx解：去分母后化為x－1＝3－x＋2（2＋x）整理得0x＝8因?yàn)榇朔匠虩o解，所以原分式方程無解【說明】此方程化為整式方程后，本身就無解，當(dāng)然原分式方程肯定就無解了由此可見，分式方程無解不一定就是產(chǎn)生增根例3（2007湖北荊門）若方程=

4、無解，則m=——————32xx??2mx?解：原方程可化為=－32xx??2mx?方程兩邊都乘以x－2，得x－3=－m解這個(gè)方程，得x=3－m因?yàn)樵匠虩o解，所以這個(gè)解應(yīng)是原方程的增根即x=2，所以2=3－m，解得m=1故當(dāng)m=1時(shí)，原方程無解3使關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根的a的值是（）axxax2224222?????A.2B.－2C.D.與a無關(guān)?2解：解：去分母并整理，得：??ax22401?????因?yàn)樵匠痰脑龈鶠閤=2，把x=2

5、代入，得a2=4所以a??2故應(yīng)選C。例2.（1997年山東?。┤艚夥质椒匠坍a(chǎn)生增根，則m的值是（）21112xxmxxxx??????A.－1或－2B.－1或2C.1或2D.1或－2解：解：去分母并整理，得：xxm22201??????又原方程的增根是x=0或，把x=0或x=－1分別代入式，得：x??1m=2或m=1故應(yīng)選C。例3.（2001年重慶市）若關(guān)于x的方程有增根，則a的值為__________。axx????1110解：解：

6、原方程可化為：??ax?????1201又原方程的增根是，把代入，得：x?1x?1a??1故應(yīng)填“”。?1例4.（2001年鄂州市）關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根，求k的值。xxkx????323解：解：原方程可化為：??xxk?????231又原方程的增根為x=3，把x=3代入，得：k=3例5.當(dāng)k為何值時(shí)，解關(guān)于x的方程：只有增根x=1。??????1151112xxkxxkxx???????解：解：原方程可化為：????????xkxkx