數(shù)字信號(hào)處理高西全課后答案

1、1.4　習(xí)題與上機(jī)題解答　　1. 用單位脈沖序列δ(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。,題1圖,解： 　　x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)　　　　+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)　　2． 給定信號(hào)： 　 　　　　2n+5　　?。?≤n≤－1　　　　　　6　　　　　0≤n≤4　　　　　　0 其

2、它　　(1) 畫出x(n)序列的波形， 標(biāo)上各序列值； 　　(2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；,,,(x(n)=,（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 試畫出x1(n)波形； 　?。?） 令x2(n)=2x(n+2)， 試畫出x2(n)波形； 　?。?） 令x3(n)=x(2－n)， 試畫出x3(n)波形。 　　解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(

3、n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4),（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。 　　(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（三）所示。 　　(5) 畫x3(n)時(shí)， 先畫x(

4、－n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示。,題2解圖（一）,題2解圖（二）,,題2解圖（三）,題2解圖（四）,3． 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。 ,(1),(2),解： （1） 因?yàn)棣?　　π, 所以　　　　　, 這是有理數(shù)， 因此是周期序列， 周期T=14。　　（2） 因?yàn)棣?　　, 所以　　　=16π, 這是無理

5、數(shù)， 因此是非周期序列。,4． 對(duì)題1圖給出的x(n)要求： 　　(1) 畫出x(－n)的波形； 　　(2) 計(jì)算xe(n)=　?。踴(n)+x(－n)］， 并畫出xe(n)波形； 　　(3) 計(jì)算xo(n)= 　 ［x(n)－x(－n)］， 并畫出xo(n)波形; 　(4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 將x1(n)與x(n)進(jìn)行比較， 你能得到什么結(jié)論？,解：（1） x(－n)的波形如題4解圖（一）所示。

6、　　(2) 將x(n)與x(－n)的波形對(duì)應(yīng)相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫無疑問， 這是一個(gè)偶對(duì)稱序列。 xe(n)的波形如題4解圖（二）所示。 　　(3) 畫出xo(n)的波形如題4解圖（三）所示。,,,題4解圖（一）,題4解圖（二）,,,題4解圖（三）,(4) 很容易證明： 　　　　　x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)　　上面等式說明實(shí)序列可以分解成偶對(duì)稱序列和奇對(duì)稱序列。 偶對(duì)稱序列可以用題

7、中(2)的公式計(jì)算， 奇對(duì)稱序列可以用題中(3)的公式計(jì)算。 　　5． 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的?！?（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)　　 （2）y(n)=2x(n)+3　　 （3）y(n)=x(n－n0)　　n0為整常數(shù)　　 （4）y(n)=x(－n),（5）y(n)=x2(n)　

8、（6）y(n)=x(n2)　 （7）y(n)=　　　 （8）y(n)=x(n)sin(ωn)　　解： （1） 令輸入為　　　　　　　　x(n－n0)輸出為 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n),故該系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。

9、因?yàn)?y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］　　 T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)　　 T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)所以

10、 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（2） 令輸入為　　　　　　　　　x(n－n0)輸出為　　　　　　y′(n)=2x(n－n0)+3　　　　　　y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)故該系統(tǒng)是非時(shí)變的。 由于　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3　　　T［ax1(n)］=2ax1(n)+3

11、　　　T［bx2(n)］=2bx2(n)+3　　　T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,,(3) 這是一個(gè)延時(shí)器， 延時(shí)器是線性非時(shí)變系統(tǒng)， 下面證明。 令輸入為　　　　　　　　x(n－n1)輸出為　　　　y′(n)=x(n－n1－n0)　　　　y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)故延時(shí)器是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于　　T［ax1(n)+bx2(n)］=a

12、x1(n－n0)+bx2(n－n0)　　　　　　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故延時(shí)器是線性系統(tǒng)。,(4) y(n)=x(－n)　　令輸入為　　　　　　　　　x(n－n0)輸出為　　　　y′(n)=x(－n+n0)　　　　y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 由于　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n)　　　　　　　　　　　=aT［

13、x1(n)］+bT［x2(n)］因此系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。,（5） y(n)=x2(n)　　令輸入為 x(n－n0)　　輸出為　　　　y′(n)=x2(n－n0)　　　　y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)故系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠a

14、T［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,,（6） y(n)=x(n2)　　令輸入為　　　　　　　x(n－n0)輸出為　　　　y′(n)=x((n－n0)2)　　　　y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)故系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于　　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2)　　　　　

15、　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（7） y(n)=　　x(m)　　令輸入為　　　　　　　x(n－n0)　　輸出為 　　　　y′(n)=　　=0[DD)]x(m-n0)　　　　y(n－n0)=　　x(m)≠y′(n)故系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。 由于　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=　　?。踑x1(m)+bx2(m)］　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系統(tǒng)是線性系

16、統(tǒng)。,,（8） y(n)=x(n) sin(ωn)　　令輸入為　　　　　　　x(n－n0)　　輸出為　　　　y′(n)=x(n－n0) sin(ωn)　　　　y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n)故系統(tǒng)不是非時(shí)變系統(tǒng)。 由于　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn)　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系統(tǒng)是線性系

17、統(tǒng)。,6． 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。  （1） y(n)=　　　　x(n－k) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= 　　x(k) （4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n),解：（1）只要N≥1， 該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)， 因?yàn)檩敵鲋慌cn時(shí)刻的和n時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。 　 如果|x(n)|≤

18、M， 則|y(n)|≤M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。?。?） 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)間的輸出還和n時(shí)間以后（（n+1）時(shí)間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|≤M, 則|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。　?。?） 如果|x(n)|≤M， 則|y(n)|≤　　|x(k)|≤|2n0+1|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 假設(shè)n0>0， 系統(tǒng)是非因果的， 因?yàn)檩敵鲞€和x(n)的將來值有關(guān)。,（4）假

19、設(shè)n0>0， 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)刻輸出只和n時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|≤M, 則|y(n)|≤M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。　　（5） 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。 如果|x(n)|≤M, 則|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。　　7． 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形?！　?/p>

20、解： 解法（一）采用列表法?！?　y(n)=x(n)*h(n)=　　　x(m)h(n－m),題7圖,y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},解法（二）　采用解析法。 按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式分別為　　　x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)　　　h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ 　δ(n－2)

21、由于　　　x(n)*δ(n)=x(n)　　　x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故,y(n)=x(n)*h(n)　　　 =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ =2x(n)+x(n－1)+　　x(n－2)將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2)

22、 +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5),8. 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。 　?。?） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)　　（2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2)　?。?） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)　　解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=　　　R4(m)R5(n－m

23、) 先確定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)確定y（n）對(duì)于m的　　非零區(qū)間如下:　　　　　　　　　　0≤m≤3　　　　　　　　　?。?≤m≤n,根據(jù)非零區(qū)間， 將n分成四種情況求解： ① n7時(shí)， y(n)=0,最后結(jié)果為 0 n7 n+1 0≤n≤3

24、 8－n　4≤n≤7y(n)的波形如題8解圖（一）所示。 　　(2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)　　　　 =2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］y(n)的波形如題8解圖（二）所示,,,y(n)=,題8解圖（一）,,題8解圖（二）,(3) y(n)=x(n)*h(n) = 　　　R5(m)0.5n

25、－mu(n－m)　　　=0.5n　　　R5(m)0.5－mu(n－m)y（n）對(duì)于m 的非零區(qū)間為 　　　　　　　　0≤m≤4,　 m≤n　?、?n<0時(shí)， y(n)=0　　② 0≤n≤4時(shí)，,=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n,③ n≥5時(shí),最后寫成統(tǒng)一表達(dá)式： y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5),9． 證明線性卷

26、積服從交換律、 結(jié)合律和分配律， 即證明下面等式成立： 　?。?） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)　?。?） x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n)　?。?） x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)　　證明： （1） 因?yàn)榱頼′=n－m, 則,,,(2) 利用上面已證明的結(jié)果， 得到,交換求和號(hào)的次序， 得到,,,,,10

27、． 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測(cè)數(shù)據(jù)， 設(shè)x(n)={x0, x1, x2, …, xk, …}， 試?yán)眠f推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。 遞推時(shí)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。,,解：,,n=0時(shí)，,n≥0,,n=1時(shí)，,,,n=2時(shí)，,最后得到,,11． 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：,,設(shè)系統(tǒng)是因果的， 利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。,解： 令x(n)=δ(n), 則,,n=0時(shí)，,,

28、n=1時(shí)，,,,n=2時(shí)，,,n=3時(shí)，,,歸納起來， 結(jié)果為,,12. 設(shè)系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述， 初始條件y(-1)=0， 試分析該系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變系統(tǒng)。 　　解： 分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為δ(n)、 δ(n－1)、 δ(n)+δ(n－1)時(shí)， 求它的輸出， 再檢查是否滿足線性疊加原理和非時(shí)變性。 　　（1） 令x(n)=δ(n), 這時(shí)系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。,,該

29、情況在教材例1.4.1 中已求出， 系統(tǒng)的輸出為　　　　　　　　　　y1(n)=anu(n),(2) 令x(n)=δ(n－1)， 這時(shí)系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。,,n=0時(shí)，,,n=1時(shí)，,,n=2時(shí)，,,,任意 n 時(shí)，,最后得到,(3) 令x(n)=δ(n)+δ(n－1), 系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。,,n=0時(shí)，,n=1時(shí)，,,n=2時(shí)，,n=3時(shí)，,任意 n 時(shí)，,,,最后得到,,由（1）和（2）得到　　y1(n)=

30、T［δ(n)］, y2(n)=T［δ(n－1)］　　y1(n)=y2(n－1)因此可斷言這是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。 情況（3）的輸入信號(hào)是情況（1）和情況（2）輸入信號(hào)的相加信號(hào)， 因此y3(n)=T［δ(n)+δ(n－1)］。 觀察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y(tǒng)3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 最后得到結(jié)論： 用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n), 0<a<1描寫的系統(tǒng)，

31、 當(dāng)初始條件為零時(shí)， 是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。,13． 有一連續(xù)信號(hào)xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2。　　（1） 求出xa(t)的周期；　　（2） 用采樣間隔T=0.02 s對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣， 試寫出采樣信號(hào) 　　　的表達(dá)式；　?。?） 畫出對(duì)應(yīng)　　 的時(shí)域離散信號(hào)（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 　　解： （1） xa(t)的周期為

32、,,,,（2）,（3） x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π， 故　　　　， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8πn+π/2)畫出其波形如題13解圖所示。,,題13解圖,14. 已知滑動(dòng)平均濾波器的差分方程為,,（1） 求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)；　?。?） 如果輸入信號(hào)波形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示， 試求出y(n)并畫出它的波形

33、?！　〗猓?（1） 將題中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應(yīng)， 即,,（2） 已知輸入信號(hào)， 用卷積法求輸出。 輸出信號(hào)y(n)為,,表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計(jì)算時(shí)， 表中x(k)不動(dòng)， h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(－k)， h(n－k)則隨著n的加大向右滑動(dòng)， 每滑動(dòng)一次， 將h(n－k)和x(k)對(duì)應(yīng)相乘， 再相加和平均， 得到相應(yīng)的y(n)。 “滑動(dòng)平均”清楚地表明了這種計(jì)算過程。 最

34、后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動(dòng)平均濾波器可以消除信號(hào)中的快速變化， 使波形變化緩慢。,15*. 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號(hào)分別為,,,用遞推法計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 　　解： 求解程序ex115.m如下： 　　%程序ex115.m　　% 調(diào)用filter解差分方程y(n)+0.5y(n－1)=x(n)+2x(n－2)　　xn=［1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)

35、］； 　　　　%x(n)=單位脈沖序列， 長度N=31　　B=［1， 0， 2］； A=［1， 0.5］； %差分方程系數(shù),yn=filter(B， A， xn) %調(diào)用filter解差分方程， 求系統(tǒng)輸　　　　　　　　　　　　　出信號(hào)y(n)　　n=0： length(yn)－1； 　　subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， ′.′) ； 　　axis(［1， 15， －2， 8］)

36、　　title(′系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) ′)； xlabel(′n′)； 　　　　ylabel(′y(n)′)程序運(yùn)行結(jié)果：,yn =[1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656　 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0

37、063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000]程序運(yùn)行結(jié)果的y(n)波形圖如題15*解圖所示。,,題15*解圖,16*. 已知兩個(gè)系統(tǒng)的差分方程分別為　 （1）y(n)=0.6y(n－1)－0.08y(n－2)+x(n) ?。?）y(n)=0.7y(n－1

38、)－0.1y(n－2)+2x(n)－x(n－2)　　分別求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)。 　　解： （1） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為　　　　　B1=1， A1=［1， －0.6， 0.08］　?。?） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為　　　　　B2=［2， 0， －1］, A2=［1， －0.7， 0.1］,,2.5　習(xí)題與上機(jī)題解答　　1． 設(shè)X(ejω)和Y(ejω)分別是x(n)和y(n)的傅里

39、葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換： 　　(1) x(n－n0) (2) x*(n)　　(3) x(－n) (4) x(n)*y(n)　　(5) x(n)y(n) (6) nx(n)　　(7) x(2n) (8) x2(n),,(9),解：（1）,,令n′=n－n

40、0, 即n=n′+n0， 則,,（2）,,（3）,,令n′=－n， 則,,（4） FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω) 下面證明上式成立：,,,令k=n－m, 則,,（5）,,,或者,（6） 因?yàn)?,對(duì)該式兩邊ω求導(dǎo)， 得到,,因此,（7）,,令n′=2n， 則,,,或者,（8）,,利用（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則,,（9）,,令n′=n/2， 則,,2． 已知,,,≤,求X(e

41、jω)的傅里葉反變換x(n)。,解：,,3. 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)， 如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列， 試證明輸入x(n)=A cos(ω0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,,解： 假設(shè)輸入信號(hào)x(n)=ejω0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)， 則系統(tǒng)輸出為,,上式說明當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)， 輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列， 且頻率相同， 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。 利用該性

42、質(zhì)解此題：,,,,,上式中|H(ejω)|是ω的偶函數(shù)， 相位函數(shù)是ω的奇函數(shù)， |H(ejω)|=|H(e-jω)|， θ(ω)=－θ(－ω), 故,,4．設(shè),,將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓， 形成周期序列　　　， 畫出x(n)和　　　的波形， 求出　　　的離散傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。,,,解： 畫出x(n)和　　　的波形如題4解圖所示。,,,題4解圖,或者,,,,5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表

43、示， 不直接求出X(ejω)， 完成下列運(yùn)算或工作：,題5圖,,(1),(2),,(3),,(4) 確定并畫出傅里葉變換實(shí)部Re［X(ejω)］的時(shí)間序列xa(n)；,,(5),(6),,解　(1),,(2),(3),（4） 因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列的共軛對(duì)稱部分， 即,,,按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。,題5解圖,(5),,(6) 因?yàn)?,因此,,6． 試求如下序列的傅里葉變換：　　(1) x1(n)=δ(n－3

44、),(2),(3) x3(n)=anu(n)　　　　0<a<1　(4) x4(n)=u(n+3)－u(n－4)　解,(1),,(2),,(3),,(4),,,,或者:,,,,,,,7． 設(shè)： 　　（1） x(n)是實(shí)偶函數(shù)， 　?。?） x(n)是實(shí)奇函數(shù)， 分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 　　解：令,,(1) 因?yàn)閤(n)是實(shí)偶函數(shù)， 對(duì)上式兩邊取共軛， 得到,,因此

45、 X(ejω)=X*（e－jω）上式說明x(n)是實(shí)序列， X(ejω)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)。,,由于x(n)是偶函數(shù)， x(n) sinω是奇函數(shù)， 那么,,因此,,該式說明X(ejω)是實(shí)函數(shù)， 且是ω的偶函數(shù)。 　　總結(jié)以上, x(n)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)， 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換X(ejω)是實(shí)函數(shù)， 是ω的偶函數(shù)。 　　 （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)。 上面已推

46、出， 由于x(n)是實(shí)序列， X(ejω)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)， 即 　　　　　　　 X(ejω)=X*(e－jω),,,由于x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(n) cosω是奇函數(shù)， 那么,,因此,,這說明X(ejω)是純虛數(shù)， 且是ω的奇函數(shù)。 　　8． 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對(duì)稱序列xe(n)和共軛反對(duì)稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 ,解：,,,xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。

47、,題8解圖,,9．已知x(n)=anu(n), 0<a<1， 分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。　　解：,,因?yàn)閤e(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ejω)的實(shí)部， xo(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ejω)的虛部乘以j， 因此,,,10． 若序列h(n)是實(shí)因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如下式： 　　　　　　　　　HR(ejω)=1+cosω求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。 　　解

48、：,,,,,11． 若序列h(n)是實(shí)因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為　　　　　　　　HI(ejω)=－sinω求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。 　　解：,,,,,,12． 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n), 0<a<1， 輸入序列為　　　　　　　x(n)=δ(n)+2δ(n－2)完成下面各題： 　　(1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)； 　 (2) 分別求出x(n)

49、、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 　　解　(1),,(2),,,13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣， 得到采樣信號(hào)　　　和時(shí)域離散信號(hào)x(n)， 試完成下面各題： 　?。?） 寫出　　　的傅里葉變換表示式Xa(jΩ)； 　　（2） 寫出　　　和x(n)的表達(dá)式； 　　（3） 分別求出　　　的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換

50、。 　　解：,,,上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異函數(shù)δ函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成：,（2）,,,,（3）,式中,,,式中　　　　　　ω0=Ω0T=0.5π rad　　上式推導(dǎo)過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)δ函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。 　　14． 求出以下序列的Z變換及收斂域:　　(1) 2－nu(n)(2) －2－nu(－n－1)　　(3) 2－n

51、u(－n)(4) δ(n)　　(5) δ(n－1)(6) 2－n［u(n)－u(n－10)］,,解　(1),,(2),,(3),(4) ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞　　(5) ZT［δ(n－1)］=z－10<|z|≤∞　　(6),,≤,15． 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點(diǎn)分布圖。 　　(1) x(n)=RN(n)　　N=4　　(2) x(n)=Arn cos(ω

52、0n+j)u(n)r=0.9, ω0=0.5π rad, j=0.25 π rad　　(3),,≤,≤,≤,≤,式中， N=4。,解　(1),,由z4－1=0， 得零點(diǎn)為,,由z3(z－1)=0， 得極點(diǎn)為 z1, 2=0, 1零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點(diǎn)相互對(duì)消。,題15解圖,(2),,,,,零點(diǎn)為,,極點(diǎn)為

53、,,極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示。　　(3)　令y(n)=R4(n), 則　　　　　x(n+1)=y(n)*y(n)　　　　　zX(z)=［Y(z)］2, X(z)=z－1［Y(z)］2,因?yàn)?,因此,,極點(diǎn)為　　　　z1=0, z2=1　　零點(diǎn)為,,在z=1處的極零點(diǎn)相互對(duì)消， 收斂域?yàn)?<|z|≤∞， 極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(c)所示。,,16． 已知,,求出對(duì)應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。 

54、　　解： X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|<0.5，0.5<|z|<2， 2<|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 　　（1）收斂域|z|<0.5：,,令,,n≥0時(shí)， 因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0;　　n≤－1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0 ， 但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)有z1

55、=0.5, z2=2， 那么,,(2)　收斂域0.5<|z|<2:,,n≥0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，,,n<0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 0 ， 但 0 是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即2，　　　x(n)=－Res［F(z), 2］=－2 · 2nu(－n－1)最后得到,,,（3）收斂域|z|<2:,,n≥0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 2，,,n<0時(shí)，

56、由收斂域判斷， 這是一個(gè)因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無極點(diǎn)， 所以x(n)=0。,最后得到,,17． 已知x(n)=anu(n), 0<a<1。 分別求： 　　(1) x(n)的Z變換；　　(2) nx(n)的Z變換；　　(3) a－nu(－n)的Z變換。　　解： (1),,,(2),(3),,18． 已

57、知,,分別求： 　　（1） 收斂域0.52對(duì)應(yīng)的原序列x(n)。 ,解：,,,（1） 收斂域0.5<|z|<2:　　n≥0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，　　　　x(n)=Res［F(z), 0.5］=0.5n=2－nn<0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有2， 　　　　　　x(n)=－Res［F(z), 2］=2n,最后得到

58、 x(n)=2－nu(n)+2nu(－n－1)=2－|n|　　∞2:　　n≥0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2，,,n<0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， 可是c外沒有極點(diǎn)， 因此　　　　　　　　　　x(n)=0最后得到 　　　　　　　　　x(n)=(0.5n－2n)u(n)　　19． 用部分分式法求以下X(z)的反變換：,,(1),(2),,

59、解： (1),,,,(2),,,,,20． 設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示：,試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ejω)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ejω)。,解： 解法一,,,令m′=n+m, 則,,解法二,,,因?yàn)閤(n)是實(shí)序列， X(e－jω)=X*(ejω)， 因此,,21． 用Z變換法解下列差分方程： 　　(1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n

60、)， y(n)=0 n≤－1　　(2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(－1)=1， y(n)=0　n<－1　　(3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n) y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n≤－3時(shí)。　　解： 　　(1) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)， y(n)=0　　n≤－1,,

61、,n≥0時(shí)，,,n<0時(shí)， y(n)=0最后得到 y(n)=［－0.5 · (0.9)n+1+0.5］u(n),(2) y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n), y(－1)=1, y(n)=0 n<－1,,,,,n≥0時(shí)，,,n<0時(shí)，

62、 y(n)=0最后得到 y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n),(3) y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)　　y(－1)=0.2, y(－2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n<－2時(shí)Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z

63、+y(－2)z2］=1,,,,n≥0時(shí)，,,y(n)=－4.365 · 0.3n+6.375 · 0.5nn<0時(shí), y(n)=0最后得到 y(n)=(－4.365 · 0.3n+6.375 · 0.5n)u(n),22． 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,,（1） 在z平面上用幾

64、何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)， 即|H(ejω)|=常數(shù)；　?。?） 參數(shù) a 如何取值， 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點(diǎn)分布及收斂域。 　　解：,,(1),極點(diǎn)為a, 零點(diǎn)為a－1。 　　設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖如題22解圖(a)所示。 我們知道|H(ejω)|等于極點(diǎn)矢量的長度除以零點(diǎn)矢量的長度， 按照題22解圖(a)， 得到,,因?yàn)榻铅毓茫?,，且△AOB~△AOC， 故,,，即,,,故

65、H(z)是一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò)。 　　或者按照余弦定理證明:,,,,題22解圖,（2） 只有選擇|a|<1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。 　　23． 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： 　　　　　　　　y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)　?。?） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并畫出極零點(diǎn)分布圖；　?。?） 限定系統(tǒng)是因果的， 寫出H(z)的收斂域， 并

66、求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)；　?。?） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。 　　解： 　　 （1） y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)　　將上式進(jìn)行Z變換， 得到 　　　　　　　Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1,,因此,,,零點(diǎn)為z=0。 令z2－z－1=0， 求出極點(diǎn)：,,,極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示。,,題23

67、解圖,(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的， 收斂域需選包含∞點(diǎn)在內(nèi)的收斂域， 即　　　　　　　。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法， 一種是令輸入等于單位脈沖序列， 通過解差分方程， 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； 另一種方法是求H(z)的逆Z變換。 我們采用第二種方法。,,,式中,,，,令,,n≥0時(shí)， h(n)=Res［F(z), z1］+Res［F(z), z2］,,因?yàn)閔(n)是因果序列,

68、n<0時(shí)， h(n)=0， 故,,(3) 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域， 即|z2|<|z|<|z1|,,,n≥0時(shí)， c內(nèi)只有極點(diǎn)z2， 只需求z2點(diǎn)的留數(shù)，,,,n<0時(shí)， c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)： z2和z=0， 因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即z1, 那么,,最后得到,,24． 已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述： 　　　

69、　y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1)　?。?） 求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)； 　　（2） 寫出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)的表達(dá)式， 并定性畫出其幅頻特性曲線； 　　（3） 設(shè)輸入x(n)=ejω0n， 求輸出y(n)。 　　解： 　　 （1） y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1)　　　　　　Y(z)=0.9Y(z)z－1+X(z)+0.9X