王淑華固體物理答案-第一章

1、第一章 晶體結(jié)構(gòu)和X射線衍射,1.1 指出立方晶格（111）面與（110）面的交線的晶向。,答：解: 立方晶格（111）面與（110）面的交線為AB，其等效晶向為,,,,1.2 在圖中，試求(1)晶列ED、FD和OF的晶列指數(shù)；(2)晶面AGK、FGIH和MNLK的密勒指數(shù)；(3)畫出晶面 、 。,解：,(3)晶面,(2)各晶面的密勒指數(shù)分別為,(1)各晶列指數(shù)分別為ED,從

2、圖得知，,、FD,、OF,FGIH(201)、AGK,、MNLK,和晶面,如圖所示,由,得,同理,解：,（1）體心立方,（2）面心立方,證明：,,所以,得,證明：,設(shè)想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性,原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為結(jié)構(gòu)的致密度。,設(shè)n為一個晶胞中的剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑，V,則致密度,表示晶胞體積，,（1）,對簡立方晶體，任一原子有6個最近臨，若原子以剛性球,堆積，如圖1.1所示，,因為a=

3、2r,,，晶胞內(nèi)包含1個原子，,中心在1，2，3，4處的原子球?qū)⒁淮?相切。,所以,（2）,對體心立方晶體，任一個原子有8個最近臨，若原子以剛,性球堆積，如圖1.2所示，,位置的原子球相切。,，,，,晶胞內(nèi)包含2個原子，,所以,體心位置O的原子與處在8個角頂,因為晶胞空間對角線的長度為,（3）,對面心立方晶體，任一個原子有12個最近臨，若原子以,剛性球堆積，如圖1.3所示，,面心原子球相切。,1個晶胞內(nèi)包含4個,原子，,所以,中心位于角

4、頂?shù)脑优c相鄰的3個,因為,（4）,對六角密積結(jié)構(gòu)，任一個原子有12個最近臨，若原子以,剛性球堆積，如圖1.4所示，,即O點與中心在5，7，8處的原子分布在正四面體的四個頂上，,4的原子相切，中心在5的原子與中心在6，7，8的原子相切，晶胞內(nèi)的原子O與中心在1，3，4，5，7，8處的原子相切，,中心在1的原子與中心在2，3，,因為四面體的高,晶胞體積,一個晶胞內(nèi)包含兩個原子，所以,（5）,對金剛石結(jié)構(gòu)，任一個原子有4個最近臨，若原子以

5、剛,性球堆積，如圖1.6所示，,原子與中心在1，2，3，4處的面心原子相切。,因為,晶胞體積,一個晶胞中包含8個原子，,所以,中心在空間對角線四分之一處的O,1.7 證明：用半徑不同的兩種硬球構(gòu)成下列穩(wěn)定結(jié)構(gòu)時小球半徑和大球半徑之比值分別為(1)體心立方（配位數(shù)為８）： ；(2)簡單立方（配位數(shù)為６）： ；(3)正四面體結(jié)構(gòu)（配位數(shù)為

6、４）： ；(4)層狀結(jié)構(gòu)（配位數(shù)為３）： 。,解：半徑相同的原子才可能構(gòu)成密積結(jié)構(gòu)，配位數(shù)等于12。如原子球半徑不等，就不可能形成密積結(jié)構(gòu)，配位數(shù)必低于12。,因此，對于體心立方，,(1)體心立方設(shè)小球位于立方體中心，大球位于立方體頂角，立方體的邊長a=2R，空間對角線長為。當(dāng)小球恰與大球相切時，將形成穩(wěn)定的體心立方結(jié)構(gòu)。此時，小

7、球的半徑,若r/R<0.73，小球在體心處可以搖動，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，因此 不能以體心結(jié)構(gòu)存在，只能取配位數(shù)較低的簡單立方結(jié)構(gòu)。,所以,由圖看出，,若r/R<0.23時，則得到層狀結(jié)構(gòu)。,因此，對于四面體結(jié)構(gòu)，,當(dāng)r/R<0.41時，又只能取配位數(shù)更低的四面體結(jié)構(gòu)。,所以,1.8: 證明體心立方格子和面心立方格子互為正、倒格子。,,倒格矢：,,同理得:,體心立方的倒格子是邊長為4?/a的面心立方 。,1.9 證明倒格點陣

8、的倒格點陣是正格點陣本身。,證明：,則,又,所以,可知,同理得,1.10證明:,證明:,晶棱(晶面的交線)互相平行的晶面組合成晶帶,互相平行的晶棱的共同方向稱為該晶帶的帶軸.,由定義可知,帶軸與該晶帶中的平面的法線互相垂直.,表示帶軸方向;,表示平面(h1h2h3)的法線方向;,那么,由倒格子的性質(zhì):,晶帶軸[l1l2l3]與該晶帶中的平面(h1h2h3)滿足下述關(guān)系,,證明：當(dāng)三個晶面屬于同一晶帶時，它們兩兩的交線必互相平行。設(shè)這些

9、互相平行的交線的共同方向即晶帶軸的方向為[uvw]，用格矢量,,表示。,利用正交關(guān)系,,(2),(3),欲要u、v、w不同時為零，即要方程組(1)、(2)、(3)有非零解，由線性方程理論知道，其系數(shù)行列式必須為零，于是得到,,解：,晶胞體積為,其倒格基失為,倒格失為,因而,利用矢量乘積公式,得到,所以,,因為,代入上式得,因而倒格子原胞的面積等于,比較(1)、(2)兩式，即得,證明：,如圖所示，,設(shè),和,為晶列（hk）中相鄰的兩條

10、，,通過原點o,,（hk）中最近臨原點的一條。,是,按照密勒指數(shù)的意義，,在基失,、,的截距為,（1）,由圖可見，,由正倒格子基失間的關(guān)系,可得,由圖可以看出，晶列間距,（2）,證明：,設(shè)d為晶面族,的面間距， 為法向單位矢量，,根據(jù),晶面族的定義，晶面族,將 分別截為,等份，,即,于是有,（1）,其中，,分別為平行于,三個坐標(biāo)軸的單位矢量。,而晶列,的方向矢量為,（2）,由（1），（2）兩式得,即,與,平行。,因此晶

11、列 與晶面 正交。,晶面,與晶面,的夾角，,對于立方晶系，,就是晶列,與晶列,的夾角。,設(shè)晶面,與晶面,的夾角為 ，,由,得,1.17： 試求面心立方和體心立方晶格中粒子密度最大的晶面,并計算這個最大面密度的表達式.,解:,由倒格子的性質(zhì)知晶面族(h1h2h3)的面間距:,由面心立方,正格矢,,,對于布喇菲格子, ?是常數(shù),因此d大的晶面?就大,這樣的晶面是解理面.,,(上述晶面對應(yīng)于結(jié)晶學(xué)

12、原胞的{111}面),面心立方結(jié)構(gòu)的粒子體密度,當(dāng)(h1h2h3)是晶面{100}和{111}時, 取最小值 ,這時面上的粒子密度最大.,體心立方:,(上述晶面對應(yīng)于結(jié)晶學(xué)原胞的{110}面),當(dāng)(h1h2h3)是晶面{100}和{ }時, 取最小值 ,這時面上的粒子密度最大.,體心立方結(jié)構(gòu)的粒子體密度,解：設(shè)晶面族(hkil)的面間距為d， 晶面法線方向的

13、單位矢量為 。,,由于,,,，,,本題也可以采用晶面(ABC)截割坐標(biāo)軸后的面積關(guān)系求解。,于是，,約去公因子，并用hkl乘等式兩邊即得(2)式。,若題中各個(hkl)晶面改用(hkil)表示，則分別為,在圖中，,,證明：設(shè)有一任意格矢,,,此六面體的體積,,(1),,,或用體密度,表示為,,(2),,(3),(2)、(3)式中均用了(1)式的結(jié)果。,對于布喇菲格子，一個原胞只含一個離子，即,,于是(3)式變?yōu)?聯(lián)立(2)、(

14、4)兩式則可得到結(jié)果,,（4）,,設(shè)ABC為所述晶面，,,,,而矢量,,,單位法向矢量,,,(3)對于簡單立方晶格，若以a表示晶格常數(shù)，則原胞的基矢,因此,倒格子基矢,,,因而,,所以,,,,應(yīng)用(1)式，,,,(2),(3),,,,,(4),,,結(jié)合前述,,,,,,即,,,(5),(5)式中最后一個等式已使用式(4)進行化簡。于是，三角布喇菲原胞的體積,把(6)式代入式(3)并將等式兩邊開平方即得,,,,如圖選取六重軸為x軸，并令電

15、場沿x軸正方向，,(1),,,,(3),但是，上述轉(zhuǎn)動不過是六角晶體的一個對稱操作，轉(zhuǎn)動前后,將(2)式和(3)式代入可得,(5),若對z軸作相同的討論，同理得到,(6),如再取電場沿六角形頂點A的方向，如圖所示，,代入(1)式并注意到(4)式，則有,,,,,,,即,從上式解得,綜合(4)(5)(6)諸式，得,,,,(1),,,由于上述轉(zhuǎn)動是立方晶體的一個對稱操作，電場沒有改變，,,應(yīng)有,由(2)式和(3)式得,,若再取電場沿[111]

16、方向，,，則有,,,由上面可得，具有立方對稱性的晶體的介電常數(shù)張量為,或,,因為,1.24 試導(dǎo)出簡單單斜晶系、六角晶系、四方晶系中晶面族面間距的表達式。,解：,,,原胞體積,倒格子基矢長度,,同樣可得,,,而,,,,,,,,,故有,,,把前面有關(guān)的各項結(jié)果代入，稍加整理即得,,,因而,,,,原胞體積,倒格基矢,而,,,,把這些結(jié)果代入(1)式經(jīng)整理后即得,對于四方晶系,,建如下坐標(biāo)，使,,,原胞的體積,,倒格子基矢,,,,,而,,因而

17、,,將前述各項結(jié)果代入上式，稍加整理即得,,證明：,由題已知，,設(shè)衍射波矢為,又簡立方正格矢,其倒格矢,由衍射極大條件,可知,（1）,又因,代入可知,所以,因為,所以,即衍射光線在 平面上。,(1),(2),注意到對于立方晶系，,式(2)化簡為,,(3),將(1)式中各等式兩邊平方，然后相加，則得到,代表它們間的夾角，,代入(3)式，得,,則,1.27 試討論面心立方結(jié)構(gòu)衍射面指數(shù)和衍射強度的關(guān)系。,解：,在結(jié)晶學(xué)中，面心立方

18、結(jié)構(gòu)的原胞包含4個原子，,其坐標(biāo)為,。,如晶體由一種原子組成，,將各原子坐標(biāo)代入得,解：,已知,因,又因為,所以衍射面指數(shù)與幾何結(jié)構(gòu)因子的關(guān)系為：,所以衍射面指數(shù)與衍射強度的關(guān)系為：,1.29: 設(shè)由原子A和B組成的一維雙原子晶體中,原子A和B的散射因子分別為fA和fB,A與B之間的距離為a\2,X射線垂直于原子線入射,試證明:,(1)干涉條件是n?=acos?(?是衍射光束與原子線間的夾角);,(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,衍射強度,當(dāng)n為偶

19、數(shù)時,衍射強度,解:,相鄰兩結(jié)點散射波的波程差為PQ,PQ=acos?,當(dāng)波程差為波長的整數(shù)倍時,干涉相長,即干涉條件是,n?=acos?,(2),一個晶胞包含兩個原子,其位矢為:,正格矢:,倒格矢:,解：由于CuCL具有ZnS結(jié)構(gòu)，一個晶胞中含有4個Cu原子和4個CL原子，或者說是4個CuCL分子。已知Cu和CL的原子量分別為63.54和35.457，故1molCuCL的質(zhì)量M=(65.53+35.457)g。,，應(yīng)有,,此處,為

20、阿伏加德羅常數(shù)。,設(shè)晶格常數(shù)為a，晶格的密度為,于是,,,根據(jù)布拉格衍射公式，對于一級,衍射(n=1)，得到,1.31 用波長為,的X射線投射到鉭的粉末上，得到前,如下：,,面幾條衍射譜線的布喇格角,已知鉭為體心立方結(jié)構(gòu)，試求：(1)各譜線對應(yīng)的衍射晶面族的面指數(shù)；(2)上述各晶面族的面間距；(3)利用上兩項結(jié)果計算晶格常數(shù)a。,解：對于體心立方結(jié)構(gòu)，衍射光束的相對強度由下式確定：,,(200)、(211)、(220)和(31

21、0)的散射。,,（n=1）,即,,考慮一級衍射，n=1。,顯然，當(dāng)衍射面指數(shù)之和(h+k+l)為,奇數(shù)時，衍射條紋消失。,只有當(dāng)(h+k+l)為偶數(shù)時，才能產(chǎn),生相長干涉。,因此，所給譜線應(yīng)依次對應(yīng)于晶面(110)、,由布拉格公式,同法得,,,,應(yīng)用立方晶系面間距公式,,可得晶格常數(shù),,把上面各晶面指數(shù)和它們對應(yīng)的面間距數(shù)值代入，依次求得,為,a的數(shù)值,3.2456,3.2668,3.2767,3.2835,3.2897,,取其平均值則

22、得到,解：(1) 對于一級衍射，布拉格衍射公式為,(n=1),從而,當(dāng),時，衍射角,于是,,,=7.01:4.96:4.048=1:0.707:0.577 (1),當(dāng),時，衍射角,同理得,(2),另一方面，對于體心立方結(jié)構(gòu)，只有面指數(shù)之和(h+k+l)為偶數(shù)的晶面族才能產(chǎn)生一級衍射亮紋，因此最初的三條亮紋應(yīng)該是依次由晶面族(110)、(200)、(211)所產(chǎn)生的。,,(3),因此可得,已知立方晶系晶面族(hk