王進明 初等數(shù)論 習題解答

1、王進明 王進明 初等數(shù)論 初等數(shù)論 習題及作業(yè)解答 習題及作業(yè)解答P17 習題 1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12 為作業(yè)。1．已知兩整數(shù)相除，得商 12，余數(shù) 26，又知被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)之和為454．求被除數(shù).解： 12 26, 12 26 454, a b a b ? ? ? ? ? ? 12 26 12 26 454, b b ? ? ? ? ?b=30, 被除數(shù) a=12b+26=360. (12 1)

2、454 12 26 26 390, b ? ? ? ? ? ?這題的后面部分是小學數(shù)學的典型問題之一——“和倍” 問題：商為 12,表明被除數(shù)減去余數(shù)后是除數(shù)的 12 倍，被除數(shù)減去余數(shù)后與除數(shù)相加的和是除數(shù)的（12+1）倍，即 是除數(shù)的 13 倍. 454 12 26 26 390 ? ? ? ?2．證明：(1) 當 n∈Z 且 時，r 只可能是 0,1,8;3 9 (0 9) n q r r ? ? ? ?證：把 n 按被 9 除的

3、余數(shù)分類，即：若 n=3k, k∈Z，則 , r=0；3 3 27 n k ?若 n=3k +1, k∈Z，則 ,r=1；3 3 2 2 (3 ) 3(3 ) 3(3 ) 1 9 (3 3 1) 1 n k k k k k k ? ? ? ? ? ? ? ?若 n=3k－1, k∈Z，則 ,r=8.3 3 2 3 2 (3 ) 3(3 ) 3(3 ) 1 9(3 3 1) 8 n k k k k k k ? ? ? ? ? ? ? ?

4、?(2) 當 n∈Z 時， 的值是整數(shù)。3 23 2 6n n n ? ?證 因為 = ，只需證明分子 是 6 的倍數(shù)。3 23 2 6n n n ? ?3 2 2 36n n n ? ? 3 2 2 3 n n n ? ?3 2 2 2 3 (2 3 1) ( 1) (2 1) n n n n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ?= . ( 1) ( 2 1) n n n n ? ? ? ? ? ( 1)( 2) n n

5、 n ? ? ? ( 1) ( 1) n n n ? ?由 k! 必整除 k 個連續(xù)整數(shù)知：6 ,6 | . | ( 1)( 2) n n n ? ? ( 1) ( 1) n n n ? ?或證：2!| , 必為偶數(shù).故只需證 3| . ( 1) n n ? ( 1) n n ? ( 1) (2 1) n n n ? ?若 3|n, 顯然 3| ；若 n 為 3k +1, k∈Z，則 n－1 是 3 的倍數(shù)，得知 ( 1) (2 1

6、) n n n ? ?為 3 的倍數(shù)；若 n 為 3k－1, k∈Z，則 2n－1=2(3k－1)－1=6k-3, 2n－1 ( 1) (2 1) n n n ? ?是 3 的倍數(shù).綜上所述， 必是 6 的倍數(shù),故命題得證。 ( 1) (2 1) n n n ? ?又證： =02+12+22+…+(n-1)2,整數(shù)的平方和必為整數(shù)。 ( 1) (2 1)6n n n ? ?當 n∈Z－時，-n∈Z+, 從而同樣推得 為整數(shù)，故命題得證。

7、 ( 1) (2 1)6n n n ? ?(3) 若 n 為非負整數(shù)，則 133|(11n+2+122n+1)．證：若有有理根，記為 互質，代入方程有 , , p p q q2 ( ) 0 p p a b c q q ? ? ? ?即 ，這是不可能的，因為 p,q 互質，二者不可能同時為偶數(shù)。 2 2 0 ap bpq cq ? ? ?若 p 為偶數(shù)，則 為偶數(shù)，但 是奇數(shù)，它們的和不可能為 0; 2 ap bpq ? 2 cq若 q

8、為偶數(shù)，則 為偶數(shù)，但 是奇數(shù)，它們的和也不可能為 0。 2 bpq cq ? 2 ap6．在黑板上寫出三個整數(shù)，然后擦去一個，換成其他兩數(shù)之和加 1，繼續(xù)這樣操作下去，最后得到三個數(shù)為 35，47，83．問原來所寫的三個數(shù)能否是 2，4，6?解：不能．因為原來所寫的三個數(shù)若是 2，4，6，每次操作后剩下的三個數(shù)是兩偶一奇．7．將 1-—99 這 99 個自然數(shù)依次寫成一排，得一多位數(shù) A＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011…

9、97 98 99，求 A 除以 2 或 5、4 或 25、8 或 125、3 或 9、11 的余數(shù)分別是多少?解：由數(shù)的整除特征，2 和 5 看末位，∴ A 除以 2 余 1，A 除以 5 余 4；4 和 25 看末兩位，∴ A 除以 4 余 3，A 除以 25 余 24；8 和 125 看末三位，∴ A 除以 8 余 3，且除以 125余 24；3 和 9 看各位數(shù)字的和，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，A 所有數(shù)字的和等于

10、450, ∴ A 除以 3 和 9 都余 0，A 除以 11 的余數(shù)利用定理 1. 4, 計算奇數(shù)位數(shù)字之和－A 的偶數(shù)位數(shù)字之和．奇數(shù)位數(shù)字之和 1+3+5+7+9+(0+1+…+9) ×9，偶數(shù)位數(shù)字之和2+4+6+8+(1+2+…+9) ×10，兩者之差為－40，原數(shù)除以 11 的余數(shù)就是－40 除以 11 的余數(shù)：4.8．四位數(shù) 7x2y 能同時被 2，3，5 整除，求這樣的四位數(shù)．解：同時被 2，5 整

11、除，個位為 0，再考慮被 3 整除，有 4 個：7020，7320，7620，7920．9．從 5, 6, 7, 8, 9 這五個數(shù)字中選出四個不同的數(shù)字組成一個四位數(shù)，它能同時被 3, 5, 7 整除，那么這些四位數(shù)中最大的一個是多少？被 5 整除，個位必為 5. 5+6+7+8=26, 5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29 中唯 27 能被 3 整除，故選出的四個不同的數(shù)字是 5, 6, 7,9,但

12、不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,從最大的開始試除，得 9765=7×1395，那么要求的就是 9765 了。10．11．1 至 1001 各數(shù)按以下的格式排列成表，像表中所示的那樣用—個正方形框住其中的 9 個數(shù)，要使 9 個數(shù)的和等于(1)2001，(2)2529，(3)1989，能否辦到?如能辦到，寫出框里的最小數(shù)與最大數(shù)．如辦不到，說明理由．1 2 3 4 5 6 78 9 10 1