無界弦振動的研究

1、1無界弦振動的研究馬玉榮摘 要 用行波法、積分變換法（傅里葉變換法、拉普拉斯變換法） 、分離變量法、格林函數(shù)法求解無界弦的自由振動和受迫振動問題。計算和分析表明：對于無界弦的自由振動問題，行波法和傅里葉變換法比較簡便，這是常用的求解方法。對于無界弦受迫振動問題，利用疊加原理應(yīng)用行波法和齊次化原理求解最簡便。行波法對于求解無界弦振動問題有其特殊的優(yōu)點，即，行波法已求出無界弦自由振動問題的達(dá)朗貝爾公式，無界弦受迫振動問題的公式，這些

2、公式是通用的，只要把具體問題中初始條件的函數(shù)帶入計算即可。關(guān)鍵詞 關(guān)鍵詞 無界弦 行波法 傅里葉變換法 拉普拉斯變換法 分離變量法 格林函數(shù)法一、引言 一、引言 物理上及工程技術(shù)上常需要研究各種各樣的振動問題，如弦的振動，桿的振動、膜的振動、體的振動等。弦的振動又有無界弦[1]的振動、有界弦的振動。其中，研究無界弦的振動問題受到了人們的重視。通過眾多學(xué)者的努力，對無界弦振動問題的研究方法越來越多[2-6]。比如在運用特征線方法的

3、基礎(chǔ)上利用線積分予以求解[3]；有學(xué)者用分離變量法求解[4]，將分離變量形式的解代入泛定方程求出泛定方程的特解，再將所有可能的特解線性組合為通解，最后將初始條件代入通解計算各項系數(shù)，最后得出定解。分離變量法本來適用于有界問題，作者這里用它求解無界問題，開拓了求解無界弦振動問題的新思路。還有用傅里葉變換法[5]、行波法[6]等求解無界弦振動問題。本篇文章將用行波法、傅里葉變換法、拉普拉斯變換法、分離變量法、格林函數(shù)法求解無界弦的自由振動和

4、受迫振動問題。通過比較，找出計算比較簡便的方法和最佳方法，并且運用 Matlab 軟件模擬出無界弦自由振動的幾個圖形，方便大家理解弦的自由振動。二、無界弦的振動問題 二、無界弦的振動問題無界弦的振動問題包括無界弦的自由振動和受迫振動。兩種問題的方程分別為(I)和(II)它們都由泛定方程[1]和初始條件[1]構(gòu)成。無界弦自由振動的泛定方程為(I)中的(1)式，受迫振動的泛定方程為(II)中的(1)式，兩者的初始條件為(2)式和(3)式。其

5、中 是弦的橫向加速度； 是 關(guān)于 tt u xx u u x的二階導(dǎo)，質(zhì)點間的牽連體現(xiàn)在 上； 是振動在弦上的傳播速度，錯誤！未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。是 xx u a t3-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.1-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -0.100.10.20.30.40.5u例：現(xiàn)取初始位移 ，初始速度 ，由達(dá)朗貝爾公式得?

6、?? ? ? ? ? ?) ( 0) 7473 ( 7 sin ) (其余l(xiāng) x l x l x?? 0 ) ( ? x ?，用matlab作出圖像如圖1： )] ( 7 sin ) ( 7 [sin 21 ) , ( at x l at x l t x u ? ? ? ? ? ?圖 1 初位移不為 0 初速度為 0 的達(dá)朗貝爾公式的圖形現(xiàn)取初始位移 ，初速度為 ，用matlab作圖如下： 0 ) ( ? x ?? ? ? ? ? ?

7、) ( 0) 1 0 ( 1 ) (其余x x ?圖 2 初位移為 0，初速度不為 0 的達(dá)朗貝爾公式的圖形我們把圖 2 分解為圖 3 和圖 4，圖 3 為開始時 的波形，圖 4 為開始時 的波 ) ( at x ? ? ) ( at x ? ??形。圖 3 圖 40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -