87全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答_第1頁
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1、- 1 -1987 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題一試題(10 月 11 日上午 8∶00——9∶30)一.選擇題(每個小題選對得 5 分,不選得 1 分;選錯或選出的代號超過一個者得 0 分.本題滿分 20 分):1.對任意給定的自然數(shù) n,若 n6+3a 為正整數(shù)的立方,其中 a 為正整數(shù),則( )A.這樣的 a 有無窮多個 B.這樣的 a 存在,但只有有限個C.這樣的 a 不存在

2、 D.以上 A、B、C 的結(jié)論都不正確(上海供題) 2.邊長為 5 的菱形,它的一條對角線的長不大于 6,另一條不小于 6,則這個菱形兩條對角線長度之和的最大值是( )A.10B.14 C.5D.12(天津供題) 2 63.在平面直角坐標系中縱橫坐標均為有理數(shù)的點稱為有理點,若 a 為無理數(shù),則過(a,0)的所有直線中( )A.有無窮多條直線,其中每條直線上至少存在兩個有理點B

3、.恰有 n(2≤n0}B={(x,y)| |xy|+1=|x|+|y|}若 A∩B 是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合,則 α 的值為 .(青海供題)3.若 k 是大于 1 的整數(shù),α 是 x2-kx+1=0 的一個根,對于大于 10 的任意自然數(shù) n,α +α 的個位 2n-2n數(shù)字總是 7,則 k 的個位數(shù)字是 .(河北供題)4.現(xiàn)有邊長為 3,4,5 的三角形兩個,邊長為 4,5, 的三

4、角形四個,邊長為 ,4,5 的三角形 41 56 2六個,用上述三角形為面,可以拼成 個四面體.(江西供題)5.五對孿生兄妹參加 k 個組活動,若規(guī)定:⑴ 孿生兄妹不在同一組;⑵非孿生關(guān)系的任意兩個人都恰好共同參加過一個組的活動,⑶有一人只參加兩個組的活動,則 k 的最小值為 .(命題組供2?ABC- 3 -1987 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題一.如圖,△ABC 和△ADE 是兩個不全等的等腰直角

5、三角形,現(xiàn)固定△ABC,而將△ADE 繞 A 點在平面上旋轉(zhuǎn),試證:不論△ADE 旋轉(zhuǎn)到什么位置,線段 EC 上必存在點 M,使△BMD 為等腰直角三角形.EBCDA二.在坐標平面上,縱橫坐標都是整數(shù)的點稱為整點.試證:存在一個同心圓的集合,使得⑴每個整點都在此集合的某個圓周上;⑵此集合的每個圓周上,有且只有一個整點.(辛澤爾定理)三.n(n>3)名乒乓球選手單打若干場后,任意兩個選手已賽過的對手恰好都不完全相同,試證明:總可以從

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