03線性變換及其矩陣_第1頁(yè)
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1、 第三講 第三講 線性變換及其矩陣 線性變換及其矩陣一、線性變換及其運(yùn)算 一、線性變換及其運(yùn)算定義:設(shè) 定義:設(shè) V 是數(shù)域 是數(shù)域 K 上的線性空間, 上的線性空間,T 是 V 到自身的一個(gè)映射,使 到自身的一個(gè)映射,使得對(duì)于 得對(duì)于 V 中的任意元素 中的任意元素 x 均存在唯一的 均存在唯一的 y V 與之對(duì)應(yīng),則稱 與之對(duì)應(yīng),則稱 ?T 為 V 的一個(gè)變換或算子,記為 的一個(gè)變換或算子,記為T(mén)x=y(tǒng)稱

2、 y 為 x 在變換 在變換 T 下的象, 下的象,x 為 y 的原象。 的原象。若變化 若變化 T 還滿足 還滿足T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,y V, k,l K ? ? ?稱 T 為線性變換。 為線性變換。[例 1] 二維實(shí)向量空間 二維實(shí)向量空間 ,將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ,將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 角的 角的1 2i2R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??操作就是一個(gè)線性變換。 操作就

3、是一個(gè)線性變換。[證明 證明] 12x ? ? ? ? ? ? ? ? ?12y Tx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 22 1 2cos sinsin cos? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1 12 2cos sinsin cos? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 R ??1 ?2 ?1 ?2 ?xyo可見(jiàn)該操

4、作 可見(jiàn)該操作 T 為變換,下面證明其為線性變換 為變換,下面證明其為線性變換(2)T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)(3)元素組 )元素組 線性相關(guān),即存在一組不全為零的 線性相關(guān),即存在一組不全為零的 1 2 m x ,x , ,x L數(shù)使 1 2 m k ,k , ,k Lmi ii 1k x 0?? ?則 m mi i i ii 1 i 1T( k x ) k (Tx ) T(0) 0? ??

5、 ? ? ? ?線性相關(guān)。 線性相關(guān)。 ? ? ? i Tx[得證 得證]應(yīng)該注意,線性無(wú)關(guān)的元素組經(jīng)過(guò)線性變換不一定再是線性 應(yīng)該注意,線性無(wú)關(guān)的元素組經(jīng)過(guò)線性變換不一定再是線性無(wú)關(guān)的,變換后的情況與元素組和線性變換有關(guān)。若線性變換 無(wú)關(guān)的,變換后的情況與元素組和線性變換有關(guān)。若線性變換T將所有的元素組仍變換為線性無(wú)關(guān)的元素組,則稱之為滿秩的線 將所有的元素組仍變換為線性無(wú)關(guān)的元素組,則稱之為滿秩的線性變換,其變換矩陣為滿秩矩陣。 性

6、變換,其變換矩陣為滿秩矩陣。3. 線性變換的運(yùn)算 線性變換的運(yùn)算(1)恒等變換 恒等變換 : e T e x V,T x x ? ? ?(2)零變換 零變換 : 0 T 0 x V,T x 0 ? ? ?(3)變換的相等: 變換的相等: 、 是 的兩個(gè)線性變換, 的兩個(gè)線性變換, ,均有 ,均有 1 T 2 T V x V ? ?,則稱 ,則稱 = 1 2 T x T x ? 1 T 2 T(4)線性變換的和 線性變換的和 + : ,

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