廣義Hermite碼的自同構(gòu)群對重量分布的作用以及重量是最小Hamming重量的碼字個數(shù).pdf

1、研究代數(shù)幾何碼的主要理論基礎(chǔ)是代數(shù)幾何，在編碼方式與研究碼的性質(zhì)上都要用到代數(shù)幾何的概念和定理，特別是要用到代數(shù)幾何中最重要的三個定理：Riemann-Roch定理，Hasse-Weil定理，Bezout定理．特別是Riemann-Roch定理，它是研究代數(shù)幾何碼的核心工具，在文中定理3，定理4可以看到它的應(yīng)用。 代數(shù)幾何碼根據(jù)賦值方式的不同，可以分為兩大類：幾何RS碼和幾何Goppa碼?？梢宰C明幾何RS碼C(D，G)和幾何Go

2、ppa碼C<'*>(D，G)是對偶碼，并且C(D,G)=C<'*>(D，W+D—G)，其中W是典范除子。而對于對偶碼，他們的重量分布有內(nèi)在聯(lián)系，即Macwilliams恒等式W<,c<'⊥>>(z)=1/2<'k>(1+z)<'n>W<,c>(1-z/1+z)。所以一般的說我們只要研究幾何RS碼。 代數(shù)幾何碼具有非常好的性質(zhì)，它是由有限域上的代數(shù)曲線得到的碼，碼的性質(zhì)由代數(shù)曲線的性質(zhì)決定。尋找或研究一些非常優(yōu)美的代數(shù)曲線，就可能

3、得到性質(zhì)好的代數(shù)幾何碼。對于F<,q<'2>>上的Hermitian曲線y<'q>+y=x<'q+1>，我們可以看到左邊是跡映射，右邊是模映射，曲線上有理點的個數(shù)達到Hasse-Weil界，因此由這個曲線得到的碼的性質(zhì)非常好。 在本文中我們研究了廣義Hermitian曲線y<'q>+y=x<'s>，s≠q+1。它同樣達到Hasse-Weil界，并且性質(zhì)和Hermitian碼很類似，比如Hermitian曲線上存在仿射自同構(gòu)群，對

4、于廣義Hermitian曲線，通過類似的途徑也可以得到相似的仿射自同構(gòu)群。但是，存在仿射白同構(gòu)群的曲線是非常少的。在[7]中定義了仿射自同構(gòu)群對Hermitian碼的作用，這種群對集合的作用可以平移到廣義情形。[8]中對Hermitian曲線上的仿射自同構(gòu)群作了推廣，并且全面研究了Hermitian碼的所有可能的自同構(gòu)群。曲線的仿射自同構(gòu)群是碼的自同構(gòu)群的子群。 [7]中通過仿射自同構(gòu)群對碼的作用，可以得到一個關(guān)于碼的重量分布的

5、結(jié)論。當(dāng)(e，q)=1時，所有重量為e的碼字個數(shù)α<,e>≡0 mod(q<'3>(q<'2>-1))。那么對于廣義的情形，也有相類似的結(jié)論。特別要說明的是，對于s=1時曲線y<'q>+y=x，它的仿射自同構(gòu)群會出現(xiàn)變異，群的階相對來說很大。那么相應(yīng)的，對于大部分的e，重量為e的碼字個數(shù)α，會被一個比較大的數(shù)整除。對于碼的最小距離，Hermitian碼C(D，mP<,∞>)的最小距離已經(jīng)在[10]中具體給出。[9]中提出了擬Hermit

6、ian曲線的概念，這類曲線非常廣泛，廣義Hermitian曲線是其特殊情形，在文中研究了擬Hermitian碼C(D，mP<,∞>)在m取某些值的時候，最小距離達到下界，但是沒有具體的給出這樣的m值，因為具體情形比較復(fù)雜，擬Hermitian曲線的內(nèi)涵太廣。因此在本文中對廣義Hermitian碼C(D，mP<,∞>)我們具體給出了最小距離達到下界時m所要滿足的條件，并且對于重量為最小Hamming重量的碼字個數(shù)，有一個上界，這樣我們就對