臨近點(diǎn)不出現(xiàn)的平衡設(shè)計(jì).pdf

1、考慮一個(gè)有序的有限集合，它包含v個(gè)可識(shí)別的個(gè)體，分別標(biāo)記為0，1，…，v-1.令△i表示個(gè)體i的數(shù)量特征，我們可以通過對(duì)個(gè)體i的觀察得到△i.我們?nèi)〕鰇(k＜v)個(gè)個(gè)體做成一個(gè)樣本，同時(shí)對(duì)k個(gè)個(gè)體的數(shù)量特征進(jìn)行觀察來得到此樣本信息.利用抽樣調(diào)查，我們可以估計(jì)總體特征T=∑v-1△i.在實(shí)際應(yīng)用中，相鄰個(gè)體的數(shù)量特征△i常常是相似的，因而我們期望k元樣本中相鄰個(gè)體同時(shí)出現(xiàn)的頻率要很小.Hedayet，Rao和Stufken在1988年從H

2、orvitz-Thompson估計(jì)量的角度證明了這種思想的合理性并且提出了不含相鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì)(balancedsamplingplanexcludingcontiguousunits簡寫作BSEC)的存在問題. 令X={x0，x1，…xv-1}.如果xi和xi+1稱作是相鄰的點(diǎn)，其中0≤i≤v-2，x0-1和x0也稱作是相鄰的，那么稱X為循環(huán)有序的，設(shè)X是循環(huán)有序的v元集，B是X的一些k-子集(稱為區(qū)組)構(gòu)成的集合.若二元

3、組(X，B)滿足：任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)不在任何區(qū)組中出現(xiàn)，而任意兩個(gè)不相鄰的點(diǎn)恰出現(xiàn)在λ個(gè)區(qū)組中，則稱(X，B)為一個(gè)不含鄰點(diǎn)的k長平衡樣本設(shè)計(jì)，記為BSEC(v，k，λ). Hedayat，Rao和Stufken(1988年)證明了k=3，4時(shí)，如果v≥3k，則存在某個(gè)λ使BSEC(v，k，λ)存在.Stufken和Wright(2001年)證明了如果k=5，6，7且k=7時(shí)v≠22，BSEC(v，k，λ)對(duì)于某個(gè)λ存在的充分必要條

4、件是v≥3k+1.但上述結(jié)果中參數(shù)λ的值隨著點(diǎn)數(shù)v的增加增長的很快，而我們一般希望一個(gè)設(shè)計(jì)的區(qū)組少一些，從而λ小一些.Colbourn和Ling對(duì)給定的λ進(jìn)行考慮，分別在1998年和1999年證明了BSEC(v，3，λ)存在的充分必要條件和BSEC(v，4，λ)存在的充分必要條件. Stufken(1993年)將BSEC的概念推廣到鄰近點(diǎn)不出現(xiàn)的平衡設(shè)計(jì)(balancedsamplingplantoavoidtheselecti

5、onofadjacentunits簡寫作BSA). 設(shè)X是循環(huán)有序的v元集，B是X的一些k-子集(稱為區(qū)組)構(gòu)成的集合.若二元組(X，B)滿足：任意兩個(gè)距離小于等于α的點(diǎn)不在任何區(qū)組中出現(xiàn)，而任意兩個(gè)距離大于α的點(diǎn)恰出現(xiàn)在λ個(gè)區(qū)組中，則稱(X，B)為一個(gè)鄰近點(diǎn)不出現(xiàn)的平衡樣本設(shè)計(jì)，記為BSA(v，k，λ；α). 顯見，BSA(v，k，λ；α)在α=1時(shí)即為BSEC(v，k，λ). 設(shè)Zv={0，1…，v-1}表示

6、v階循環(huán)群，(X，B)是一個(gè)BSEC(v，k，λ)(BSA(v，k，λ；α)).若Zv是BSEC(v，k，λ)(BSA(v，k，λ；α))上的一個(gè)自同構(gòu)群，那么我們稱(X，B)是循環(huán)的，記為CBSEC(v，k，λ)(CBSA(v，k，λ；α)). Wei(2002年)得到了λ=1，2時(shí)CBSEC(v，3，λ)存在的充分必要條件并且得到了λ=1，2時(shí)CBSA(v，3，λ;α)的一些存在結(jié)果. 在本文中，我們證明了CBSEC

7、(v，3，λ)對(duì)任意λ存在的充分必要條件，得到了CBSA(v，3，λ；α)和BSA(v，3，λ；α)在α=2，3，4時(shí)存在的充分必要條件，并得到了CBSEC(v，4，1)的一些初步的存在結(jié)果.主要結(jié)論如下： (1)CBSEC(v，3，λ)存在的充分必要條件是v∈{1，3}，v≥9且λ(v-3)≡0(mod6)，但當(dāng)λ≡2(mod4)時(shí)v(≠)2(mod4). (2)當(dāng)α=2，3，4時(shí)，CBSA(v，3，λ；α)存在的充分

8、必要條件是v≥3(2α+1)，λv(v-2α-1)≡0(mod6)，λ(v-2α-1)≡0(mod2)，但當(dāng)λ≡2(mod4)時(shí)v(≠)2(mod4)，當(dāng)α=2且λ=1時(shí)，v(≠)3(mod6). (3)α=2，3，4時(shí)，BSA(v，3，λ；α)存在的充分必要條件是λv(v-2α-1)≡0(mod6)，λ(v-2α-1)≡0(mod2)且v≥3(2α+1). (4)存在一個(gè)CBSEC(av，4，1)，這里a∈{3，27，

9、63，99，171，207，243}，v是Q中若干個(gè)數(shù)的乘積，Q={p：p≡1(mod4)并且p是素?cái)?shù)}U{q：q≡1，5(mod12)，q≤160}. 全文共分為6章： 第一章在這一章中，我們介紹了相鄰點(diǎn)不出現(xiàn)的平衡設(shè)計(jì)用于抽樣調(diào)查的背景，給出了相鄰點(diǎn)不出現(xiàn)的平衡設(shè)計(jì)的定義和一些已知結(jié)果. 第二章在這一章中，我們介紹了Langford序列和k-extendedLangford序列，并給出了這些特殊序列的一些性質(zhì)

10、，這在構(gòu)造CBSEC(v，3，λ)和CBSA(v，3，λ；α)時(shí)有重要的作用.我們還給了兩個(gè)引理，這有利于后面來證明BSA(v，k，λ；α)存在的必要條件. 第三章本章，我們應(yīng)用Langford序列來劃分一個(gè)連續(xù)的序列，從而得到一些差三元組.最后我們得到了CBSEC(v，3，λ)存在的充分必要條件. 第四章在這章中，我們利用Langford序列和k-extendedLangford序列來分拆序列，通過適當(dāng)?shù)拇钆涞玫搅艘恍?/p>

11、差三元組，最終得到了當(dāng)α=2，3，4時(shí)CBSA(v，3，λ；α)存在的充分必要條件. 第五章我們利用輔助設(shè)計(jì)BSA*(g，{2，3}，λ；α，t)，組型為(g，2α+1)u的3-IGDD和一些小階數(shù)的BSA(g+t，3，λ；α)與BSA((2α+1)u，3，λ；α)，得到了對(duì)于BSA(gu+t，3，λ；α)的遞歸構(gòu)造.從而得到了當(dāng)α=2，3，4時(shí)，BSA(v，3，λ；α)存在的充分必要條件.本章中用到的一些小階數(shù)的BSA(g+t

12、，3，λ；α)，BSA((2α+1)u，3，λ；α)和BSA*(g，{2，3}，λ；α，t)是通過計(jì)算機(jī)搜索得到的. 第六章我們介紹了一種所謂的可劃分集合的組合結(jié)構(gòu)，它是階數(shù)是v(≡1(mod4))的阿貝爾群G上的一些無序的對(duì)子組成的集合{{ai，bi}：1≤i≤(v-1)/4}滿足：U(v-1)/4i=1){±ai，±bi}=G＼{0}和U(v-1)/4{±(ai+bi)，±(ai-bi)}=G＼{0}.我們利用可劃分集合和差