關(guān)于clean環(huán)的研究.pdf

1、Cleǎn環(huán)起源于在模消去中起著重要作用的exchange環(huán)的研究，clean環(huán)以其簡(jiǎn)潔的表現(xiàn)形式和深刻的內(nèi)涵吸引著眾多代數(shù)學(xué)者展開(kāi)深入的研究。在clean環(huán)研究過(guò)程中，涌現(xiàn)出許多相關(guān)環(huán)類(lèi)并引出許多深刻的問(wèn)題，例如Nicholson提出的關(guān)于強(qiáng)clean環(huán)的五個(gè)公開(kāi)問(wèn)題。Clean環(huán)的研究已成為近期國(guó)際環(huán)論界研究的熱點(diǎn)。 本文通過(guò)強(qiáng)clean環(huán)，強(qiáng)clean一般環(huán)，唯一強(qiáng)clean環(huán)，2-clean環(huán)以及g(x)-clean環(huán)的

2、研究，加深了對(duì)環(huán)的clean性的理解，解決了一些公開(kāi)問(wèn)題，得到了一些有趣的結(jié)果，同時(shí)通過(guò)考慮矩陣環(huán)，三角矩陣環(huán)和群環(huán)獲得了許多clean環(huán)及相關(guān)環(huán)類(lèi)的例子。 通過(guò)對(duì)交換局部環(huán)上二階矩陣環(huán)的研究構(gòu)造了一個(gè)例子，否定回答了Nicholson提出的兩個(gè)公開(kāi)問(wèn)題，并在一般環(huán)討論的基礎(chǔ)上給出了其中一個(gè)問(wèn)題后半部分的證明，即強(qiáng)clean環(huán)的每個(gè)corner仍是強(qiáng)clean的。 首次提出惟一強(qiáng)clean環(huán)的概念，證明了交換惟一(強(qiáng))c

3、lean環(huán)上的任意三角矩陣環(huán)是惟一強(qiáng)clean的，同時(shí)利用矩陣單位給出了惟一強(qiáng)clean環(huán)的結(jié)構(gòu)定理，即環(huán)R是惟一強(qiáng)clean的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a∈R存在惟一的e<'2>=e使得ea=ae且a-e∈J(R)。 通過(guò)對(duì)2-clean環(huán)的進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)任意環(huán)上秩不小于2的自由模的自同態(tài)環(huán)是2-clean的，從而說(shuō)明任意不小于2階的有限階矩陣環(huán)，行有限矩陣環(huán)和列有限矩陣環(huán)是2-clean的，此外還證明了任意ω×ω行列有限矩陣環(huán)是2-