有限玻色體系的嚴(yán)格正則系統(tǒng)理論研究.pdf

1、囚禁外場(chǎng)中的冷原子的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)實(shí)驗(yàn)和其它一些介觀系統(tǒng)如原子核、分子、原子團(tuán)簇和聚合物等實(shí)驗(yàn)觀測(cè)，是小系統(tǒng)的“相變”研究的原形和平臺(tái)。這些實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)和觀測(cè)激起了人們對(duì)有限體系的臨界現(xiàn)象的理論研究新的興趣。特別是，BEC作為量子統(tǒng)計(jì)相變具有本身的物理意義和研究?jī)r(jià)值，它是可操控的凝聚態(tài)物理的試驗(yàn)平臺(tái)。實(shí)驗(yàn)中的粒子數(shù)幾乎確定并且有限，因此實(shí)際情況與傳統(tǒng)的采用熱力學(xué)極限處理的方法所遇情況完全不同。
　　熱力學(xué)極限下玻色氣體

2、的物理量諸如比熱、凝聚比等在臨界點(diǎn)出現(xiàn)鋒銳的尖點(diǎn)或者不連續(xù)，但有限玻色體系的物理量在臨界溫度附近都不同程度地為圓滑曲線。雖然“不連續(xù)”相變只存在于熱力學(xué)極限下，但是有限體系正如實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的會(huì)出現(xiàn)相變的先兆。本文主要是采用正則系綜研究粒子數(shù)有限的理想和弱相互作用氣體的熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，特別是在臨界點(diǎn)鄰域的性質(zhì)。
　　在第二章，我們分別指出了巨正則系綜和正則系綜討論有限玻色體系的優(yōu)勢(shì)和缺陷，研究了囚禁于諧振子勢(shì)的任意有限粒子數(shù)的理想玻色

3、氣體的熱力學(xué)行為。通過(guò)考慮體系的總的粒子數(shù)N守恒和采用鞍點(diǎn)近似的方法，我們得出了處在任意態(tài)平均粒子占有數(shù)的解析表達(dá)式。本章做出了囚禁勢(shì)中有限粒子數(shù)的玻色氣體的化學(xué)勢(shì)、比熱和凝聚比與溫度的關(guān)系曲線圖并對(duì)其進(jìn)行了分析。將本章的結(jié)果與采用傳統(tǒng)的巨正則系綜方法得到的結(jié)果一一對(duì)應(yīng)比較發(fā)現(xiàn)，它們之間的區(qū)別在低溫時(shí)明顯，特別系統(tǒng)的粒子數(shù)較小時(shí)區(qū)別尤其明顯。
　　第三章用嚴(yán)格正則系綜理論分別討論了處在方盒子或者諧振子勢(shì)中的粒子數(shù)有限的理想和弱相互

4、作用玻色氣體的熱力學(xué)性質(zhì)。當(dāng)理想玻色氣體處在周期或者狄利克雷(Dirichlet)邊界條件的方盒子中時(shí)，我們利用嚴(yán)格的正則配分函數(shù)的遞推關(guān)系式數(shù)值求出配分函數(shù)后，計(jì)算了一些物理量諸如化學(xué)勢(shì)、比熱、凝聚比、基態(tài)粒子數(shù)的均方根漲落和轉(zhuǎn)變溫度等，并對(duì)它們?cè)诓煌膭?shì)阱下的值一一進(jìn)行了比較。通過(guò)三種不同的轉(zhuǎn)變溫度定義，發(fā)現(xiàn)不同的定義得到的轉(zhuǎn)變溫度值的區(qū)別明顯。但是，同一種定義下的轉(zhuǎn)變溫度值在狄利克雷邊界條件比在周期性邊界條件下要高，這就表明有限性

5、效應(yīng)在狄利克雷邊界條件比在周期邊界條件更明顯。類(lèi)似于理想氣體的配分函數(shù)的遞推關(guān)系的推導(dǎo)方法，我們利用博戈留玻夫(Bogliubov)理論首次推導(dǎo)了描述弱相互作用氣體的正則配分函數(shù)遞推關(guān)系式?；谡齽t系綜配分函數(shù)的遞推關(guān)系式，數(shù)值分析了不同粒子數(shù)和不同相互作用強(qiáng)度的玻色體系的凝聚比、比熱和溫度之間的關(guān)系。通過(guò)兩種不同的轉(zhuǎn)變溫度的定義，我們分析了原子間相互作用、粒子數(shù)多少對(duì)轉(zhuǎn)變溫度值的影響。最后，分析了凝聚比的有限尺寸標(biāo)度行為。結(jié)果表明，不

6、同粒子數(shù)的體系的凝聚比遵從同一普適函數(shù)。
　　第四章討論了理想和弱相互作用玻色氣體的臨界行為。對(duì)于理想玻色氣體，引入依賴(lài)于具體勢(shì)阱的勢(shì)阱指數(shù)θ后我們討論了處在方盒子和諧振子勢(shì)中的玻色氣體的凝聚比和比熱的勢(shì)阱尺寸標(biāo)度行為。當(dāng)玻色氣體處在周期或者狄利克雷邊界條件的方盒子時(shí)，勢(shì)阱指數(shù)θ→1，我們發(fā)現(xiàn)表征臨界行為的標(biāo)度函數(shù)是普適的但與邊界有關(guān)。當(dāng)玻色氣體囚禁在諧振子勢(shì)中時(shí)，發(fā)現(xiàn)粒子數(shù)大小不同的體系的比熱和凝聚比分別遵從各自的普適函數(shù)，并且

7、獲得θ()0.157。對(duì)于弱相互作用玻色氣體，我們采用正則系綜理論分析了比熱在臨界點(diǎn)領(lǐng)域的有限尺寸標(biāo)度行為，并且數(shù)值獲得了比熱和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度指數(shù)的值，它們分別和實(shí)驗(yàn)所測(cè)得數(shù)據(jù)和以前的理論分析值一致。當(dāng)體系的相互作用強(qiáng)弱和粒子數(shù)密度確定時(shí)，粒子數(shù)和溫度大小不同的比熱遵從同一形式。根據(jù)標(biāo)度理論，我們討論了弱相互作用氣體的臨界溫度Tc的相對(duì)于熱力學(xué)極限下的理想玻色氣體的臨界溫度T0c的位移△Tc，并且得到△Tc/T0c=ban1/3，其中6=0.

8、42±0.05。我們將本章的結(jié)果與方格子中的4He的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及理論值進(jìn)行了比較和分析。
　　第五章我們首先簡(jiǎn)單回顧了為何只有熱力學(xué)極限下才會(huì)發(fā)生相變以及相變的分類(lèi)方法，接著介紹了基于正則系綜理論的有限體系的“相變”的分類(lèi)方法。通過(guò)拓展刻畫(huà)有限體系的復(fù)溫度平面內(nèi)的相變分類(lèi)方法，將粒子數(shù)有限的處在不同邊界條件的方盒子中的理想和弱相互作用玻色氣體的相變進(jìn)行了分類(lèi)。結(jié)果表明，理想玻色氣體的BEC在周期邊界條件下為二級(jí)相變；當(dāng)理想玻色氣體

9、處在狄利克雷邊界條件時(shí)經(jīng)歷一級(jí)相變。對(duì)于處在周期性邊界條件的方盒子的弱相互作用玻色氣體，我們討論了粒子數(shù)多少和原子間的相互作用強(qiáng)度對(duì)相變本質(zhì)的影響。我們發(fā)現(xiàn)，有限粒子數(shù)的均勻弱相互作用的BEC為二級(jí)相變，這和無(wú)窮大系統(tǒng)的普適類(lèi)性質(zhì)一致。最后，我們討論了粒子數(shù)大小和原子間弱相互作用的強(qiáng)度對(duì)有限玻色體系的轉(zhuǎn)變溫度的影響。
　　第六章列出了有限體的量子統(tǒng)計(jì)理論需要進(jìn)一步深入研究的課題。本論文的研究結(jié)果有助于深入了解有限量子體的各種統(tǒng)計(jì)性