單李超代數(shù)的生成元與自同構(gòu)群.pdf

1、李超代數(shù)是李理論中一個(gè)重要的、活躍的研究方向，與理論物理及數(shù)學(xué)多個(gè)分支有密切聯(lián)系。根據(jù)基域特征的不同，李超代數(shù)可分為特征零李超代數(shù)和特征p李超代數(shù)，后者亦稱為模李超代數(shù)。本文主要研究特征零李超代數(shù)和特征p李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論，一方面是確定單李超代數(shù)生成元的最小個(gè)數(shù)，另一方面是刻畫單李超代數(shù)的自同構(gòu)群以及李超代數(shù)上Hom-算子。具體研究?jī)?nèi)容及結(jié)果如下：
　　首先，根據(jù)特征零代數(shù)閉域上有限維單李超代數(shù)的分類定理，利用單李超代數(shù)的權(quán)空間分

2、解以及Cartan型李超代數(shù)的局部的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，證明了特征零代數(shù)閉域上任意一個(gè)有限維單李超代數(shù)均可由一個(gè)元素生成，并給出生成元的實(shí)現(xiàn)方式。由于一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)完全由這個(gè)系統(tǒng)的生成元所決定，這個(gè)結(jié)果可以用來(lái)進(jìn)一步研究單李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示，也可以用來(lái)研究有限維非單李超代數(shù)的可解根。
　　其次，根據(jù)已知研究結(jié)果，有限維特征p單李超代數(shù)包含八類Cartan型單李超代數(shù)。利用這些李超代數(shù)可由最高Z-齊次分支與?1-齊次分支生成，本文證明了

3、這八類Cartan型李超代數(shù)可由一個(gè)或兩個(gè)元素生成；利用這些李超代數(shù)的單性以及Cartan李超代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)濾過(guò)在自同構(gòu)群下的不變性，證明了這八類Cartan型李超代數(shù)只有平凡的保積Hom-結(jié)構(gòu)；借鑒Wilson研究模李代數(shù)自同構(gòu)群的方法，對(duì)八類單李超代數(shù)中的奇Hamilton超代數(shù)及其擴(kuò)張，刻畫了它們的自同構(gòu)群，建立了這類李超代數(shù)的自同構(gòu)群與一類結(jié)合超代數(shù)的自同構(gòu)群的同構(gòu)映射。由于特征p域上有限維單李超代數(shù)的分類尚未完成，這些結(jié)果可以用于

4、特征p域上有限維單李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)、表示的進(jìn)一步研究，特別是分類問(wèn)題的研究。
　　最后，根據(jù)Kac的分類定理，復(fù)數(shù)域上無(wú)限維單的線性緊致李超代數(shù)分為十類基本型李超代數(shù)與五個(gè)例外型李超代數(shù)。利用這些單李超代數(shù)的權(quán)空間分解及它們作為Z-階化李超代數(shù)的雙可遷性，本文證明了與基本型李超代數(shù)相伴的八類復(fù)數(shù)域上Z-階化向量場(chǎng)單李超代數(shù)可由一個(gè)元素生成，與例外型李超代數(shù)相伴的五個(gè)復(fù)數(shù)域上向量場(chǎng)的Z-階化單李超代數(shù)可由兩個(gè)元素生成。所獲結(jié)果可用于進(jìn)