論文——輸油管的布置

1、<p><b>　　輸油管的布置</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文對輸油管線的布置主要從建設(shè)費用最省的角度進行研究。</p><p>　　首先，對問題一，我們按照共用管線與非共用管線鋪設(shè)費用相同或不相同，進行分類討論。為了更好的說明，我們根據(jù)共用管線與非共用管線鋪設(shè)費

2、用相同或不同及兩煉油廠連線與鐵路線垂直或不垂直分成四類討論。</p><p>　　其次，對問題二，由于需要考慮在城區(qū)中鋪設(shè)管線，涉及到拆遷補償費等。通過對三個公司的估算費用加權(quán)，求得期望值（萬元）。并利用建立的規(guī)劃模型②求得管道建設(shè)的最省費用為282.70萬元。其中共用管線長度為1.85千米，煉油廠B在城區(qū)鋪設(shè)的管道線對城郊分界線的射影為0.63千米。</p><p>　　最后，對問題三，

3、由于煉油廠A和B的輸油管線鋪設(shè)費用不同，所以最短管道長度和未必能保證鋪設(shè)總費用最省，因而我們又建立了規(guī)劃模型③，通過LINGO軟件求得管道建設(shè)的最省費用為251.97萬元，三種管道的結(jié)合點O到煉油廠A與鐵路垂線的距離為6.13千米，結(jié)合點O到鐵路的距離為0.14千米，煉油廠B在城區(qū)鋪設(shè)的管道線對城郊分界線的射影為0.72千米。</p><p>　　關(guān)鍵詞：管線鋪設(shè) 平面鏡成像 光的反射 規(guī)劃</p&g

4、t;<p><b>　　問題重述</b></p><p><b>　　背景資料與條件</b></p><p>　　某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計院希望建立管線建設(shè)費用最省的一般數(shù)學模型與方法。</p><p><b

5、>　　需要解決的問題</b></p><p><b>　　問題一</b></p><p>　　針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出自己的設(shè)計方案。在方案設(shè)計時，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。</p><p><b>　　問題二</b></p

6、><p>　　設(shè)計院目前需對一更為復雜的情形進行具體的設(shè)計。兩煉油廠的具體位置及相關(guān)參數(shù)見賽題中附圖及其說明。 </p><p>　　現(xiàn)所有管線的鋪設(shè)費用均為7.2萬元/千米。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，下面是聘請的三家工程咨詢公司對此附加費進行估算的結(jié)果。</p><p><b>　　表1</b><

7、/p><p>　　據(jù)此、我們要為設(shè)計院設(shè)計出管線布置方案并給出相應(yīng)的費用。</p><p><b>　　問題三</b></p><p>　　在該實際問題中，為進一步節(jié)省費用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費用分別為A廠 5.6萬元/千米、 B廠 6.0萬元/千米，共用管線費用為7.2萬元/千米，拆遷等附加費用同上。要求給

8、出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費用。</p><p><b>　　問題分析</b></p><p><b>　　問題的重要性分析</b></p><p>　　煉油廠的建立及輸油管線的鋪設(shè)涉及到是否可行（配套設(shè)施，如水、電等能否到位……）、安全隱患、總體費用等一系列重大問題，因此要求我們設(shè)計出一種經(jīng)濟、科學、可行的方案。<

9、/p><p><b>　　問題的思路分析</b></p><p><b>　　問題一</b></p><p>　　由題得知非共用油管價格相同，我們只需考慮兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，以及有共用管線時共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。</p><p>　　為解決此問題，

10、我們在下文建立模型①，并相應(yīng)做出圖1，圖2。</p><p>　　在問題一中，我們首先以共用與非公用管道價格是否相同為標準，分為共用管道與非共用管道單位長度造價相同和共用管道與非共用管道單位長度造價不相同兩種情況，再在每種情況下分為兩煉油廠的連線所在直線垂直于鐵路線和兩煉油廠的連線所在直線不垂直于鐵路線兩種情況（至于兩油廠離鐵路線距離的比較,將有模型中a、b大小的比較進行區(qū)分，a、b含義見符號說明）。</p

11、><p>　　當兩煉油廠的連線垂直于鐵路線時，路線很明顯，在此不細說。</p><p>　　當兩煉油廠的連線不垂直于鐵路線時，我們先在圖二中矩形ACDE中選擇一點O作為兩廠油管結(jié)合點，實際也是共用油管的起點。先假設(shè)共用油管的長度一定，這樣油管結(jié)合點就可以在平行于鐵路線的一條直線上移動（下文建模求解時，是以此直線為x軸，O點是在位于矩形ACDE范圍內(nèi)的x軸上移動的），為了使費用最少，在非共用油管

12、價格相同的題知下，問題即轉(zhuǎn)化為求兩煉油廠間距離之和的最小值（在下文里即是求|AO|+|BO|的最小值），于是便可借光的反射定律求出這個最小值、并可確定O點的位置。由于，對如任意給定的h,均可求出一個這樣的最小值，在一系列這樣的最小值中一定可以找到一個最小的，此最小值及其所對應(yīng)的O點即為所要求的兩煉油廠間距離之和的最小值。至此，問題一得以解決并相應(yīng)建立模型①。</p><p>　?。ㄕf明：當共用油管的起點被確定后，

13、共用油管一定是按照垂直于鐵路線的方向鋪設(shè)，只有這樣才能使費用最少。應(yīng)用反射定律時，是以x軸為鏡面的。）</p><p><b>　　問題二</b></p><p>　　題目中已經(jīng)給出了一系列數(shù)據(jù)，并明確說明所有管線的鋪設(shè)費用均為7.2萬元/千米，所不同的是，在城區(qū)鋪設(shè)油管時還得支付由拆遷建筑物引起的附加費用等。且A煉油廠到鐵路線的距離小于B煉油廠到鐵路線的距離。我們假

14、定城區(qū)油管是從城郊分界線的B1（即下文圖3中的點B1）處進入郊區(qū)的。</p><p>　　解決郊區(qū)費用時，下文中，我們套用模型①，a<b且兩煉油廠連線不垂直于鐵路線時的子模型解決。</p><p>　　現(xiàn)在需解決在城區(qū)鋪設(shè)油管的費用問題，此部分費用包括油管鋪設(shè)費和相關(guān)拆遷補償費。</p><p>　　至于油管鋪設(shè)費，只要求出城區(qū)油管長度（在下文中即為|BB1|

15、）再乘以其價格，即可得出；而相關(guān)拆遷補償費，題中已給出三家工程咨詢公司的參考值，我們采用對三家公司依情況賦予相應(yīng)權(quán)重，再據(jù)權(quán)重及給出的對應(yīng)單位長度費用估測值，算得單位長度費用估測值的期望值（下文中記為P0），再用這個期望值乘以城區(qū)油管長度，即可得出。于是兩部分費用相加，即得出城區(qū)鋪設(shè)油管的總費用。至此，問題二得以解決并相應(yīng)建立規(guī)劃模型二。</p><p><b>　　問題三</b></

16、p><p>　　這一問是承接第二問而來，但是對數(shù)據(jù)做了一些調(diào)整。</p><p>　　具體為：此問在第二問的基礎(chǔ)上做了更進一步的實際化，共用管道和A、B兩煉油廠的非共用管道的單價均不相同，其它條件不變！</p><p>　　盡管變化很小，但由于非公用管道單價的改變，導致上文中所有模型均不適用。</p><p>　　因為在非共用管道問題上，最短管道

17、長度和未必能保證鋪設(shè)總費用最省，所以再求最短管道長度和已失去實際意義，因此需重新建立模型求解。</p><p><b>　　現(xiàn)建立如下模型：</b></p><p>　　建立直角坐標系（詳見下文圖3），設(shè)出管道結(jié)合點O及其坐標，由此增建車站點（即下文圖3中的點F）的坐標即被確定，其它各點的坐標由已知條件均可得出。再利用數(shù)學中求點間距離的公式分別求出圖3中線段AO、FO

18、、B1O的長度，由于線段AO、FO、B1O所代表的管道的價格以及B1O所代表的管道的附加費價格均為已知，于是管線建設(shè)最省費用便可得出。</p><p><b>　　模型假設(shè)</b></p><p>　　兩煉油廠之間的距離以及兩煉油廠離鐵路線的距離等均在安全范圍內(nèi)（通過相關(guān)資料查得安全距離大致應(yīng)在1000米以上）。</p><p>　　兩煉油廠間

19、的鐵路線近似為直線，且建模時不考慮地質(zhì)影響（即在施工時會出現(xiàn)一些地方由于地質(zhì)原因不能鋪設(shè)）。</p><p>　　非共用管線價格不會比共用管線貴。</p><p><b>　　符號說明</b></p><p>　?。簾捰蛷SA到鐵路線的垂直距離；</p><p>　　：煉油廠B到鐵路線的垂直距離；</p>&

20、lt;p>　?。簾捰蛷SA到城郊分界線垂直距離；</p><p>　?。簝蔁捰蛷S間的距離；</p><p><b>　?。汗霉艿赖拈L度；</b></p><p>　?。簝蔁捰蛷S到城郊分界線垂直距離之和；</p><p>　?。撼菂^(qū)鋪設(shè)的管道線在兩區(qū)分界線上的射影長度；</p><p>　?。?/p>

21、兩廠所用非公用管道價格相同時，非公用管道單位長度的造價；</p><p>　　：公用管道單位長度的造價；</p><p>　　：工程咨詢公司對城區(qū)鋪設(shè)管道時產(chǎn)生的單位長度管道附加費用的評估的期望值；</p><p>　　：A煉油廠鋪設(shè)非公用管道時單位長度的造價；</p><p>　?。築煉油廠鋪設(shè)非公用管道時單位長度的造價；</p>

22、;<p><b>　　：管線建設(shè)總費用；</b></p><p><b>　　模型的建立與求解</b></p><p><b>　　問題一</b></p><p>　　在共用管道與非共用管道單位長度造價相同的情況下：</p><p>　　當兩煉油廠的連線所在直線垂

23、直于鐵路線時，如圖1所示（A，B上下位置可互換）：</p><p>　　明顯的，從遠油廠鋪設(shè)非共用管道到近油廠，再從近油廠鋪設(shè)共用管道到增建的車站，費用最少。</p><p><b>　　此時，總費用為</b></p><p>　　當兩煉油廠的連線所在直線不垂直于鐵路線時，建立模型①，如圖2所示（其中a,b大小不確定）：</p>

24、<p>　　由于兩種管道的單位造價相同，要使總鋪設(shè)費用最小，則應(yīng)使鋪設(shè)距離最短，為求得最小距離，則必須確定兩種管道的結(jié)合點O。</p><p>　　于是問題轉(zhuǎn)化為在四邊形ABCD內(nèi)找一點O，使|AO|+|BO|+|OF|最小。據(jù)實際情況判斷，O應(yīng)界定在矩形ACDE內(nèi)。</p><p><b>　　當時，，即；</b></p><p>

25、<b>　　當時，，即。</b></p><p>　　假設(shè)O點如圖2中所示?，F(xiàn)以AC所在直線為y軸，過O作于，以為原點，為x軸，建立如圖所示直角坐標系。</p><p>　　對任一給定的OF長度值h，通過O點在x軸上移動，相應(yīng)確定|AO|+|BO|的最小值。再通過x軸的上下滑動，可得到不同h值下|AO|+|BO|的最小值。</p><p>　　

26、應(yīng)用物理學中鏡面反射原理，以x軸為對稱軸，作A點鏡像點，連接B，可知，|B|即為|AO|+|BO|的最小值。</p><p><b>　　在圖中，</b></p><p>　　在中，由勾股定理求得</p><p>　　綜上所述，建設(shè)管道總費用為W：</p><p><b>　　當時， （）</b>

27、</p><p><b>　　當時， （）</b></p><p>　　在共用管道與非共用管道單位長度造價不同的情況下：</p><p>　　當兩煉油廠的連線所在直線垂直于鐵路線時，情景與圖1相同：</p><p>　　明顯的，從遠油廠鋪設(shè)非共用管道到近油廠，再從近油廠鋪設(shè)共用管道到增建的車站，費用最少。</p&

28、gt;<p><b>　　此時，總費用為</b></p><p>　　當兩煉油廠的連線所在直線不垂直于鐵路線時，同圖2（其中a,b大小不確定，不妨假設(shè)）：</p><p>　　由于兩種管道單位造價不相同，但非共用管道單位造價相同，當共用管道長度給定時，為使費用最少，必須使非共用管道長度之和最短，此時仍可套用模型①，只是此時在計算共用管道總費和非共用管道總

29、費用所用的單位造價不同。</p><p>　　建設(shè)管道總費用計算過程如下：</p><p><b>　　問題二</b></p><p>　　相對于問題一而言，問題二中增加了在城區(qū)鋪設(shè)管道的問題。</p><p>　　假設(shè)煉油廠B所鋪設(shè)管道從城區(qū)進入郊區(qū)的地點為，B在城郊分界線上的射影點為。</p><

30、p>　　現(xiàn)考慮城區(qū)鋪設(shè)管道的情況，因為在城區(qū)鋪設(shè)管道，涉及到的費用包括管道鋪設(shè)費用和拆遷補償費等，而城區(qū)鋪設(shè)管道的長度通過勾股定理可表示為：</p><p>　　對于郊區(qū)鋪設(shè)管道的長度，可以借用模型①（如圖3）。</p><p>　　因為對于給定的任意共用管道長度h，AO、O段的管道長度和總可通過光的反射原理得到一個最小值：</p><p>　　所以，管道總的

31、鋪設(shè)費用可以表示為一個關(guān)于h和m的函數(shù)：</p><p>　　根據(jù)題意，可得到，。其中均為已知。而為單位長度拆遷費用的期望值，根據(jù)題目中三家工程咨詢公司對拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用的估算（估算情況詳見表1），通過加權(quán)，可如下求出：</p><p>　　因為公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)，所以可設(shè)定公司一的權(quán)重為50%，公司二、三的權(quán)重均為25%，則</p>&l

32、t;p><b>　?。ㄈf元）</b></p><p>　　綜上，可建立一個規(guī)劃模型②：</p><p>　　決策變量：設(shè)共用管道的長度為h千米，煉油廠B在城區(qū)鋪設(shè)的管道線在城郊分界線上的射影長度為m千米。</p><p>　　目標函數(shù)：鋪設(shè)管道費用及城區(qū)拆遷附加費用的總費用最?。?lt;/p><p><b>

33、　　約束條件：</b></p><p>　　共用管道的長度h不超過A煉油廠到鐵路的垂直距離5千米，即</p><p>　　煉油廠B在城區(qū)鋪設(shè)的管道線在城郊分界線上的射影長度m不超過B煉油廠到鐵路的垂直距離8千米，即</p><p>　　h，m均不能為負值，即，.</p><p>　　通過LINGO 8.0軟件對規(guī)劃模型②進行求解（

34、求解程序見附件1），可得到</p><p><b>　?。ㄇ祝ㄇ祝?lt;/b></p><p>　　管線建設(shè)最省的費用為（萬元）</p><p><b>　　問題三</b></p><p>　　在問題三中，共用管道和A、B兩煉油廠的非共用管道的單價均不相同。所以在非共用管道問題上，最短管道長度和

35、未必能保證鋪設(shè)總費用最省。</p><p>　　因此，不能利用已建立的模型①，需重新建立模型求解。</p><p>　　我們以鐵路線所在的直線為x軸，以AC所在直線為y軸，建立如圖4所示平面直角坐標系。設(shè)三種管道的結(jié)點O（x，y），新建車站F（x，0）。（其它點坐標可由圖4所示參數(shù)指出）</p><p><b>　　則:</b></p&

36、gt;<p>　　此時可得到總費用與x，y，m之間的關(guān)系：</p><p>　　根據(jù)題意，可得到，，，其中 均為已知。</p><p>　　綜上，可建立一個規(guī)劃模型③：</p><p>　　決策變量：設(shè)三種管道的結(jié)點O到鐵路的距離為y千米，結(jié)點O到煉油廠A與鐵路垂線的距離為x千米，煉油廠B在城區(qū)鋪設(shè)的管道線在城郊分界線上的射影長度為m千米&

37、lt;/p><p>　　目標函數(shù)：鋪設(shè)管道費用及城區(qū)拆遷附加費用的總費用最?。?lt;/p><p><b>　　約束條件：</b></p><p>　　三種管道的結(jié)點O到煉油廠A與鐵路垂線的距離x不超過兩煉油廠到城郊分界線垂直距離之和20千米，即</p><p>　　結(jié)點O到鐵路的距離y不超過B煉油廠到鐵路的垂直距離8千米，即&

38、lt;/p><p>　　煉油廠B在城區(qū)鋪設(shè)的管道線在城郊分界線上的射影長度m不超過B煉油廠到鐵路的垂直距離8千米，即</p><p>　　x，y，m均不能為負值，即，，.</p><p>　　通過LINGO 8.0軟件對規(guī)劃模型③進行求解（求解程序見附件2），可得到</p><p>　?。ㄇ祝ㄇ祝ㄇ祝?lt;/p><

39、p>　　管線建設(shè)最省的費用為（萬元）</p><p><b>　　模型的靈敏度分析</b></p><p>　　在假設(shè)中忽略了地質(zhì)等原因可能導致部分管線按設(shè)計方案無法鋪設(shè)的情況。但在實際生活中，這樣的問題普遍存在。</p><p><b>　　模型的評價</b></p><p>　　本題我們共

40、建立的三個模型，簡單易懂。</p><p>　　對于模型①和模型②，通過選擇合適的變量，在非共用管線單價一致的情況下，巧妙地轉(zhuǎn)換了研究對象，由最少費用轉(zhuǎn)換為最短管線鋪設(shè)距離，并且很恰當?shù)乩梦锢韺W上平面鏡成像及光的反射原理進行求解。</p><p>　　但本模型僅適用于兩個煉油廠或其它類似工廠的最優(yōu)運輸線路的設(shè)計問題。</p><p>　　對于規(guī)劃模型③，除可以解決

41、模型①和模型②適用的所有問題，還可以解決模型①和模型②不能解決的多個煉油廠或其它類似工廠的最優(yōu)運輸線路的設(shè)計問題。但計算較為復雜，須借助相關(guān)數(shù)學軟件求解。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1]姜啟源 謝金星 葉俊 《數(shù)學模型（第三版）》 高等教育出版社 2003.8</p><p>　　[2]蘇金明 阮沈

42、勇 《MATLAB實用教程（第2版）》 電子工業(yè)出版社 2008.2</p><p>　　[3]王 湛 楊維軍《新時期煉油廠選址應(yīng)注意的問題》石油規(guī)劃設(shè)計 2008.7</p><p>　　[4]余 偉 《煉油廠環(huán)境風險評價的實踐和思考》 工業(yè)安全與環(huán)保 2007.6</p><p><b>　　附件</b></p>&l

43、t;p><b>　　附件一</b></p><p><b>　　程序：</b></p><p><b>　　model:</b></p><p>　　min=7.2*(((13-2*h-m)^2+225)^0.5+h)+28.7*(m^2+25)^0.5;</p><p>

44、;<b>　　h<5;</b></p><p><b>　　m<8;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　結(jié)果：</b></p><p>　　Local optimal solution found

45、at iteration: 53</p><p>　　Objective value: 282.6973</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　H 1.853787

46、 -0.6132680E-07</p><p>　　M 0.6321706 0.000000</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　　1 282.6973 -1.000000</p><p&g

47、t;　　2 3.146213 0.000000</p><p>　　3 7.367829 0.000000</p><p><b>　　附件二</b></p><p><b>　　程序：</b></p><p><b>

48、;　　model:</b></p><p>　　min=5.6*(x^2+(y-5)^2)^0.5+6.0*((15-x)^2+(8-m-y)^2)^0.5+7.2*y+27.5*(m^2+25)^0.5;</p><p><b>　　x<15;</b></p><p><b>　　y<8;</b>

49、</p><p><b>　　m<8;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　結(jié)果：</b></p><p>　　Local optimal solution found at iteration: 67&

50、lt;/p><p>　　Objective value: 251.9685</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　X 6.733782 -0.1688306E-07</p>

51、<p>　　Y 0.1388995 0.000000</p><p>　　M 0.7204969 0.000000</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　　1 251.9685