論文 —— 輸油管的布置

1、<p><b>　　輸油管的布置</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　“輸油管的布置”數(shù)學(xué)建模的目的是設(shè)計(jì)最優(yōu)化的路線，建立一條費(fèi)用最省的輸油管線路，但是不同于普遍的最短路徑問題，該題需要考慮多種情況，例如，城區(qū)和郊區(qū)費(fèi)用的不同，采用共用管線和非公用管線價(jià)格的不同等等。我們基于最短路徑模型，對(duì)于題目實(shí)際

2、情況進(jìn)行研究和分析，對(duì)三個(gè)問題都設(shè)計(jì)了合適的數(shù)學(xué)模型做出了相應(yīng)的解答和處理。</p><p>　　問題一：此問只需考慮兩個(gè)加油站和鐵路之間位置的關(guān)系，根據(jù)位置的不同設(shè)計(jì)相應(yīng)的模型，我們基于光的傳播原理，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的最短路徑模型，在不考慮共用管線價(jià)格差異的情況下，只考慮如何設(shè)計(jì)最短的路線，因此只需一個(gè)未知變量便可以列出最短路徑函數(shù)；在考慮到共用管線價(jià)格差異的情況下，則需要建立2個(gè)未知變量，如果帶入已知常量，可以

3、解出變量的值。</p><p>　　問題二：此問給出了兩個(gè)加油站的具體位置，并且增加了城區(qū)和郊區(qū)的特殊情況，我們進(jìn)一步改進(jìn)數(shù)學(xué)模型，將輸油管路線橫跨兩個(gè)不同的區(qū)域考慮為光在兩種不同介質(zhì)中傳播的情況，輸油管在城區(qū)和郊區(qū)的鋪設(shè)將不會(huì)是直線方式，我們將其考慮為光在不同介質(zhì)中傳播發(fā)生了折射。在郊區(qū)的路線依然可以采用問題一的改進(jìn)最短路徑模型，基于該模型，我們只需設(shè)計(jì)2個(gè)變量就可以列出最低費(fèi)用函數(shù)，利用Matlab和VC++

4、 都可以解出最小值，并且我們經(jīng)過多次驗(yàn)證和求解，將路徑精度控制到米，費(fèi)用精度控制到元。</p><p>　　問題三：該問的解答方法和問題二類似，但是由于A管線、B管線、共用管線三者的價(jià)格均不一樣，我們利用問題二中設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，以鐵路為橫坐標(biāo)，城郊交匯為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)軸，增加了一個(gè)變量，建立了最低費(fèi)用函數(shù)，并且利用VC++解出了最低費(fèi)用和路徑坐標(biāo)。</p><p>　　關(guān)鍵字： 改進(jìn)的

5、最短路徑 光的傳播 Matlab 數(shù)學(xué)模型</p><p><b>　　輸油管的布置</b></p><p><b>　　一、問題的重述</b></p><p>　　某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省

6、的一般數(shù)學(xué)模型與方法。</p><p>　　利用模型分析管線布置和管線費(fèi)用的情況，具體問題如下：</p><p>　　1. 針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。</p><p>　　2. 設(shè)計(jì)院目前需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位

7、置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。</p><p>　　若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)

8、資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示：</p><p>　　請(qǐng)為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。</p><p>　　3. 在該實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費(fèi)用同上。請(qǐng)給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。&

9、lt;/p><p><b>　　二、模型假設(shè)</b></p><p>　　1、管道均以直線段鋪設(shè)，不考慮地形影響。</p><p>　　2、不考慮管道的接頭處費(fèi)用。</p><p>　　3、不考慮施工之中的意外情況，所有工作均可順利進(jìn)行。</p><p>　　4、共用管線的價(jià)格如果和非公用管線不一致，

10、則共用管線價(jià)格大于任意一條非公用管線價(jià)格，小于兩條非公用管線價(jià)格之和。</p><p><b>　　三、符號(hào)說明</b></p><p>　　h：共用管道的高度（問題一中b）</p><p><b>　　h1:共用管道高度</b></p><p>　　h2:管線與分界線的交點(diǎn)到B廠與鐵路平行線的距離

11、</p><p><b>　　w：方案的經(jīng)費(fèi)</b></p><p>　　a：A廠到鐵路的距離</p><p>　　b：B廠到鐵路的距離</p><p>　　c:A廠到城郊分界線的距離</p><p>　　l:A、B兩廠之間的鐵路長(zhǎng)度</p><p>　　x：A廠離共用管道

12、的距離（問題一中的c）</p><p>　　y：共用管道的高度（問題一中的c）</p><p>　　m：共用管道的費(fèi)用（問題一）</p><p>　　n：非共用管道費(fèi)用（問題一）</p><p>　　y1：為o點(diǎn)的縱坐標(biāo)</p><p>　　y2：為o1點(diǎn)的縱坐標(biāo)</p><p>　　x1：為o

13、點(diǎn)的橫坐標(biāo)</p><p>　　x2：為o1點(diǎn)的橫坐標(biāo)</p><p>　　L: 為管線總長(zhǎng)度（問題一中的b）</p><p><b>　　四、問題分析</b></p><p>　　問題一：要考慮有和沒有共用管線，還要考慮共用管線與非共用管線費(fèi)用相同和不同兩種情況。同時(shí)還要考慮兩個(gè)工廠是否在鐵路的同一側(cè)，如果兩個(gè)工廠在

14、鐵路的同一側(cè)那么一定沒有共用管線。 不在鐵路的同一側(cè)那么就要考慮有和沒有共用管線這個(gè)問題。計(jì)算共用管線的長(zhǎng)度時(shí)，用光學(xué)原理，把一個(gè)工廠當(dāng)作光源發(fā)射一束光經(jīng)過一個(gè)平面的反射通過另一個(gè)工廠，這樣能夠保證路線最短。這個(gè)平面與鐵路的距離即為共用管線的長(zhǎng)度。同時(shí)與這個(gè)平面的交點(diǎn)就是兩廠的管線的交點(diǎn)。當(dāng)共用管線與非共用管線費(fèi)用不相同時(shí)可以通過建立方程組來解答。</p><p>　　當(dāng)共用管線與非共用管線費(fèi)用不相同時(shí)要建立方程

15、組來計(jì)算其最小費(fèi)用從而來確定方案的可行性，共用管線與非共用管線長(zhǎng)度作為變量來控制總費(fèi)用，那么我們就可以列出一個(gè)方程組，從而在變量的約束條件下可以確定最小費(fèi)用。</p><p>　　問題二：把這個(gè)問題分兩部分來考慮，即市區(qū)和郊區(qū)分兩個(gè)部分，火車站建立在郊區(qū)費(fèi)用要小得多，郊區(qū)共用管線與非共用管線的費(fèi)用相同所以可以用最短路徑的方法來考慮，同時(shí)又要求費(fèi)用最小，可以解出最低費(fèi)用及對(duì)應(yīng)的鋪設(shè)線路。</p>&l

16、t;p>　　問題三：通過建立坐標(biāo)系設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)也是表達(dá)管線的長(zhǎng)度，然后再與各自的費(fèi)用之積確定總的費(fèi)用，從而算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)值。即確定了管線的路線。</p><p>　　五、模型的建立與求解</p><p>　　5.1關(guān)于問題1的模型建立與求解</p><p>　　對(duì)于管線布置的分析，分為兩種情況：</p><p>　　兩廠分別在鐵

17、路的兩側(cè)如下圖： </p><p>　　那么連接兩廠A、B與鐵路的交點(diǎn)C即為火車站的位置。</p><p>　　當(dāng)兩廠位于鐵路的同一側(cè)時(shí),此時(shí)要分有公用管線與沒有公用管線兩種情況。</p><p>　　a.當(dāng)沒有公用管線時(shí)，此時(shí)找出兩廠與鐵路交點(diǎn)連線的最近路線即可，如圖

18、：</p><p>　　過鐵路作A廠的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’B與鐵路交于一點(diǎn)C，該點(diǎn)C即為火車站的位置。</p><p>　　b.當(dāng)有共用管線時(shí)又要分為共線管線費(fèi)用與非共線管線費(fèi)用相同與不同兩種情況：當(dāng)共線管線與非共線管線相同時(shí)，費(fèi)用為m萬元/千米如圖所示：</p><p>　　假設(shè)共線管線的長(zhǎng)度為h，A廠到鐵路的距離為a，B廠到鐵路的距離為b，則總的管線長(zhǎng)度為：

19、</p><p><b>　　則總費(fèi)用： </b></p><p>　　c.當(dāng)共線管線與非共線管線不同時(shí)，共用管線費(fèi)用為m萬元/千米 ，非共用管線費(fèi)用為n萬元/千米，如圖所示：</p><p><b>　　總費(fèi)用為：</b></p><p><b>　　其中</b></

20、p><p>　　實(shí)際的費(fèi)用可以根據(jù)已知道的常量a、b、l再結(jié)合x、y的取值范圍可以得出最小費(fèi)用。</p><p>　　5.2關(guān)于問題2的模型建立與求解</p><p>　　因?yàn)樵诔菂^(qū)和郊區(qū)鐵路管線的費(fèi)用相同，但城區(qū)要增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)荣M(fèi)用，因此城區(qū)和郊區(qū)要分為兩部分來考慮。我們考慮三家咨詢公司給出的三個(gè)方案，我們考慮到甲級(jí)資質(zhì)和乙級(jí)資質(zhì)的評(píng)估準(zhǔn)確性，首先排除掉公司二的

21、預(yù)算，對(duì)于公司一和公司三的預(yù)算，我們將分別求出最小費(fèi)用，考察兩者的差別。</p><p>　　1．假設(shè)共用管線在郊區(qū)把該模型看作是一束光從B點(diǎn)發(fā)射在分界處G點(diǎn)發(fā)生了折射，把左邊的問題看作是最短路徑問題，如圖所示：</p><p>　　設(shè)共用管線的長(zhǎng)度為h1，G點(diǎn)到O2B的距離為h2。在區(qū)域Ⅱ中即BG段每千米的費(fèi)用為：20+7.2=27.2萬元。</p><p>　　

22、由以上分析數(shù)據(jù)可得如下關(guān)系式：</p><p>　　總費(fèi)用： W1（最?。? （式1）</p><p>　　參數(shù)的取值范圍： （式2）</p><p>　　參數(shù)的取值范圍： （式3）</p&g

23、t;<p>　　利用Matlab將式（1）（2）（3）聯(lián)立關(guān)系式繪圖：</p><p>　　用Microsoft Visual C++ 6.0解:</p><p>　　W1(最小)= 275.13404萬元</p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</b></p><p>　　在這種情況下采用公司一的預(yù)算，只

24、需要在上式中將27.2增加為28.2即可，計(jì)算得到總費(fèi)用：280.177831萬元</p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</b></p><p>　　2．假設(shè)共用管線在城區(qū)同理，如圖所示：</p><p>　　由以上分析數(shù)據(jù)可得如下關(guān)系式：</p><p>　　總費(fèi)用：W2（最小）=（式1）參數(shù)的取值范圍：

25、 （式2）</p><p>　　參數(shù)的取值范圍： （式3）</p><p>　　用Microsoft Visual C++ 6.0解得</p><p>　　W2（最小）= 355.25587</p>&

26、lt;p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</b></p><p>　　顯然W1（最?。?lt;W2（最小）方案一費(fèi)用少于方案二，因此舍掉這種方案。</p><p>　　最終求得的結(jié)果為，如果采用一咨詢公司的估算價(jià)格，則最終費(fèi)用為275.134304萬元，如果采用三咨詢公司的估算價(jià)格，則最終費(fèi)用為280.177831萬元，考慮到公司一具有高級(jí)資質(zhì)，因此我們采用公司一的價(jià)格

27、方案，將最終預(yù)算設(shè)為280.177831萬元，但是實(shí)際鋪設(shè)管道的價(jià)格有可能在兩種估算價(jià)格之間。</p><p>　　5.3關(guān)于問題3的模型建立與求解</p><p>　　1、O點(diǎn)為B管線與分界線的交點(diǎn)，O1點(diǎn)為A管與B管的交點(diǎn)，如下圖建立坐標(biāo)軸，采用公司三的估算費(fèi)用，</p><p>　　總費(fèi)用等于各段路線的長(zhǎng)度與各段費(fèi)用的積為：</p><p&

28、gt;　　坐標(biāo)法解答，A01，OO1，OB，如圖：O(x1，y1),O1(x2，y2)</p><p>　　由以上分析數(shù)據(jù)可得如下關(guān)系式：</p><p>　　A廠到管道交接點(diǎn)O1的長(zhǎng)度：</p><p>　　AO1= （式1）</p><p>　　管道交點(diǎn)O1到B廠與城郊分界線交點(diǎn)O的長(zhǎng)度：</p>

29、<p>　　OO1= （式2）</p><p>　　B廠到交點(diǎn)O的長(zhǎng)度：</p><p>　　OB= （式3）</p><p>　　鐵路站點(diǎn)O2到交叉管道O1的長(zhǎng)度：</p><p>　　O1O2=

30、 （式4）</p><p><b>　　參數(shù)的取值范圍：</b></p><p><b>　　（式5） </b></p><p><b>　　參數(shù)的取值范圍：</b></p><p><b>　?。ㄊ?）</b></p>&l

31、t;p><b>　　參數(shù)的取值范圍：</b></p><p><b>　?。ㄊ?）</b></p><p><b>　　總費(fèi)用：</b></p><p>　　由以上式子利用Microsoft Visual C++ 6.0軟件求得最小經(jīng)費(fèi)：</p><p>　　W3（最小值

32、）= 244.386494萬元。 </p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果： </b></p><p>　　在同種情況下，用公司一的預(yù)算費(fèi)的總費(fèi)用：</p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</b></p><p>　　當(dāng)火車站建在市區(qū)費(fèi)用太高同二題中的方案二故不選用那種方案。因此類似于問題二，我們

33、采取公司一的估算價(jià)格，最終預(yù)算為249.468791萬元。但是公司三的價(jià)格也具有一定參考性，實(shí)際鋪設(shè)管道價(jià)格應(yīng)為244.386494萬元到249.468791萬元之間。</p><p>　　六、模型的評(píng)價(jià)與應(yīng)用</p><p>　　從實(shí)際的生活出發(fā)輸油管道是石油生產(chǎn)過程中的重要環(huán)節(jié)，是石油工業(yè)的動(dòng)脈。在石油的生產(chǎn)過程中，至始至終都離不開輸油管道。我們可以把石油的生產(chǎn)過程簡(jiǎn)單的表示為：

34、  </p><p>　　dO;vcgvb 油→ 計(jì)量站→ 井聯(lián)合站→ 轉(zhuǎn)油站→ 礦場(chǎng)油庫(kù)→ 煉油廠→ 用戶 </p><p>　　M].P(/~FS9 從油井出來的油氣通過管道輸送到計(jì)量站，經(jīng)過計(jì)量后又由管道輸送往聯(lián)合站，在聯(lián)合站生產(chǎn)出合格的原油，合格原油通過管道和轉(zhuǎn)油站輸?shù)降V場(chǎng)油庫(kù)或外輸?shù)焦艿朗渍?，通過長(zhǎng)輸原油管道輸?shù)綗捰蛷S加工精練，生產(chǎn)出各種產(chǎn)品，通過成品油管

35、道或鐵路、公路、水路將各種產(chǎn)品送往用戶，其中成品油管道就需要用到管道的布置設(shè)計(jì)。qetP93N_* </p><p><b>　　優(yōu)點(diǎn)：</b></p><p>　　模型使問題由復(fù)雜變簡(jiǎn)單，方便運(yùn)輸，提高輸油效率，規(guī)劃線路。管線布置和規(guī)劃及相應(yīng)的費(fèi)用減到最小，在不同的環(huán)境下用這種環(huán)境中的最優(yōu)模型，方便快捷，節(jié)約開支，使實(shí)際問題更加精確。同時(shí)對(duì)于題目的三個(gè)問

36、題都設(shè)計(jì)了合適的模型，并且當(dāng)給出具體數(shù)值的時(shí)候能夠給出足夠精確的解，具有一定的普遍性。OOok?hZd`其四：其四 e # 5BPI</p><p><b>　　缺點(diǎn)：</b></p><p>　　該模型在提出的時(shí)候?qū)⒉糠忠蛩貨]有考慮進(jìn)來，例如管線接頭處的費(fèi)用，以及工作工程中的一些意外情況等等，使得該模型在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)缺少精確性。 </p><p

37、><b>　　應(yīng)用：</b></p><p>　　模型在實(shí)際運(yùn)用中，不僅僅可以用在成品油運(yùn)輸管布置，還可運(yùn)用到原油輸送和污水處理，電線電纜的布置還有公路鐵路的修建等一些列的線路布置問題。</p><p>　　b8rp8'  r_b8,I6{] R[x7QlA; </p><p><b>　　七、參

38、考文獻(xiàn)</b></p><p>　　趙靜 但琦 《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》第三版 22-29頁，178-194頁 高等教育出版社 2008年1月</p><p>　　【2】 曹戈 《MATLAB教程及實(shí)訓(xùn)》 37-60頁 機(jī)械工業(yè)出版社 2008年5月</p><p>　　【3】 鄔學(xué)軍 周凱《數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教程》 73-96頁 浙江

39、大學(xué)出版社 2009年1月</p><p><b>　　附錄：</b></p><p><b>　　問題2程序</b></p><p>　　1、按照公司三的評(píng)估總費(fèi)用為：</p><p>　　#include<stdio.h></p><p>　　#include

40、<math.h></p><p>　　void main()</p><p><b>　　{</b></p><p>　　double h1,h2,w;</p><p>　　double a,b;</p><p>　　double min = 10000;</p><

41、;p>　　for(h1=0;h1<=8;h1+=0.001)</p><p>　　for(h2=0;h2<=8;h2+=0.001)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　if(h1+h2>8)</p><p><b>　　continue;</b>&l

42、t;/p><p>　　w=27.2*sqrt(25+h2*h2)+(sqrt((5-h1+8-h1-h2)*(5-h1+8-h1-h2)+225)+h1)*7.2;</p><p><b>　　if(min>w)</b></p><p><b>　　{</b></p><p><b>　

43、　min=w;</b></p><p><b>　　a=h1;</b></p><p><b>　　b=h2;</b></p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　}</b></p><p>　　

44、printf("%f \n",min);</p><p>　　printf("%f %f \n",a,b);</p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</b></p><p>　　2、按照公司一評(píng)估總費(fèi)用為：</p

45、><p><b>　　問題3程序：</b></p><p>　　1、按照公司三評(píng)估總費(fèi)用為：</p><p>　　#include"stdio.h"</p><p>　　#include"math.h"</p><p><b>　　main()<

46、/b></p><p>　　{ double x2,y2,y1,w,a,b,c,min=1000;</p><p>　　for(x2=-15;x2<=0;x2+=1)</p><p>　　for(y1=0;y1<=8;y1+=1)</p><p>　　for(y2=0;y2<=8;y2+=1)</p>&

47、lt;p><b>　　{</b></p><p>　　w=5.6*sqrt((x2+15)*(x2+15)+(y2-5)*(y2-5))+6.0*sqrt((x2*x2)+(y1-y2)*(y1-y2))+26.0*sqrt(25+(8-y1)*(8-y1))+7.2*y2;</p><p><b>　　if(min>w)</b>&l

48、t;/p><p><b>　　{</b></p><p><b>　　min=w;</b></p><p><b>　　a=x2;</b></p><p><b>　　b=y2;</b></p><p><b>　　c=y1;

49、</b></p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　}</b></p><p>　　printf("min=%f \nx2=%f \ny2=%f \ny1=%f\n",min,a,b,c);</p><p><b>　　}</

50、b></p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：</b></p><p>　　將循環(huán)因子的步長(zhǎng)降低之后，進(jìn)一步精確求解值為：</p><p>　　#include"stdio.h"</p><p>　　#include"math.h"</p><p>&l

51、t;b>　　main()</b></p><p>　　{ double x2,y2,y1,w,a,b,c,min=1000;</p><p>　　for(x2=-9;x2<=-7;x2+=0.001)</p><p>　　for(y1=6;y1<=8;y1+=0.001)</p><p>　　for(y2=0;y

52、2<=1;y2+=0.001)</p><p><b>　　{</b></p><p>　　w=5.6*sqrt((x2+15)*(x2+15)+(y2-5)*(y2-5))+6.0*sqrt((x2*x2)+(y1-y2)*(y1-y2))+26.0*sqrt(25+(8-y1)*(8-y1))+7.2*y2;</p><p><

53、b>　　if(min>w)</b></p><p><b>　　{</b></p><p><b>　　min=w;</b></p><p><b>　　a=x2;</b></p><p><b>　　b=y2;</b></p

54、><p><b>　　c=y1;</b></p><p><b>　　}</b></p><p><b>　　}</b></p><p>　　printf("min=%f \nx2=%f \ny2=%f \ny1=%f\n",min,a,b,c);</p&