畢業(yè)設(shè)計--正態(tài)分布及其在教育評價中的應(yīng)用

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計）</p><p>　　( 2013 屆 ) </p><p>　　題 目： 正態(tài)分布及其在教育評價中的應(yīng)用 </p><p>　　學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 <

2、;/p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要2</b></p><p>　　Abstract3</p><p><

3、;b>　　1 引言4</b></p><p>　　1.1 正態(tài)分布4</p><p>　　1.1.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)及其圖形4</p><p>　　1.1.2 正態(tài)分布的特征5</p><p>　　1.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其分布函數(shù)7</p><p>　　1.3 正態(tài)隨機變量落在區(qū)間上的概

4、率分布問題8</p><p>　　1.4中心極限定理12</p><p>　　2正態(tài)分布在教育評價中的應(yīng)用13</p><p>　　2.1 常見成績的分布規(guī)律14</p><p>　　2.2 確定評價對象的相對位置15</p><p>　　2.3 確定招生錄取分數(shù)線及優(yōu)生分數(shù)線16</p>&

5、lt;p>　　2.4 確定等級評定人數(shù)17</p><p><b>　　參考文獻18</b></p><p>　　正態(tài)分布及其在教育評價中的應(yīng)用</p><p>　　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 程凌芬（20905011006）</p><p><b>　　指導(dǎo)老師：周宗好</b>&

6、lt;/p><p>　　摘要：正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中有著重要的地位，其應(yīng)用極為廣泛，例如人的身高、體重，炮彈的彈落點的分布，誤差的分析等等，由于正態(tài)分布首先是高斯在研究誤差分析時提及到的，故又稱高斯分布。</p><p>　　本文描述了正態(tài)分布的特征，正態(tài)分布密度函數(shù)及其圖像的性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其分布函數(shù)，正態(tài)隨機變量在特定區(qū)間上的概率問題，以及正態(tài)分布應(yīng)用廣泛的理論依據(jù)。正態(tài)分布在實

7、際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，本文側(cè)重論述了正態(tài)分布在教育評價中的應(yīng)用，常見成績的分布規(guī)律，評定評價對象的相對位置，確定招生錄取分數(shù)線以及確定等級評定人數(shù)等的應(yīng)用，教育評價運用正態(tài)分布的知識來解決一系列的問題，會使得教育評價的結(jié)果更為公正、客觀，這對教學(xué)質(zhì)量的提高和教學(xué)管理水平的提高都有著重要的意義。</p><p>　　關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)；教育評價；考試成績；評定</p><p>

8、　　Normal distribution and its application in the Educational EvaluationMathematics and Statistics and Applied Mathematics Cheng Lingfen (20905011006)Instructor: ZHOU Zonghao</p><p>　　Abstract: Normal distr

9、ibution plays an important role in probability theory and mathematical statistics, and its wide range of applications, such as the distribution of the person's height, weight, shells, bomb-fall, error analysis, first

10、 due to the normal distribution is Gaussian in the study mentioned in the error analysis, it is also known as the Gaussian distribution. This article describes the characteristics of a normal distribution, normal dis

11、tribution density function of the nature o</p><p>　　Keywords: normal distribution; standard scores; educational evaluation; examination results; assessment</p><p><b>　　1 引言</b></p

12、><p>　　我們周圍有許多事情都離不開數(shù)學(xué)，這樣的例子枚不勝舉，就概率問題而言，在生活中就有著很多應(yīng)用，而正態(tài)分布又是概率學(xué)中一個非常重要的分布，它有著比較特殊的性質(zhì)和應(yīng)用，中心極限定理是正態(tài)分布廣泛應(yīng)用的理論依據(jù)。工程技術(shù)與自然界中有許多隨機變量都是服從正態(tài)分布的，例如工程零件的重量、尺度、使用壽命，炮彈落點的分布，某個地區(qū)的年降雨量，以及學(xué)生考試的分數(shù)等等。就本文著重介紹了正態(tài)分布在教育評價中的應(yīng)用，考試成績的

13、分布情況，以及哪些因素影響成績的分布。確定評價對象的相對位置，對在不同的學(xué)校，不同的年級，不同的學(xué)科老師的教學(xué)質(zhì)量的評價，利用正態(tài)分布可以客觀準(zhǔn)確的確定他們的相對位置。也可以利用正態(tài)分布確定招生錄取分數(shù)線以及優(yōu)生分數(shù)線，比如各省以及全國的高考錄取分數(shù)線就是利用正態(tài)分布來加以確定的，還有學(xué)校確定各個年級各個學(xué)科的優(yōu)生分數(shù)線。運用正態(tài)分布還可以確定等級評定的人數(shù)，根據(jù)學(xué)生考試成績可以分為不同的等級，根據(jù)等級求出各等級的人數(shù)，估計某個分數(shù)區(qū)間

14、的人數(shù)等等。研究正態(tài)分布在教育評價中的應(yīng)用，使得教學(xué)管理更為合理、客觀、公正。</p><p><b>　　1.1 正態(tài)分布</b></p><p>　　1.1.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)及其圖形</p><p>　　在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中有著多種分布。正態(tài)分布就是其中一個重要的分布，由于高斯在研究誤差分析時首先用正態(tài)分布來描述誤差的分布，所以又稱為

15、高斯分布或者誤差分布。</p><p>　　設(shè)為隨機變量，若的密度函數(shù)為：</p><p><b>　　1.1-1</b></p><p>　　則稱服從正態(tài)分布，稱為正態(tài)變量，記為。其中π為3.1415926……, e為2.71828……，µ為總體的平均值，也稱位置參數(shù)。σ為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，也稱尺度參數(shù)。</p><

16、p>　　正態(tài)分布密度函數(shù)p（x）的圖像如圖1.1-1所示</p><p>　　圖1.1-1 正態(tài)分布密度函數(shù)</p><p>　　1.1.2 正態(tài)分布的特征</p><p>　　σ和µ是正態(tài)分布的兩個參數(shù)，當(dāng)µ和σ確定時，正態(tài)密度函數(shù)圖像也就確定了。圖1.1-2和圖1.1-3中給出了µ和σ分別變化時，相應(yīng)正態(tài)密度函數(shù)圖像的變化情況

17、。</p><p>　　圖1.1-2 保持σ值不變，改變µ的值</p><p>　　圖1.1-3 保持µ值不變，改變σ的值</p><p>　　由圖1.1-2可以看出，如果保持σ不變，改變µ的值，那么圖像的形狀保持不變，而圖像沿x軸平移。這也說明了正態(tài)密度函數(shù)圖像的位置是由µ來確定的，故亦稱µ為位置參數(shù)。</p

18、><p>　　同樣，由圖1.1-3可以看出，如果保持µ不變，而改變σ的值，那么圖形的位置將保持不變，形狀卻有所改變。σ越小，圖像則呈現(xiàn)高而瘦，分布比較集中；σ越大，圖像則呈現(xiàn)矮而胖，分布比較分散，這也說明了正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的尺度是由σ來確定的，故亦稱尺度函數(shù)。</p><p>　　對公式1.1-1進行求導(dǎo)，可以得到：</p><p><b>　　

19、1.1-2</b></p><p>　　令=0，則，當(dāng)時，有極大值，也是最大值，（從圖1.1-1也能看出）極大值為 。</p><p>　　再對公式1.1-2進行求導(dǎo)，可以得到：</p><p><b>　　1.1-3 </b></p><p>　　令=0，則，即是曲線的兩個拐點。</p>

20、<p>　　表1.1-1 正態(tài)曲線特征</p><p>　　由圖1.1-1和表1.1-1可知：</p><p>　?。?）x=µ是曲線的對稱軸，在x=µ時，函數(shù)取得極大值也是最大值，即。當(dāng)時，為單調(diào)遞增，當(dāng)時，為單調(diào)遞減，曲線呈中間高，兩頭低的鐘的形狀。</p><p>　　（2）x的取值范圍為實數(shù)集R，當(dāng)x離µ越遠時，的值就

21、越來越?。划?dāng)x趨于時，曲線無線接近x軸，但與x軸永不相交。</p><p>　?。?）曲線總在x軸的上方，即有>0恒成立。</p><p>　?。?）正太密度函數(shù)曲線有兩個拐點，分別在處。</p><p>　　（5）曲線與x軸所圍的面積為1，µ的左右兩側(cè)均為0.5。</p><p>　　正態(tài)分布的可加性：設(shè)隨機變量,,且與獨立

22、,則，。</p><p>　　1.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其分布函數(shù)</p><p>　　在上節(jié)中所講的正態(tài)分布密度函數(shù)曲線與x軸所圍面積為1，很容易想到，求曲線下的面積可以通過積分來解決。下面對公式1.1-1進行積分，可得：</p><p><b>　　1.2-4</b></p><p>　　上式即為正態(tài)分布N（，）的分布函

23、數(shù)，它是一條光滑呈上升趨勢的S形曲線，如圖1.2-4所示。</p><p>　　圖1.2-4 分布函數(shù)</p><p>　　從概率論的角度去考慮，隨機變量X的分布函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)在區(qū)間上的積分，而其在上的積分值為1， 也是概率分布函數(shù)。</p><p>　　我們稱的正態(tài)分布，即時為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。一般記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為U，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為,分布函數(shù)為，即<

24、/p><p><b>　　1.2-5</b></p><p><b>　　1.2-6</b></p><p>　　標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖像如圖1.2-5所示：</p><p>　　圖1.2-5 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)</p><p>　　在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，由于位置參數(shù)µ和

25、尺度參數(shù)σ已經(jīng)確定，分別為0和1，所以的值就可以算出來，具體的值見標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表。</p><p>　　1.3 正態(tài)隨機變量落在區(qū)間上的概率分布問題</p><p>　　連續(xù)型隨機變量X落在區(qū)間上的概率等于它的密度函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即：</p><p>　　= 1.3-7 </p><p>　　而對于正態(tài)

26、隨機變量X在區(qū)間上的概率則為：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　= 1.3-8</p><p>　　對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量U在區(qū)間上的概率為：</p><p>　　= 1.3-9</p><p>　　隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概

27、率計算問題。</p><p>　　如果X~，則X落在區(qū)間上的概率計算如下：</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　和均可從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查得。<

28、;/p><p>　　例1：設(shè)X~，求：（1） </p><p><b>　　（2）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　解：（1）=</b></p><p><b>　　==0.7881</b&g

29、t;</p><p><b>　?。?）=1</b></p><p><b>　　=1</b></p><p>　　=1=1-0.9332=0.0668</p><p><b>　　（3）=</b></p><p><b>　　=</b&

30、gt;</p><p>　　=0.9332-0.7881=0.1451</p><p>　　由（1）、（2）、（3）、可知：</p><p>　　++=1,即x在整個區(qū)間上取值，其概率為1，這也就說明了正態(tài)密度函數(shù)曲線與x軸所圍的面積為1。</p><p>　　由上可知，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中有：</p><p><b

31、>　　，</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　1-,</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　（c≥0）</b></p><p>　　例2

32、：設(shè)，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表求下列事件的概率：</p><p><b>　?。?）,</b></p><p><b>　?。?）,</b></p><p><b>　?。?）,</b></p><p><b>　?。?）</b></p>&l

33、t;p>　　解：(1) =0.9332</p><p>　?。?）=1-=1-0.9332=0.0668</p><p>　　(3) =2-1=2×0.9772-1=0.9544</p><p>　　(4) =-=0.9332-0.8413=0.0919</p><p>　　隨機變量的概率計算問題</p><

34、;p>　　如果，那么X落在區(qū)間上的概率，應(yīng)該是對它的密度函數(shù)在區(qū)間上進行積分所得，即：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　這個積分是可以求出來的，但可能會比較麻煩，而且當(dāng)位置參數(shù)µ和尺度參數(shù)σ改變時，積分值也會不同。我們不可能對每一組µ和σ都制造出正態(tài)分布表，更何況µ和σ的組合是無限的，所以沒辦法去制造出無

35、數(shù)種正態(tài)分布表。但我們可以設(shè)法將一般的正態(tài)分布的隨機變量X化成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后再利用已有的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，來解決一般的正態(tài)分布的概率問題。</p><p>　　隨機變量，X的分布函數(shù)為：</p><p>　　可以令，則上式可化為：</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=

36、</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　令，則</b></p><p><b>　　上式=</b></p><p><b>　　=&

37、lt;/b></p><p><b>　　=1=1</b></p><p>　　如果隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那么相應(yīng)事件的概率很容易就可以求出來。但在實際問題中，不是所有的隨機變量都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那對于一般的正態(tài)分布，該如何求出與相應(yīng)變量的事件的概率。下面給出一個定理：</p><p>　　如果隨機變量，那么。</p>

38、<p>　　任何一個正態(tài)分布都可以通過以上的線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)正太分布。</p><p>　　例3：設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，求事件的概率。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　=0.99871+0.9772</p><p><b>　　=0.9759</b>&l

39、t;/p><p>　　例4：設(shè)隨機變量，求。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　當(dāng)=1時，</b></p><p><b>　　當(dāng)=2時，</b></p><p><b>　　當(dāng)=3時，</b><

40、;/p><p>　　由上可知，當(dāng)=3時，X落在區(qū)間上的概率為0.9973，由于觀測值落在范圍內(nèi)占總觀測值的99.73%，超出該范圍的只有0.27%。在這個范圍內(nèi)幾乎包含了所有的觀測值，這就是正態(tài)分布中的“原則”。正態(tài)分布的“原則”在實際工作中有著廣泛的應(yīng)用，比如工業(yè)生產(chǎn)上的控制圖、質(zhì)量管理、質(zhì)量控制等等。</p><p><b>　　1.4中心極限定理</b></p

41、><p>　　林德伯格-萊維中心極限定理：設(shè)是獨立同分布的隨機變量序列，且，存在，若記</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則對任意實數(shù)有，。</b></p><p>　　當(dāng)時，，其中，，可知。即設(shè)獨立同分布，，則時，。由該定理可知，設(shè)獨立同分布，方差存在，不管原來的分布

42、是什么，只要當(dāng)充分大，就可以用正態(tài)分布去逼近隨機變量和的分布。</p><p>　　棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理：設(shè)重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為，記為次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記</p><p><b>　　，則對任意實數(shù)，有</b></p><p><b>　　。</b></p><

43、;p>　　，，，,且獨立同分布，根據(jù)林德伯格-萊維中心極限定理可知，設(shè)，時，。</p><p>　　2正態(tài)分布在教育評價中的應(yīng)用</p><p>　　教育評價是指在一定的教育價值觀的指導(dǎo)下，依據(jù)確立的教育目標(biāo)，通過使用一定的技術(shù)和方法，對所實施的各種教育活動、教育過程和教育結(jié)果進行科學(xué)判定的過程。它是教育部門評定學(xué)校工作的一個重要手段。正態(tài)分布在教育評價中有著廣泛的應(yīng)用，在教育實踐

44、中同樣有很多現(xiàn)象符合或者接近正態(tài)分布。 比如學(xué)生的能力，學(xué)生的考試成績，比較學(xué)生以及老師的相對位置，評定等級人數(shù)的確定，考試錄取分數(shù)線的確定等等。</p><p>　　2.1 常見成績的分布規(guī)律</p><p>　　考試成績是反饋教學(xué)效果,檢測教學(xué)質(zhì)量,評價教學(xué)質(zhì)量的依據(jù)。因此，對考試成績做出定量分析是一項非常必要的工作。在大量考試成績研究中，可以看出，凡是符合教學(xué)規(guī)律的考試，它的總體成績

45、都服從正態(tài)分布或者接近正態(tài)分布，考試分數(shù)特別高的和考試分數(shù)特別低的所占概率很小，處于中間分數(shù)段的概率很大。但如果考試人數(shù)很少時，或者考題偏難或偏于容易，成績就會出現(xiàn)偏態(tài)分布。</p><p>　　上學(xué)期我在祁門二中實習(xí)了兩個月，在學(xué)校實習(xí)的期間，我?guī)У哪莻€班級經(jīng)?？荚?，每次考試成績都是由我來統(tǒng)計的。在大多數(shù)的考試中，都會有幾個同學(xué)得滿分，二三十分的也總會有幾個人，而大多數(shù)人的分數(shù)都在八十分左右。就拿我們班的期中考

46、試成績來說，成績分布情況如圖2.1-6所</p><p>　　圖2.1-6 數(shù)學(xué)期中考試成績</p><p>　　從圖中可以看出這次期中考試成績基本服從正態(tài)分布，呈現(xiàn)中間高，兩頭低的分布趨勢。</p><p>　　在我統(tǒng)計的分數(shù)中，也會出現(xiàn)原始分數(shù)不服從正態(tài)分布的，原因有很多種，可能由于考試試題特別難或者特別容易，也可能是因為考試的人數(shù)較少，還有可能是由于考紀(jì)偏松或

47、者為了片面追求某種達標(biāo)的目的等等，這些因素都有可能造成考試成績的原始分數(shù)呈偏態(tài)分布。</p><p>　　在考試中會因為各門學(xué)科每次試題的難易程度不同，分值的意義就會不同，那么其評分標(biāo)準(zhǔn)也會有所不同。對于那些不同考試成績的原始分數(shù)就不能用原始的代數(shù)方法來處理了，也不能進行相互比較，因為它們的基準(zhǔn)不同，所有就失去了可比性。因此單憑原始的分數(shù)就無法準(zhǔn)確的確定學(xué)生成績的優(yōu)劣和其在集體中的相對位置。在大多數(shù)的教育統(tǒng)計中，

48、都將考試的原始分數(shù)進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)，只有這樣才能使教學(xué)評價更為公平、公正、客觀。</p><p>　　2.2 確定評價對象的相對位置</p><p>　　在實際的教學(xué)工作中，教學(xué)管理者會經(jīng)常對不同的學(xué)校、不同的班級、不同的教師的教學(xué)效果進行分析比較，進而可以明確它們在總體中較為準(zhǔn)確的相對位置。</p><p>　　在實際的教學(xué)中，如果只是單一的依靠所測定的原

49、始分數(shù)來進行分析比較，比如，總分數(shù)、平均分等，這就存在著很大的不科學(xué)性，是不可取的。每次考試或者測定的原始分數(shù)，盡管可以用來進行橫向的比較，但始終屬于缺乏一定的參照點的非標(biāo)準(zhǔn)化計分范圍。為了使評定更具客觀性、科學(xué)性，只有將這些非標(biāo)準(zhǔn)化的計分轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化的計分，然后再進行分析比較。前面所提到的“標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)”就是一種標(biāo)準(zhǔn)化的計分，標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，表示一個分數(shù)在總體中所處位置的相對位置量數(shù)。然而，在統(tǒng)計學(xué)中又稱標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)為“Z分數(shù)”，它

50、是原始分數(shù)與總體平均數(shù)的差，再除以總體的標(biāo)準(zhǔn)差所得的商，其求法去下：</p><p>　　,其中X為原始分數(shù)，為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，為總體的平均數(shù)。</p><p>　　從公式中可以看出，Z的取值可能為0，也可能為正的或者負的。當(dāng)某個原始分數(shù)等于平均分時，標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)就等于0，即Z=0；當(dāng)原始分數(shù)大于標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)時，標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)為正值，即Z＞0；當(dāng)原始分數(shù)小于標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)時平均分時，標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)為負值，即Z＜0。這

51、批分數(shù)全部轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)后，它們的整個分布形態(tài)并沒有發(fā)生變化。標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)準(zhǔn)確地刻畫了一個分數(shù)在一批分數(shù)中的相對位置，但是，由于標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)有負值，并且有時會帶有小數(shù)的，就不容易被人們理解和應(yīng)用，因此人們在標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)的基礎(chǔ)上進一步轉(zhuǎn)換，從而便發(fā)展起了一系列其他形式的標(biāo)準(zhǔn)分。轉(zhuǎn)換公式為：</p><p>　　,其中，為其他形式的標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)，是轉(zhuǎn)換方程的斜率，是轉(zhuǎn)換方程的截距。</p><p>　　例如，

52、現(xiàn)在要評價某個學(xué)校初二年級語文、英語、數(shù)學(xué)三位教師在上學(xué)期的教學(xué)效果，給出表2.2-2的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：</p><p><b>　　表2.2-2</b></p><p>　　人們看到上面的表格，習(xí)慣上會認為數(shù)學(xué)教師的教學(xué)效果最好，因為從班上的平均分去看，數(shù)學(xué)考試的分數(shù)最高。但在教學(xué)評價中，需要更為客觀，更為科學(xué)的評價。由于三位老師所教的學(xué)科不同，只是從原始分數(shù)的角度是

53、沒有辦法進行直接比較的，所以應(yīng)該從具有等距意義的標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)比較，評價的結(jié)果卻截然不同，語文老師的教學(xué)效果則是最好的。</p><p>　　通過把原始分數(shù)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)，不但可以比較不同的學(xué)科之間老師的教學(xué)效果，同時還可以比較不同的班級、不同的學(xué)?；蛘呤峭昙壨瑢W(xué)科老師之間的教學(xué)效果。如果評價對象在入口或者出口上存在較大的差異，則還可以分別計算各自入口或出口的標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)，再用它們的標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)之差來進行比較，就更能對教學(xué)效

54、果做出更加科學(xué)、公正、客觀的評價。</p><p>　　2.3 確定招生錄取分數(shù)線及優(yōu)生分數(shù)線</p><p>　　目前，我國仍然是傳統(tǒng)的應(yīng)試教育，學(xué)生從小學(xué)升初中會有考試，初中升高中也有考試，高中畢業(yè)時就會面臨高考，我們都知道，不是所有的初中生都有機會上高中，更不是每位學(xué)生都有機會上大學(xué)。因為這之間有中考和高考，而中考和高考都是按照一定的比例來錄取的，而錄取分數(shù)線的確定就需要科學(xué)、合理，

55、這樣才公平、公正。</p><p>　　例如，常模轉(zhuǎn)換分數(shù)是根據(jù)高考目的，把原始分數(shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)。其標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)的平均分為500，標(biāo)準(zhǔn)差為100，每個常模轉(zhuǎn)換分數(shù)都與相應(yīng)分數(shù)以下的考生數(shù)和考生總數(shù)的比例有一定的對應(yīng)關(guān)系。如某考生數(shù)學(xué)高考的成績?yōu)?90分，根據(jù)高考標(biāo)準(zhǔn)分與百分等級對照表，得出這位考生分數(shù)以下的考生占考生總數(shù)的比例。查表690分對應(yīng)的比例為9.7127998%，如果這位考生為前年某省理工類考生，前年理工

56、類考生數(shù)為9786人，那么他超過9505人，比他分數(shù)高的考生大概281人，其算法如下：9786×(1-0.97127998)。很容易就可以看出考生在全體考生中的位置，再根據(jù)常模轉(zhuǎn)換來確定錄取分數(shù)線。</p><p>　　同樣，用這種方法還可以確定各個年級以及各個學(xué)科的優(yōu)生分數(shù)線，無論對哪個學(xué)?；蛘吣膫€年級來說，其中都會有一部分優(yōu)秀生。那么如何來確定優(yōu)秀生，這也是一個問題。有很多教育管理部門直接擬定一個分

57、數(shù)線，然后按照這個分數(shù)線去評定優(yōu)秀生，這樣做其實很不科學(xué)，也被很多教師所反對。確定優(yōu)生分數(shù)線要有科學(xué)性，才能令人們嘆服，也不會被教師所反對。利用正態(tài)分布的理論來解決這個問題，就會輕松、合理許多。運用正態(tài)分布來確定優(yōu)生分數(shù)線的具體方法如下：</p><p>　　如果確定優(yōu)生率為,就可以根據(jù)的值去查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得出Z的值，再利用就可以求出各科優(yōu)生分數(shù)了，即：。</p><p>　　例如,某市

58、先設(shè)定初中一年級的優(yōu)生率為20%，在期末考試中，語文、數(shù)學(xué)、英語的平均成績分別是82分、85分、84分，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別是12、13、11.5，那么語文、數(shù)學(xué)和英語各科的優(yōu)生分數(shù)線就可以利用前面的公式求出來，優(yōu)生分數(shù)線分別為： ,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得， </p><p><b>　　Z=0.85， ，</b></p><p><b>　　， <

59、/b></p><p>　　這將比事先擬定的優(yōu)生分數(shù)線更能服眾,才不會被老師們所反對，可見，正態(tài)分布在確定分數(shù)線中的作用是很大的。</p><p>　　2.4 確定等級評定人數(shù)</p><p>　　在教育評價中也會將學(xué)生的成績分為幾個不同的等級，比如說，在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，教育部門為了加強對高中課程的管理和質(zhì)量監(jiān)控，同時，也為了可以向高校提供更多關(guān)于考生的信息，設(shè)

60、置了普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)水平測試。學(xué)生的成績就實行了等級計分，分為A、B、C、D四個等級。再例如我們經(jīng)?？吹接械臅r候我們的成績單上的評價是優(yōu)、良、中、差四個等級等等。然而正態(tài)分布在確定每個等級的人數(shù)中又起著很重要的作用。</p><p>　　在學(xué)生的能力或者成績基本符合正態(tài)分布時，可以將正態(tài)分布基線上的Z值在-3到3之間六個標(biāo)準(zhǔn)差的距離分成四等份，然后再求出每個部分的面積，查表可以得出結(jié)果，再乘以總?cè)藬?shù)，就是每個等級

61、評定的人數(shù)。</p><p>　　例如，某學(xué)校高一年級總共有1000名學(xué)生，在期中考試中，其英語成績剛好符合正態(tài)分布，現(xiàn)在學(xué)校要將學(xué)生的英語成績分成優(yōu)、良、中、差四個等級，那么每個等級應(yīng)該設(shè)定多少學(xué)生？像這樣的問題就可以利用上面的方法來確定，將Z為-3到3分成四個等份，因為在-3到3以外的為小概率事件。-3到-1.5之間為差，-1.5到0之間為中，0到1.5之間為良，1.5到3之間為優(yōu)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可知：&l

62、t;/p><p>　　那么成績優(yōu)秀的人數(shù)約為0.0654×1000≈67人，成績良好的人數(shù)約為0.4332×1000≈433人，成績中等和差等的人數(shù)分別與成績良好和優(yōu)秀的人數(shù)基本相同，分別約為433人和67人。</p><p>　　利用正態(tài)分布的理論可以根據(jù)等級求出各個等級的人數(shù)，同時還可以估計某個分數(shù)區(qū)間的人數(shù)。例如，某學(xué)校初二年級一共有300名學(xué)生，期末考試中，數(shù)學(xué)成績

63、的平均分為85分，其標(biāo)準(zhǔn)差為6，問在70分到80分之間大概有多少人。因為這是求某一分數(shù)段的概率問題，所以我們首先將原始分數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)，即Z分數(shù)，</p><p>　　再求-2.5到-0.83之間的概率，通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可得，所以分數(shù)在70分到80分之間的概率為P=0.4938-0.2967=0.1917，即分數(shù)在該分數(shù)段的學(xué)生約為300×0.1917≈59人。</p><

64、p>　　利用正態(tài)分布可以將定性的評價轉(zhuǎn)化為量化的評價，總而言之，正態(tài)分布在教育評價中有著很多應(yīng)用，也為教育工作克服了許許多多的困難和弊端，使得教育評價加客觀、公正，使得教學(xué)管理工作更為科學(xué)化。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程.2版.北京：高等教育出版社，2001.2：106-

65、107.</p><p>　　[2] 邵丹. 正態(tài)分布與參考值范圍[EB/OL]. [2013-1-31].</p><p>　　[3]馬淑英. NORMSDIST()函數(shù)計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值[EB/OL]. </p><p>　　[4] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程.2版.北京：高等教育出版社，2001.2：106-107.</p>

66、<p>　　[5] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程.2版.北京：高等教育出版社，2001.2：106-107. </p><p>　　[6] 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程.2版.北京：高等教育出版社，2001.2：106-107.</p><p>　　[7] 全國十二所重點師范大學(xué)聯(lián)合編寫.2版.北京：教育科學(xué)出版社，2008,12：308.<

67、;/p><p>　　[8] 鄒啟文. 概率統(tǒng)計理論在教育評價中的應(yīng)用[EB/OL]. [2010-12-24]. </p><p>　　[9] 張純. 聚焦普通高中學(xué)業(yè)水平考試[EB/OL]. [2013-4-8]. </p><p>　　[10] 田華.論正態(tài)分布在教育評價中的應(yīng)用[EB/OL]. [2013-2-25]. </p><p>　

68、　本科畢業(yè)論文(設(shè)計)任務(wù)書</p><p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計)開題報告</p><p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計)指導(dǎo)記錄</p><p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計)中期檢查表</p><p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計)答辯資格審查表</p><p>　　本科畢業(yè)設(shè)計(論文)作品(實物)驗收單（此表有就填）</