動力系統(tǒng)簡介[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　動力系統(tǒng)簡介</b></p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：今天的動力系統(tǒng)大致有微分動力系統(tǒng)、

3、Hamilton動力系統(tǒng)、拓撲動力系統(tǒng)、復動力系統(tǒng)、遍歷論、隨機動力系統(tǒng)等若干方向。1892年俄國數(shù)學力學家Lyapunov建立了穩(wěn)定性理論研究的框架。本文主要介紹了動力系統(tǒng)的相關概念，Lyapunov穩(wěn)定性和實用穩(wěn)定性這兩種常見的穩(wěn)定性的概念及國內外研究現(xiàn)狀以及幾類實用穩(wěn)定性在實際問題中的應用。</p><p>　　關鍵詞：實用穩(wěn)定性；動力系統(tǒng) ；lyapunov穩(wěn)定；電力市場</p><p

4、>　　An Introduction to Dynamical System </p><p>　　Abstract: Nowadays,dynamical system is generally divided into Differential dynamical systems,Hamilton dynamical system,Topological dynamical system,Comp-

5、 lex dynamical systems, Ergodic theory, Random dynamical systems and so on. In 1892,the Russian Mathematicians and Physicist Lyapunov established the framework of the study of stability theory.This paper mainly introduc

6、es the related concepts of dynamical system.The concepts and the research status both at home and abroad of Lyapunov stabilit</p><p>　　Key Words: Dynamical system; Practical stability; Lyapunov stability; El

7、ectricity market</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1. 引言錯誤!未定義書簽。</p><p>　　1.1研究背景很發(fā)展現(xiàn)狀錯誤!未定義書簽。</p><p>　　1.2論文的主要工作及研究意義2</p><p>　　2 預備知識

8、4</p><p>　　2.1動力系統(tǒng)定義4</p><p>　　2.2Lyapunov穩(wěn)定理論簡介錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.2.1Lyapunov穩(wěn)定性的基本概念錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.2.2經(jīng)典的Lyapunov穩(wěn)定性直接法6</p><p>　　2.3線性區(qū)

9、間動力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性7</p><p>　　2.4 實用穩(wěn)定性理論簡介9</p><p>　　2.4.1實用穩(wěn)定性的一些基本理論9</p><p>　　2.4.2差分方程的實用穩(wěn)定性10</p><p>　　2.4.3時滯線性系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2.5 兩種

10、穩(wěn)定性的關系11</p><p>　　3一類線性區(qū)間動力系統(tǒng)及帶有時滯情況的魯棒穩(wěn)定性13</p><p>　　3.1主對角線上不含零點線性區(qū)間動力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性錯誤!未定義書簽。</p><p>　　3.2實例驗證錯誤!未定義書簽。</p><p>　　4線性系統(tǒng)及帶有時滯情況的實用穩(wěn)定錯誤!未定義書簽。</p&g

11、t;<p>　　4.1線性微分方程的實用穩(wěn)定性錯誤!未定義書簽。</p><p>　　4.2線性時滯系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性 錯誤!未定義書簽。</p><p>　　4.3實例驗證 20</p><p>　　5電力市場穩(wěn)定性研究中的應用21</p><p>　　5.1電力市場穩(wěn)定性的理論與發(fā)展過程21</p&g

12、t;<p>　　5.2電力市場模型21</p><p>　　5.3蛛網(wǎng)模型23</p><p><b>　　6小結26</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　參考文獻錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　引言<

13、;/b></p><p><b>　　研究背景及發(fā)展現(xiàn)狀</b></p><p>　　動力系統(tǒng)的經(jīng)典背景是常微分方程的解族所確定的整體的流動。在常微分方程發(fā)展早期，牛頓、萊不尼茲、歐拉、伯努里(家族)等發(fā)現(xiàn)了許多通過初等函數(shù)或他們的積分表達式等方法來求常微分方程的通解。但是，Liouville 在1841年證明了大多數(shù)微分方程都不能求得顯式解。因而動力系統(tǒng)的歷史

14、一般可以追溯到19世紀末法國大數(shù)學家Henri Poincaré創(chuàng)立的微分方程定性論，或者可以稱為微分方程的幾何理論。其精神是不通過微分方程的顯式解而直接研究解得幾何和拓撲性質。這是由于已經(jīng)知道的大多數(shù)微分方程都不可能求出顯式解。20世紀早期Birkhoff關于拓撲動力系統(tǒng)的公理化式的工作為這一學科建立了大范圍的理論框架。這使得動力系統(tǒng)的含義更為廣泛，可以不一定由微分方程產(chǎn)生。經(jīng)過了幾十年相對寂靜的時期，從20世紀60年代開始

15、，動力系統(tǒng)，尤其是與計算機迭代直接相關的離散時間的動力系統(tǒng)，迅速活躍起來。新的研究方向相繼產(chǎn)生，形成了各具實力的美國學派、前蘇聯(lián)學派、歐洲學派、巴西學派以及廖山濤先生獨樹一幟的理論為代表的中國學派。經(jīng)過40多年的迅速發(fā)展，動力系統(tǒng)前進的勢頭，越來越生機勃勃。</p><p>　　1892年，俄國著名數(shù)學力學家Lyapunov在他的博士論文"運動穩(wěn)定性的一般問題中"，給出了漸近性理論中運動穩(wěn)定性

16、的嚴格數(shù)學定義和用來討論漸近性行為的一般數(shù)學方法。他將由Peano、Bendixson和Darboux等人建立的微分方程的解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性這一概念，從自變量在有限區(qū)間上變化拓展到無窮區(qū)間上，科學地給出了系統(tǒng)中運動的穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的概念；他從類似系統(tǒng)總能量的物理觀念得到啟示，提出了后來被人們稱為Lyapunov函數(shù)的概念。從而建立了穩(wěn)定性理論研究的框架，奠定了動力系統(tǒng)漸近性行為的數(shù)學理論基礎。實用穩(wěn)定性理論的迅速發(fā)展是從二十世紀

17、六十年代開始的。由于實用穩(wěn)定性的現(xiàn)實意義，許多學者對于它的理論及應用進行了大量的研究工作，所涉及的內容幾乎包括了穩(wěn)定性理論的所有方面。</p><p>　　隨著現(xiàn)代科學技術的飛速發(fā)展，數(shù)學正日益廣泛地應用于各種科技和生產(chǎn)領域，并建立了許多數(shù)學模型來描述各種現(xiàn)實客體。這其中的一個中心問題便是研究系統(tǒng)的性質，以及研究系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地起作用的條件，這就需要我們去學習和研究兩種最常見的穩(wěn)定性：即Lyapunov穩(wěn)定性和實用

18、穩(wěn)定性。在近十幾年來人工神經(jīng)網(wǎng)絡的理論和應用的研究，形成了世界性的熱潮，其中穩(wěn)定性就扮演了重要的角色。在控制系統(tǒng)的設計中，系統(tǒng)的魯棒性一直倍受國內外學者的重視?？刂葡到y(tǒng)是否具有良好的魯棒性，成為衡量系統(tǒng)性能優(yōu)劣的重要標志。近年來，許多學者研究了線性區(qū)間動力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，給出了判斷此類系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性的充分條件。1978年V．L．Khoritonnov給出了區(qū)間多項式的Hurwitz穩(wěn)定等價于四個頂點多項式的Hurwitz穩(wěn)定的結果，

19、開辟了研究區(qū)間矩陣與區(qū)間動力系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的先河。1983年，S．Bialas首先斷言：區(qū)間矩陣的Hurwitz穩(wěn)定性等價于2礦個頂點矩陣的Hurwtiz穩(wěn)定性。然而，Barmish與Hollot于1984年給出反例說明Bialas的結論是不正確的。此后眾多學者都致力于區(qū)間矩陣與區(qū)間動力系統(tǒng)穩(wěn)定性的</p><p>　　論文的主要工作和研究意義</p><p>　　本文主要簡單介紹了動力系

20、統(tǒng)的基本概念，Lyapunov穩(wěn)定性和實用穩(wěn)定性這兩種常見的穩(wěn)定性的概念、國內外研究現(xiàn)狀及這兩種穩(wěn)定性之間的關系。最后將所研究的內容應用于電力市場的穩(wěn)定性研究中。</p><p>　　動力系統(tǒng)的一些觀念產(chǎn)生了遠遠越出本學科的影響。突出的是近年來深受注意的混沌與復雜性的科學觀念。所謂混沌是指高度復雜的、對誤差極其敏感的性態(tài)。60年代初在結構穩(wěn)定性研究中發(fā)現(xiàn)的Smalc揭示，復雜性可以與結構穩(wěn)定性共存。這一重要發(fā)現(xiàn)催

21、生了現(xiàn)代的混沌概念。對混沌概念是否有統(tǒng)一的數(shù)學定義并不重要。已有的許多不同的數(shù)學描述，恰恰表現(xiàn)了這一概念不尋常的魅力。重要的是它的認識論意義。它發(fā)現(xiàn)，復雜的并曾經(jīng)被認為是不可認識的現(xiàn)象，其實是我們這個世界基本的存存方式，是不可能回避也無須回避的現(xiàn)實。高度復雜而又可認識——這或許是思辯的命題正在成為人們習以為常的生活內容?？梢哉f，混沌與復雜性的觀念，是動力系統(tǒng)能夠引以自豪地獻給整個科學的禮物。</p><p>　　

22、系統(tǒng)穩(wěn)定性有非常重要的意義，小到一個具體的控制系統(tǒng)，大至一個社會系統(tǒng)、金融系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)，總是在各種偶然的或持續(xù)的干擾下運行的，承受這種干擾之后，能否保持預定的運行或工作狀態(tài)，而不至于失控，搖擺不定，至關重要。所謂系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運動能否只依靠系統(tǒng)內部的結構因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個有限鄰域內。</p><p><b>　　預備知識<

23、;/b></p><p><b>　　動力系統(tǒng)定義</b></p><p>　　動力系統(tǒng)是隨時間的變化而發(fā)展的系統(tǒng)，它主要研究隨時間的長期發(fā)展，系統(tǒng)的狀態(tài)是如何改變和演化的．現(xiàn)在，動力系統(tǒng)的方法和理論已成功的應用到生物學、醫(yī)學、系統(tǒng)控制與信息學、人口動力學、經(jīng)濟學等學科領域。</p><p>　　定義 設是維歐式空間中的開集。映射連續(xù)，也

24、記作為。固定的時候，映射，滿足</p><p><b>　　是恒等映射；</b></p><p><b>　　對內一切和成立。</b></p><p>　　那么就稱為動力系統(tǒng)。</p><p>　　連續(xù)時間動力系統(tǒng)，一般寫成微分方程的形式：</p><p>　　其中與分別為與

25、中的開集。</p><p>　　Lyapunov穩(wěn)定理論簡介</p><p>　　Lyapunov穩(wěn)定性的基本概念</p><p>　　考慮一般的維的非自治微分方程組：</p><p>　　滿足解的存在唯一性定理條件，它的解存在區(qū)間是，還滿足條件，以保證是的解，我們稱它為零解。</p><p>　　定義 若是對于任意給

26、定的都存在，使得當?shù)臅r候的解滿足：，則稱的零解是Lyapunov意義下穩(wěn)定的，否則的零解是Lyapunov意義下不穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 假設是中的中包含原點的一個開區(qū)域，對所有的和任意給定的，都存在，使得當時，有成立，我們就稱是零解的一個吸引域，稱的零解是吸引的。</p><p>　　是零解的一個吸引域，更簡單的描述是對所有的，均有，即從中出發(fā)的解趨于。</p>

27、<p>　　定義 假設)的零解是穩(wěn)定的，又是吸引的，則稱的零解是漸近穩(wěn)定的；如果的零解的吸引域是整個，則稱的零解是全局漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 假設定義與無關，那么稱1)的零解是一致穩(wěn)定的：若定義中的和與無關，則稱零解是一致吸引的；若的零解是一致穩(wěn)定和一致吸引的，稱的零解是一致漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 假設正數(shù)，，對任意給定的存在使得當時有，則稱

28、的零解是指數(shù)漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 若是對于所有的存在與使得由不等式得出估計對于所有的都成立，則稱是擬等價漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果在定義中的函數(shù)與不依賴于，則稱是擬一致漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果對于每個，存在，使得由不等式得出估計，對所有的都成立，則稱是擬等價全局漸近穩(wěn)定的。</p><p&

29、gt;　　定義 如果在定義中，函數(shù)不依賴于，則稱是擬一致全局漸近穩(wěn)定的。 </p><p>　　經(jīng)典的Lyapunov穩(wěn)定性直接法</p><p>　　Lyapunov穩(wěn)定性直接法是整個穩(wěn)定性理論的核心方法，其中有穩(wěn)定性定理、漸近穩(wěn)定性定理及不穩(wěn)定性定理。</p><p>　　假設是中包含的一個鄰域，函數(shù)在中原點的某鄰域中有定義，在中連續(xù)可微，且滿足。是上定義的連

30、續(xù)可微函數(shù)，是上定義的連續(xù)可微函數(shù)。</p><p>　　定義 若除原點外對所有均有，則稱為正定函數(shù)負定函數(shù)；若對所有均有，則稱為半正定函數(shù)或常正函數(shù)半負定函數(shù)或常負函數(shù)；若在中原點的任一鄰域內既可取正值，也可取負值，則稱為變號函數(shù)。</p><p>　　如果是正定的，則是負定的。同樣，如果是半正定的，則是半負定的。</p><p>　　定義 若有正定負定函數(shù)，

31、使得</p><p>　　在成立，而且，那么則稱是在上的正定負定函數(shù)，若，則稱是半正定函數(shù)半負定函數(shù)。</p><p>　　定義 若是上的正定函數(shù)，且，則稱是上的無窮大正定函數(shù)。</p><p>　　定義 若有正定函數(shù)，使得，則稱具有無窮小上界；若有無窮大正定函數(shù)，使得，則稱具有無窮大下界。</p><p>　　定義 設是的連續(xù)函數(shù)，而且

32、)嚴格單調遞增，則稱是類函數(shù)，記作；若是還滿足，那么就稱為無窮大類函數(shù)。</p><p>　　線性區(qū)間動力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性</p><p>　　考慮下列線性微分方程：</p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　定義 若的所有特征值的實部，稱穩(wěn)定：若，且具有零實部的特征值，只對應的單重初等因子，稱擬

33、穩(wěn)定。</p><p>　　定理 若的所有特征值均具有負實部，則的零解漸近穩(wěn)定；若的所有特征值具有非正實部，且其具有零實部的特征值僅對應單重初等因子，則的零解是穩(wěn)定的；若有正實部的特征值，或者有對應于多重初等因子的零實部特征值，則的零解是不穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 若一個實矩陣滿足</p><p><b>　　則矩陣稱為矩陣。</b

34、></p><p>　　若是的元素的確切值未知，僅知道的上下界。，都是實矩陣，表示。矩陣簇：稱為一個區(qū)間矩陣，動力系統(tǒng)稱為一個區(qū)間動力系統(tǒng)。</p><p>　　定義 假若是穩(wěn)定的，則稱區(qū)間矩陣是穩(wěn)定的，記為，即式是漸近穩(wěn)定的，進而系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 假若不是穩(wěn)定的，則稱區(qū)間矩陣是完全不穩(wěn)定的，記為，即式是不穩(wěn)定的。</p&

35、gt;<p><b>　　對于時滯系統(tǒng)：</b></p><p>　　其中，都是實區(qū)間矩陣，而且，未知，只是知道的上下界</p><p>　　定義 如果對任意的，其相應的唯一正平衡點，，使得系統(tǒng)在是穩(wěn)定的全局穩(wěn)定的，那么該系統(tǒng)就相應地稱為魯棒穩(wěn)定魯棒全局穩(wěn)定。</p><p>　　定義 如果對任意，初值為的所有解滿足：，其

36、中是一個依賴的常數(shù)，而且那么系統(tǒng)稱為具有魯棒不變性。</p><p>　　考慮一類對角占優(yōu)區(qū)間矩陣。。所謂對角占優(yōu)，即主對角線上元素的絕對值大于非主對角線上元素的絕對值。</p><p>　　令，這里是的一個排列；。</p><p><b>　　定理 如果矩陣</b></p><p><b>　　則當即，蘊

37、含；</b></p><p><b>　　當即存在著某些。</b></p><p>　　定理 若存在常數(shù)，使得</p><p><b>　　這里是的一個排列，</b></p><p>　　構成的矩陣是正定的，那么</p><p><b>　　當即，蘊

38、含；</b></p><p><b>　　當即存在著某些。</b></p><p><b>　　實用穩(wěn)定性理論簡介</b></p><p>　　實用穩(wěn)定性是對系統(tǒng)運動穩(wěn)定性態(tài)的一種定量描述，在實際問題中，系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性由一些特定的集合刻畫，這些集合反映實際擾動情況和在此擾動影響下系統(tǒng)的預期運動狀態(tài)。</

39、p><p>　　具體的說，如果用集合表示系統(tǒng)的初始區(qū)域，用集合表示系統(tǒng)的初始，用集合表示系統(tǒng)的隨后擾動區(qū)域。多數(shù)情況下，是與初始時刻有關的，因此常記作，而一般還可以是時變集合，滿足一定的“瞬態(tài)”要求，這時常用表示。于是實用穩(wěn)定就是說，對于系統(tǒng)的每一個從內出發(fā)的運動，其隨后的整個運動過程都不離開集合中，則系統(tǒng)關于已知的估計區(qū)域和是實用穩(wěn)定的。</p><p>　　實用穩(wěn)定性必須解決的兩個問題：首

40、先估計集合，即要指出在什么樣的未知狀態(tài)的鄰近范圍系統(tǒng)是有效的。需要估計集合，即要能夠檢驗初始集合好到何種程度。 </p><p>　　實用穩(wěn)定性的一些基本理論</p><p>　　定義 如果對于給定的估計:與某個,可由不等式得出估計對所有成立，則稱方程組 是實用穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果對所有的滿足定義的條件，則稱方程組是一致實用穩(wěn)定的。</p

41、><p>　　定義 如果對于給定的與某個，可由不等式得出估計對所有的成立，則方程組是實用擬穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果對所有的滿足定義的條件，則稱方程組是一致實用擬穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果同時滿足定義和定義的條件，則稱方程組是強實用穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果同時滿足定義和定義的條件，則稱方程組是一致強實用

42、穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果不滿足定義的條件，則稱方程組是實用不穩(wěn)定的。</p><p>　　另外，實用穩(wěn)定還有另外一種表示方式，首先給出一些記號：以表示系統(tǒng)的初始時刻集合，表示初始時刻，。對給定的常量以及函數(shù)，有界且連續(xù)可微，且。</p><p><b>　　初始偏差區(qū)域：</b></p><p><

43、b>　　隨后偏差區(qū)域：</b></p><p>　　時間區(qū)間：，其中可以是有限數(shù)，也可以是。那么關于這些集合的實用穩(wěn)定定義如下：(僅以實用穩(wěn)定和一致實用穩(wěn)定為例）</p><p>　　定義 如果對，有，則稱關于實用穩(wěn)定。</p><p>　　定義 如果對滿足定義的條件，則稱關于實用一致穩(wěn)定。</p><p>　　差分方程的實

44、用穩(wěn)定性</p><p><b>　　對于離散控制系統(tǒng)：</b></p><p><b>　　其中且，</b></p><p><b>　　初始偏差集合：；</b></p><p>　　容許過程偏差集合：；</p><p>　　這些集合分別反映了系統(tǒng)的運

45、動區(qū)間以及所能容許的初始干擾強度和過程狀態(tài)與標稱運動狀態(tài)的偏差范圍，在具體問題中事先給定。</p><p>　　時滯線性系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性</p><p><b>　　對于時滯線性系統(tǒng)：</b></p><p>　　其中和是連續(xù)矩陣函數(shù)，為常數(shù)。</p><p><b>　　兩種穩(wěn)定性的關系</b>&

46、lt;/p><p>　　Lyapunov穩(wěn)定是由兩個相關指標刻畫，定義中的是任意給定的，而只要求存在，不管大小。并且這種穩(wěn)態(tài)是在運動時間充分大的時候才會呈現(xiàn)的狀態(tài)。而運動實用穩(wěn)定性理論的主要任務則是研究在規(guī)定的時間區(qū)間，給出初始偏差集合和隨后偏差集合，實用穩(wěn)定就是說，對于系統(tǒng)的每一個從出發(fā)的運動，其隨后規(guī)定的時間范圍內整個運動過程都不離開集合中，則系統(tǒng)關于已知的估計區(qū)域和是實用穩(wěn)定的。</p><

47、p>　　實用穩(wěn)定既不弱于，也不強于Lyapunov穩(wěn)定。實用穩(wěn)定性概念可以較好地解決Lyapunov穩(wěn)定概念的定性描述與實際中的定量要求不符合的矛盾。由于“穩(wěn)態(tài)”是在運動時間充分大的時候才表現(xiàn)出的狀態(tài)，這與一些過程短，變化劇烈的系統(tǒng)的情況不符合，即使對某些“長期”系統(tǒng)而言，其運動在“任意接近”穩(wěn)態(tài)之前，仍有可能越出事先指定的“偏差范圍”。何況，要求實際運動狀態(tài)與穩(wěn)態(tài)“任意接近”是不可能的，也沒有必要。</p><

48、;p>　　實用穩(wěn)定性是近年來剛剛興起的一門科學，其用處非常廣泛。因為在實際中同漸近穩(wěn)定相比較，人們更期望的是完全穩(wěn)定性，但是，有時不穩(wěn)定也是可以接受的。這是因為所期望的系統(tǒng)的狀態(tài)在數(shù)學上可以是不穩(wěn)定的，但是系統(tǒng)可以在充分接近這個狀態(tài)下完成振動，且它所起的作用被認為是可以接受的。譬如，火箭筒在數(shù)學上含有被認為是不穩(wěn)定的航行軌線，可是火箭系統(tǒng)在火箭筒中的振動效果是可以令人滿意的。事實上，很多問題都可以做出這種解釋，其中包括兩點間的宇宙

49、裝置的飛行問題與化學反應中在確定范圍內的溫度保持問題等。在這些情況中，實用穩(wěn)定性的概念可以更切合實際地反映出所研究過程的本質。</p><p>　　一類線性區(qū)間動力系統(tǒng)及帶有時滯情況的魯棒穩(wěn)定性</p><p>　　本章研究主對角線上不含零點的線性區(qū)間動力系統(tǒng)及此類系統(tǒng)帶有時滯情況的穩(wěn)定性。通過構造Lyapunov函數(shù)，得到了主對角線上不含零點的線性區(qū)間動力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定與不穩(wěn)定的判定定理

50、，以及帶有時滯的區(qū)間動力系統(tǒng)的魯棒全局穩(wěn)定、魯棒穩(wěn)定、魯棒不變的充分條件，所得結論只需判斷一個常數(shù)矩陣是否為必矩陣，比較容易驗證。</p><p>　　主對角線上不含零點線性區(qū)間動力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性</p><p><b>　　對于線性系統(tǒng)：</b></p><p>　　其中。的元素確切值未知，僅知道的上下界：，。而且為主對角線上元素不含零點的

51、區(qū)間矩陣。鑒于這類特殊區(qū)間矩陣的特點．可以令，這里是的一個排列；。</p><p>　　定理 如果矩陣 是一個矩陣，這里</p><p><b>　　。</b></p><p>　　則當即，蘊含；即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　當即存在著某些。即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　

52、　證明 因為是一個矩陣，所以也是矩陣，由等價條件得。即為非負矩陣，所以對即。</p><p>　　令對，考慮線性動力系統(tǒng)：</p><p>　　構造Lyapunov函數(shù)</p><p>　　顯然，當有是正定的，當是負定的或變號的，對于沿方程解的Dini導數(shù)：</p><p><b>　　當時。</b></p>

53、;<p>　　由的任意性，可以知道： </p><p>　　當時，，從而，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　當時，，從而，即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　定理 若存在常數(shù)，使得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這里是

54、的一個排列，</b></p><p>　　構成的矩陣是正定的，那么</p><p>　　當即，蘊含，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　當即存在著某些，即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　證明 令對，考慮線性動力系統(tǒng)：</p><p>　　構造Lyapunov函數(shù)：</p>&l

55、t;p>　　顯然，當有是正定的，當是負定的或變號的，對于沿方程解的Dini導數(shù)：</p><p>　　由的任意性，可以知道： </p><p>　　當時，，從而，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　當時，，從而，即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。證畢。</p><p><b>　　實例驗證</b></p>

56、<p>　　例 討論下列線性區(qū)間動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性</p><p>　　解 因為 </p><p>　　是一個矩陣。根據(jù)定理有，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p><b>　　例 討論系統(tǒng)</b></p><p><b>　　的穩(wěn)定性。</b></p>&

57、lt;p>　　解 因為 </p><p>　　是一個矩陣。根據(jù)定理有，即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。 </p><p><b>　　例 討論系統(tǒng)</b></p><p><b>　　的穩(wěn)定性。</b></p><p><b>　　解 我們可以取</b>&

58、lt;/p><p>　　容易驗證是對稱正定的，根據(jù)定理可以知道有，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　由上述例子可以知道，即使區(qū)間矩陣不是對角占優(yōu)區(qū)間矩陣，而僅是對角線上的元素不含零點的這類矩陣，我們依然可以通過本章中的定理和定理來判斷它的穩(wěn)定性。</p><p>　　線性系統(tǒng)及帶有時滯情況的實用穩(wěn)定</p><p>　　本章利用函數(shù)方法，

59、不等式性質及單調性準則分析了線性微分方程和線性時滯微分方程的實用穩(wěn)定性，得到簡便的實用穩(wěn)定性條件，這些條件僅與系統(tǒng)的系數(shù)有關，易于直接驗證。在本章中僅以二階微分方程為例討論，階數(shù)大于2的情況類似。</p><p>　　除此之外，本文中假設初始偏差集合為；容許過程偏差集合為：。</p><p>　　線性微分方程的實用穩(wěn)定性</p><p>　　對于微分方程系統(tǒng)： &l

60、t;/p><p><b>　　其中為常數(shù)矩陣。</b></p><p>　　命題 記，假定隨后的偏差區(qū)域滿足性質：對于連續(xù)的，如果有某使得，那么或者對所有的，恒有，或者存在使得且當?shù)臅r候，。</p><p>　　定理 如果對給定的，滿足不等式</p><p>　　那么系統(tǒng)關于實用穩(wěn)定。</p><

61、p>　　證明 假設結果不成立，由命題可以知道：必定有和，使得。而且</p><p>　　。 </p><p>　　然而，取向量函數(shù)，則此函數(shù)沿方程的Dini導數(shù)為</p><p><b>　　由己知條件得</b></p><p>　　又由于

62、 </p><p><b>　　由式、、可以得到。</b></p><p>　　如若不然，可以由式子及連續(xù)性可以知道存在，使得在上有，由此可以知道</p><p>　　同時由條件、可以得到</p><p><b>　　與式矛盾。</b><

63、;/p><p><b>　　所以有成立。</b></p><p>　　，這與式矛盾，證畢。</p><p>　　線性時滯系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性 </p><p>　　對于帶有時滯的微分方程組</p><p>　　其中和是連續(xù)矩陣函數(shù)。</p><p>　　定理 如

64、果對于給定的，及所有的，滿足</p><p>　　那么系統(tǒng)關于是實用穩(wěn)定的。</p><p>　　證明 假設結果不成立，由命題可以知道：必有和，使得而且</p><p>　　然麗，取向量函數(shù)，則此函數(shù)沿系統(tǒng)的Dini導數(shù)為</p><p><b>　　由已知條件得</b></p><p><

65、;b>　　，</b></p><p><b>　　又由于</b></p><p><b>　　由式子、、可以得到</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　如若不然，必存在</b></p>

66、<p>　　，使得，那么對于，有，即對，有。</p><p><b>　　實例驗證</b></p><p>　　例 考慮下列系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性</p><p>　　其中，并且取估計區(qū)域為。</p><p>　　解 由于，故對于，由定理可以知道系統(tǒng)是實用穩(wěn)定的。</p><p>　　例

67、 考慮下列系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性</p><p>　　其中，并且取估計區(qū)域為。</p><p><b>　　解 由于，而，</b></p><p>　　當時，可以得到，由定理可以知道系統(tǒng)是實用穩(wěn)定的。</p><p>　　電力市場穩(wěn)定性研究中的應用</p><p>　　電力市場穩(wěn)定性的理論與發(fā)展過程

68、</p><p>　　電力市場穩(wěn)定是電力市場機制設計和監(jiān)管領域的重要課題之一。傳統(tǒng)的市場穩(wěn)定性理論是建立在普通商品市場的基礎之上的，但是電力系統(tǒng)有其特殊性，如電力供需同時進行，電力需求在一定程度上具有周期性的特性，以及電力報價交易分時開展等。這些因素是關系電力市場穩(wěn)定的重要因素。</p><p>　　電力市場利用市場機制的手段合理分配電力系統(tǒng)資源，其穩(wěn)定性研究對于調節(jié)市場供需狀況具有十分重

69、要的意義。Alvarado結合市場動態(tài)建立了電力市場動態(tài)模型，在此之后與Meng，Mota等人合作，在動態(tài)市場模型中考慮電能不平衡因素以及電力系統(tǒng)本身的動態(tài)因素得到新的市場模型。對于上述市場動態(tài)模型，Alvarado等人均利用數(shù)值的特征值方法研究電力市場穩(wěn)定性。文獻結合Alvarado提出的動態(tài)市場模型，在Lyapunov穩(wěn)定意義下，從理論上討論了電力市場的穩(wěn)定性，并且給出了一系列充分條件來判斷電力市場的穩(wěn)定性。</p>

70、<p><b>　　電力市場模型</b></p><p>　　假設發(fā)電機成本函數(shù)和消費者效用函數(shù)為二次函數(shù)。當供電一方觀察到電力市場價格高于生產(chǎn)成本價格，則供應方會擴大生產(chǎn)直到生產(chǎn)成本等于價格，擴大的比率與觀察到的市場價格和實際生產(chǎn)成本之差成比例。假設供應方的電能輸出為，其對于市場價格的響應速度是獨立的，用事件常數(shù)表示。在上述假設下，Alvarado導出如下描述電力市場動力學行為的

71、模型：</p><p>　　式中為電能供應量；為電力輸出的響應速度；為任意給定時刻的電力價格；為供應方的邊際成本；為需求彈性；為供應方的線性成本系數(shù)，。</p><p>　　至于消費者，其刻劃模型為：</p><p>　　式中為電能需求量；為電力輸出的膨脹速度；為供應方的邊際收益；為需求彈性；為消費方的線性成本系數(shù)，。另外和還滿足：</p><p

72、>　　考慮到電力市場的阻塞，利用潮流分布因子，單一阻塞條件可以表示為</p><p>　　對于一股的情況，具有個阻塞條件，個供應方個消費方的完整模型為： </p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中表示阻塞限制的Lagrang

73、e乘子，。</p><p>　　利用線性代數(shù)的簡單理論可以推知：電力市場模型穩(wěn)定性在非奇異線性變換作用下保持不變。由計算可得</p><p><b>　　定理 假設</b></p><p>　　若是，而且至少有一個，那么式子不穩(wěn)定，從而不漸近穩(wěn)定。</p><p>　　若是，而且至少有一個，那么式子不漸近穩(wěn)定。<

74、/p><p>　　若是，而且至少有一個，那么式子不穩(wěn)定，從而不漸近穩(wěn)定。</p><p><b>　　蛛網(wǎng)模型</b></p><p>　　對于市場穩(wěn)定或市場動態(tài)的文獻可以在經(jīng)濟學著作中找到，研究供給和需求動態(tài)變化的蛛網(wǎng)模型以及其～系列改進模型是經(jīng)典模型中的一類。蛛網(wǎng)模型最先由Ezekieln提出，它描述了在沒有庫存的市場中均衡價格的波動。這個模型

75、假設市場中每個參與者都是價格接受者，市場依時間段進行生產(chǎn)銷售。于是市場中的生產(chǎn)者必須在上一時間段生成對接下來時間市場價格的估計，并依據(jù)這個價格預測提出自己的報價曲線；當現(xiàn)在的市場價格被觀察到后，生產(chǎn)者又會繼續(xù)估計下一個時間段的價格，對于生產(chǎn)者，這一過程往復循環(huán)。對于消費者，需求曲線根據(jù)需求效用得出，并由當前的市場價格形成需求量。</p><p>　　以下將建立一組描述市場的模型，包括自治、非自治的線性周期系統(tǒng)以及

76、非自治線性周期系統(tǒng)。這些模型建立在以下基本假設基礎之上：</p><p>　　在某二給定時刻，所有的市場交易以唯一的價格成交；</p><p>　　市場中沒有能量存儲，即所有的生產(chǎn)和銷售同時進行；</p><p>　　在現(xiàn)貨市場中，市場需求是價格預測的單調減函數(shù)；</p><p>　　在現(xiàn)貨市場中，市場供給是現(xiàn)貨價格的單調增函數(shù)。</p

77、><p>　　顯然：以上假設符合經(jīng)濟學和電力市場的一般原理。且市場消費由消費者對時刻的價格預測決定，市場供應的價格由現(xiàn)貨市場的交易量決定。一個簡單的定常線性系統(tǒng)模型表示為：</p><p>　　式中：是時刻的需求；是時刻的供給；是時刻現(xiàn)貨市場的供給；是用戶對于時刻價格的預測。和都是常數(shù)。同時假設市場具有正常意義下的供給和需求，即參數(shù)滿足，。</p><p><b&

78、gt;　　導出的差分模型有：</b></p><p><b>　　一階自治差分模型：</b></p><p><b>　　二階自治差分模型：</b></p><p>　　一階非自治差分模型：</p><p>　　二階非自治差分模型： </p><p>　　電力

79、市場的穩(wěn)定性一般都是在Lyapunov穩(wěn)定意義下進行的，在本節(jié)中，我們研究的電力市場穩(wěn)定性是在實用穩(wěn)定的意義考慮的。</p><p>　　由于方程通過平移可以將常數(shù)項去掉，故下列結論是針對于不帶常數(shù)項的。而且在2維空間上考慮的。</p><p>　　一階自治微分模型： </p><p>　　結論 如果對給定的，滿足不等式：</p><p>

80、　　那么系統(tǒng)關于是實用穩(wěn)定的。</p><p>　　一階非自治時滯微分模型：</p><p>　　結論 如果對給定的，及所有的，滿足不等式：</p><p>　　那么系統(tǒng)關于是實用穩(wěn)定的。</p><p>　　一階非自治微分模型：</p><p>　　結論 如果對給定的，而且，滿足不等式：</p>&

81、lt;p>　　，其中取 ，</p><p>　　中的任意一個，那么上述系統(tǒng)關于是實用穩(wěn)定的。</p><p>　　二階非自治微分模型：</p><p>　　結論 如果對給定的，而且，滿足不等式：</p><p>　　，其中取 ， 中的任意一個，取，中的任意一個，那么上述系統(tǒng)關于是實用穩(wěn)定的。</p>&

82、lt;p><b>　　小結</b></p><p>　　白二十世紀五十年代以來，離散控制系統(tǒng)的理論研究與實際應用工作，逐漸受到控制理論界的廣泛重視，取得了很大成就，使離散控制系統(tǒng)的分析與設計成為控制理論的一個重要組成部分。描述離散控制系統(tǒng)的數(shù)學模型為差分方程，差分方程(組)是學習微分方程(組)、微分一差分方程(組)以及泛函微分方程(組)的理論基礎。但差分方程(組)并不是微分方程(組)的

83、特例，它具有自身的特殊性。近年來，對差分方程的穩(wěn)定性也取得了巨大成果，，其中有很多也是應用Lyapunov函數(shù)進行研究的。系統(tǒng)穩(wěn)定性有非常重要的意義，小到一個具體的控制系統(tǒng)，大至一個社會系統(tǒng)、金融系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)，總是在各種偶然的或持續(xù)的干擾下運行的，承受這種干擾之后，能否保持預定的運行或工作狀態(tài)，而不至于失控，搖擺不定，至關重要。</p><p><b>　　參考文獻</b></p&g

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