有限元分析基礎

1、第六章有限元分析基礎,主要內容,1有限元方法的歷史 2有限元分析的作用3有限元分析過程的概要4有限元分析的目的和概念5 一維階梯桿結構問題的求解 6有限元分析的基本流程 7有限元分析的特點8桿梁結構分析的工程概念,有限元方法的歷史,有限元方法的思想最早可以追溯到古人的“化整為零”、“化圓為直”的作法，如“曹沖稱象”的典故，我國古代數(shù)學家劉徽采用割圓法來對圓周長進行計算；這些實際上都體現(xiàn)了離散逼近的思想，即采用大量的簡單小物

2、體來“沖填”出復雜的大物體。,早在1870年，英國科學家Rayleigh就采用假想的“試函數(shù)”來求解復雜的微分方程，1909年Ritz將其發(fā)展成為完善的數(shù)值近似方法，為現(xiàn)代有限元方法打下堅實基礎。,20世紀40年代，由于航空事業(yè)的飛速發(fā)展，設計師需要對飛機結構進行精確的設計和計算，便逐漸在工程中產(chǎn)生了的矩陣力學分析方法；1943年，Courant發(fā)表了第一篇使用三角形區(qū)域的多項式函數(shù)來求解扭轉問題的論文；1956年波音公司的Turner

3、，Clough，Martin和Topp在分析飛機結構時系統(tǒng)研究了離散桿、梁、三角形的單元剛度,表達式；1960年Clough在處理平面彈性問題，第一次提出并使用“有限元方法” 的名稱；1955年德國的Argyris出版了第一本關于結構分析中的能量原理和矩陣方法的書，為后續(xù)的有限元研究奠定了重要的基礎，1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有關有限元分析的專著；1970年以后，有限元方法開始應用于處理非線性和大變形問題

4、；,隨著計算機技術的飛速發(fā)展，基于有限元方法原理的軟件大量出現(xiàn)，并在實際工程中發(fā)揮了愈來愈重要的作用；目前，專業(yè)的著名有限元分析軟件公司有幾十家，國際上著名的通用有限元分析軟件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，還有一些專門的有限元分析軟件，如LS-DYNA，DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等,有

5、限元分析的作用,基于功能完善的有限元分析軟件和高性能的計算機硬件對設計的結構進行詳細的力學分析，以獲得盡可能真實的結構受力信息，就可以在設計階段對可能出現(xiàn)的各種問題進行安全評判和設計參數(shù)修改，據(jù)有關資料，一個新產(chǎn)品的問題有60％以上可以在設計階段消除，甚至有的結構的施工過程也需要進行精細的設計，要做到這一點，就需要類似有限元分析這樣的分析手段。,下面舉出幾個涉及土木工程、車輛工程、航空工程以及生物工程的實例,北京奧運場館的鳥巢由縱橫交錯

6、的鋼鐵枝蔓組成，它是鳥巢設計中最華彩的部分，見圖1-2，也是鳥巢建設中最艱難的。看似輕靈的枝蔓總重達42000噸，其中，頂蓋以及周邊懸空部位重量為14000噸，在施工時，采用了78根支柱進行支撐，也就是產(chǎn)生了78個受力區(qū)域，在鋼結構焊接完成后，需要將其緩慢而又平穩(wěn)地卸去，讓鳥巢變成完全靠自身結構支撐；,因而，支撐塔架的卸載，實際上就是對整個鋼結構的加載，如何卸載？需要進行非常詳細的數(shù)值化分析，以確定出最佳的卸載方案。2006年9月17日

7、成功地完成了整體鋼結構施工的最后卸載。,有限元分析過程的概要,本課題先通過一個簡單的實例，采用直接的推導方法，逐步展示有限元分析的基本流程，從中可以了解有限元方法的思路形成過程，以及如何由具體的求解步驟歸納出一種通用的標準求解方法。,有限元分析的目的和概念,任何具有一定使用功能的構件(稱為變形體)都是由滿足要求的材料所制造的，在設計階段，就需要對該構件在可能的外力作用下的內部狀態(tài)進行分析，以便核對所使用材料是否安全可靠，以避免造成重大安

8、全事故。描述可承力構件的力學信息一般有三類： (1) 構件中因承載在任意位置上所引起的移動(稱為位移)； (2) 構件中因承載在任意位置上所引起的變形狀態(tài)(稱為應變)； (3) 構件中因承載在任意位置上所引起的受力狀態(tài)(稱為應力)；,若該構件為簡單形狀，且外力分布也比較單一，如：桿、梁、柱、板就可以采用材料力學的方法，一般都可以給出解析公式，應用比較方便；但對于幾何形狀較為復雜的構件卻很難得到準確的結果，甚

9、至根本得不到結果。,,有限元分析的目的：針對具有任意復雜幾何形狀變形體，完整獲取在復雜外力作用下它內部的準確力學信息，即求取該變形體的三類力學信息(位移、應變、應力)。,,在準確進行力學分析的基礎上，設計師就可以對所設計對象進行強度、剛度等方面的評判，以便對不合理的設計參數(shù)進行修改，以得到較優(yōu)化的設計方案；然后，再次進行方案修改后的有限元分析，以進行最后的力學評判和校核，確定出最后的設計方案。圖2-1給出一個針對大型液壓機機架的設計過

10、程以及采用有限元分析的狀況。,為什么采用有限元方法就可以針對具有任意復雜幾何形狀的結構進行分析，并能夠得到準確的結果呢？這是因為有限元方法是基于“離散逼近”的基本策略，可以采用較多數(shù)量的簡單函數(shù)的組合來“近似”代替非常復雜的原函數(shù)。,,一個復雜的函數(shù)，可以通過一系列的基底函數(shù)的組合來“近似”，也就是函數(shù)逼近，其中有兩種典型的方法：(1)基于全域的展開(如采用傅立葉級數(shù)展開)，以及(2)基于子域的分段函數(shù)組合(如采用分段線性函數(shù)的連接)；

11、下面，僅以一個一維函數(shù)的展開為例說明全域逼近與分段逼近的特點。,比較以上兩種方式的特點，可以看出，第一種方式所采用的基本函數(shù) 非常復雜，而且是在全域上 定義的，但它是高次連續(xù)函數(shù)，一般情況下，僅采用幾個基底函數(shù)就可以得到較高的逼近精度；而第二種方式所采用的基本函數(shù) 非常簡單，而且是在子域上 定義的，它通

12、過各個子域組合出全域 但它是線性函數(shù)，函數(shù)的連續(xù)性階次較低，因此需要使用較多的分段才能得到較好的逼近效果，則計算工作量較大。,,對于第一種的函數(shù)逼近方式，就是力學分析中的經(jīng)典瑞利-里茲方法(Rayleigh-Ritz principle)的思想，而針對第二種的函數(shù)逼近方式，就是現(xiàn)代力學分析中的有限元方法的思想，其中的分段就是“單元”的概念。,基于分段的函數(shù)描述具有非常明顯的優(yōu)勢：(1)可以將原函數(shù)的復雜性“化繁為簡

13、”，使得描述和求解成為可能，(2)所采用的簡單函數(shù)可以人工選取，因此，可取最簡單的線性函數(shù)，或取從低階到高階的多項式函數(shù)，(3)可以將原始的微分求解變?yōu)榫€性代數(shù)方程。但分段的做法可能會帶來的問題有：(1)因采用了“化繁為簡”，所采用簡單函數(shù)的描述的能力和效率都較低.,,(2)由于簡單函數(shù)的描述能力較低，必然使用數(shù)量眾多的分段來進行彌補，因此帶來較多的工作量。綜合分段函數(shù)描述的優(yōu)勢和問題，只要采用功能完善的軟件以及能夠進行高速處理的計算

14、機，就可以完全發(fā)揮“化繁為簡”策略的優(yōu)勢，有限元分析的概念就在于此。,一維階梯桿結構問題的求解,一維問題，即1D(one dimension)問題，是最簡單的分析對象，下面就以一個1D階梯桿結構為例，詳細給出各種方法求解的過程，直觀地引入有限元分析的基本思路，并以此逐步介紹有限元分析的過程。,,討論：1、以上完全按照材料力學的方法，將對象進行分解來獲得問題的解答，它所求解的基本力學變量是力（或應力），由于以上問題非常簡單，而且是靜定問題

15、，所以可以直接求出，但對于靜不定問題，則需要變形協(xié)調方程才能求解出應力變量； (上例是先求力-應力-應變-位移），,2、若采用位移作為首先求解的基本變量則可以使問題的求解變得更規(guī)范一些，下面就基于A、B、C三個點的位移 來進行以上問題的求解,例題2.2(2) 1D階梯桿結構的節(jié)點位移求解及平衡關系所處理的對象與例題2.2(1)相同，要求分別針對每個連接節(jié)點，基于節(jié)點的位移來構建相應的平衡關系，然后再進行求解

16、。,解答：考慮圖2-3所示桿件的受力狀況，分別畫出每個節(jié)點的分離受力圖，如圖2-6所示。,,式(2-27)的物理含義就是內力與外力的平衡關系，由式(2-29)可知，內力表現(xiàn)為各個節(jié)點上的內力，并且可以通過節(jié)點位移 來獲取。由方程(2-23)可知，這是一個基于節(jié)點A、B、C描述的全結構的平衡方程，該方程的特點為： (a)基本的力學參量為節(jié)點位移 和節(jié)點力 。 (b)

17、直接給出全結構的平衡方程，而不是象例題2.2(1)那樣，需要針對每一個桿件去進行遞推。,,,(c)在獲得節(jié)點位移變量 后，其它力學參量（如應變和應力），都可以分別求出（見式(2-26)）為了將方程(2-23)寫成更規(guī)范、更通用的形式，用來求解例題2.2(1)所示結構的更一般的受力狀況，下面在式(2-23)的基礎上，直接推導出通用平衡方程。,可以看出：方程(2-31)的左端就是桿件①的內力表達和桿件②的內力表達之

18、和，這樣就將原來的基于節(jié)點的平衡關系，變?yōu)橥ㄟ^每一個桿件的平衡關系來進行疊加。這里就自然引入單元的概念，即將原整體結構進行“分段”，以劃分出較小的“構件”，每一個“構件”上具有節(jié)點，還可以基于節(jié)點位移寫出該“構件”的內力表達關系，這樣的“構件”就叫做單元.,,它意味著在幾何形狀上、節(jié)點描述上都有一定普遍性和標準性，只要根據(jù)實際情況將單元表達式中的參數(shù)（如材料常數(shù)、幾何參數(shù)）作相應的代換，它就可以廣泛應用于這一類構件(單元)的描述。從式

19、(2-32)和式(2-33)可以看出，雖然它們分別用來描述桿件①和桿件②的，但它們的表達形式完全相同，因此本質上是一樣，實際上，它們都是桿單元。,可以將桿單元表達為如圖2-7所示的標準形式。,,可以看出，方程(2-38)是單元內力與外力的平衡方程，它與單元的剛度方程是相同的。 叫做單元的剛度矩陣， 叫做剛度矩陣中的剛度系數(shù),有限元分析的基本流程,例題2.3(1) 三連桿

20、結構的有限元分析過程,,解答：所謂基于單元的分析方法，就是將原整體結構按幾何形狀的變化性質劃分節(jié)點并進行編號，然后將其分解為一個個小的構件（即：單元），基于節(jié)點位移，建立每一個單元的節(jié)點平衡關系（叫做單元剛度方程），對于桿單元來說就是式(2-38)；下一步就是將各個單元進行組合和集成，類似于式(2-31)，,以得到該結構的整體平衡方程（也叫做整體剛度方程），按實際情況對方程中一些節(jié)點位移和節(jié)點力給定相應的值（叫做處理邊界條件），就可以求

21、解出所有的節(jié)點位移和支反力，最后在得到所有的節(jié)點位移后，就可以計算每一個單元的其它力學參量（如應變、應力）；下面給出該問題的有限元分析過程。,,有限元分析的特點,有限元分析的最大特點就是標準化和規(guī)范化，這種特點使得大規(guī)模分析和計算成為可能，當采用了現(xiàn)代化的計算機以及所編制的軟件作為實現(xiàn)平臺時，則復雜工程問題的大規(guī)模分析就變?yōu)榱爽F(xiàn)實。實現(xiàn)有限元分析標準化和規(guī)范化的載體就是單元，這就需要我們構建起各種各樣的具有代表性的單元，一旦有了這些單

22、元，就好像建筑施工中有了一些標準的預制構件(如梁、樓板等)，可以按設計要求搭建出各種各樣的復雜結構，如圖2-11所示,,有限元分析的最主要內容，就是研究單元，即首先給出單元的節(jié)點位移和節(jié)點力，然后基于單元節(jié)點位移與節(jié)點力的相互關系可以直接獲得相應的剛度系數(shù)，進而得到單元的剛度方程，實際上就是要得到針對單元節(jié)點的平衡方程，這就是單元的剛度方程，就可以針對實際的復雜結構，根據(jù)實際的連接關系，將單元組裝為整體剛度方程，這實際上也是得到整體結構

23、的基于節(jié)點位移的整體平衡方程。,,因此，有限元方法的主要任務就是對常用的各種單元（包括1D、2D、3D問題的單元）構造出相應的單元剛度矩陣；當然，如果還采用如例題2.2(2)所示的直接法來進行構造，會非常煩瑣，而采用能量原理（如：虛功原理或最小勢能原理）來建立相應的平衡關系則比較簡單，這種方法可以針對任何類型的單元進行構建，以得到相應的剛度矩陣。,桿梁結構分析的工程概念,在建筑結構中，桿、梁、板是主要的承力構件，關于它們的計算分析對于建

24、筑結構設計來說具有非常重要的作用，對桿、梁、板的建模將充分考慮到實際結構的幾何特征及連接方式，并需要對其進行不同層次的簡化，可以就某一特定分析目的得到相應的1D、2D、3D模型，,,由于在設計時并不知道結構的真實力學性能(或許還沒有實驗結果，或許還得不到精確的解析解)，僅有計算分析的一些結果，因此，一種進行計算結果校核或驗證的可能方法，就是對所分析對象分別建立1D、2D、3D模型，來進行它們之間的相互驗證和核對；圖3-1給出一個建筑結構